1　引　言

在经典风险模型中，假设索赔服从复合泊松过程，考虑在破产时刻给予惩罚，Gerber 和 Shiu(1998)[1]讨论了惩罚金的期望值，发现该期望值依赖于破产时刻和破产时刻的赤字大小，并得到了破产时刻与赤字大小的联合概率密度函数.Albrecher和Thonhauser(2008)[2]研究了复合泊松风险模型下的最优分红策略.Gerber和Landry(1998)[3]在经典风险模型中引入一个独立的扩散过程，通过重期望公式得到惩罚金期望函数满足的积分微分方程，利用Lundberg方程得到期望函数满足一个更新方程，并得到其概率解释.本文假设保险公司盈余过程服从双泊复合松过程，从而得到惩罚金期望函数满足的积分微分方程，由于这种二阶积分微分方程不存在解析解，从而研究其数值解[4]具有重要的意义.

由于风力发电机组多安装在高山、荒野、海岛等风口处，受无规律的变向变载荷的风力作用以及强阵风的冲击，加之所处的自然环境交通不便，而且机组安装在塔顶的狭小空间内，一旦出现故障，修复非常困难，故对其可靠性等提出了比一般机械高得多的要求。大量的实践证明，整个机组的薄弱环节常常就是齿轮箱。因此，风力发电机组齿轮箱在投入使用前，都会进行严格的试验，以确保其高可靠性。而测试齿轮箱的变频电动机，必须经受齿轮箱的各种复杂工况，这也就对电动机提出了较高的要求。

“这支适马的鱼眼镜头能够提供180°视野，我用它单次曝光拍摄整个夜空。用它拍摄流星雨非常棒，也可以用来展示光污染。它是佳能卡口的，但我用适马的MC-11 E卡口转接环安装到索尼机身上。”

2　市场模型

考虑经典的风险模型，保险公司的盈余由下列过程给出：

 

(1)

基于一个无摩擦的证券市场，投资者在[0,T]内连续进行交易.设(Ω,F,P)是给定的完备的装有滤子族的概率空间，且滤子族Ftt≥0满足通常的条件.市场上有两种资产,即无风险资产和风险资产.

风险资产满足下列随机过程：

dSt=St[adt+σ2dB2(t)]．

(2)

无风险资产满足下列随机过程：

dRt=rRtdt．

(3)

其中u=U(0)≥0是保险公司的初始盈余,假设在时间[0,t]内付保费的人数和索赔次数均服从泊松过程，{N1(t)}t≥0是参数为λ1的泊松过程,为支付大小，独立且同分布，并假设有概率密度函数为pX(x),{N2(t)}t≥0是参数为λ2的泊松过程，为索赔大小，独立且同分布，概率密度函数为pY(y),其中B1(t),B2(t)为标准布朗运动，且假设之间相互独立.

设qt为t时刻保险公司投资于风险资产的盈余所占比例[5]，剩下的比例1-qt投资于无风险资产,则得到保险公司盈余满足随机过程:

 

 

[aqtUt+r(1-qt)Ut]dt+σ1dB1(t)+

定理2　∀u∈[0,),φs(u)满足式积分微分方程[8]:

 

(4)

U0=u．

(5)

若qt是F-循序可测的马尔科夫过程,且使得方程(4)和式(5)的解存在,则称qt是可容许的, 所有的可容许策略集记为A.

3　最大期望效用函数与最优投资策略

考虑指数效用函数即

 

(6)

因为指数效用函数[6]是在零效用原理下，唯一一个得出独立于保险公司盈余水平的公平保费的函数，所以它在保险数学和精算应用中有着重要地位.

寻找可容许的投资策略使得期末效用财富最大,即解决最优化问题:设该问题对应的值函数为:

 

(7)

定理1　假设由(7)式定义的值函数关于t一阶连续可微,关于u二阶连续可微,则H(t,u)满足下列HJB方程[7]:

 

 

λ1(H(t,u+x)-H(t,u))pX(x)dx+

λ2(H(t,u-y)-H(t,u))pY(y)dy}=0，

(8)

H(T,u)=v(u)．

(9)

假设方程(8)有一个经典解，即满足Hu>0,Huu<0，则式(8)为关于q的一元二次方程，且q2的系数>0,所以有最优投资策略为:

 

(10)

把式(10)代入到式(8)中得到：

 

λ1(H(t,u+x)-H(t,u))pX(x)dx+

λ2(H(t,u-y)-H(t,u))pY(y)dy．

(11)

由式(6)，假设值函数H(T,u)有如下形式:

 

(12)

0=u[-ka′(t)-rka(t)]+ka′(t)b(t)+

a(T)=1，b(T)=0．

(13)

其中步长h>0,Sinc为定义在整个实数域R上的函数,且有

由式(9)得到边界条件为：

 

λ1(e-kxa(t)-1)pX(x)dx+

式中，C0：为脂吸附前溶液中初始总黄酮浓度(mg/L)；Ce为树脂吸附平衡后溶液中总黄酮浓度(mg/L)；Vi为树脂吸附前溶液体积(mL)；Cd为树脂解吸平衡后解吸液中总黄酮浓度(mg/L)；Vd为树脂解吸平衡后解吸液体积(mL)。

λ2(ekya(t)-1)pY(y)dy．

承担责任的幸福是一个持续性的，多种多样，包括痛苦。幸福不只有无尽的快乐，幸福不是一帆风顺的，其中也会有痛苦。就好像平衡木，我们要互相协调，才能保持平衡。过程中难免会产生不愉快。《生活秀》中这样描述到：“她的责任没有尽头，她将继续养活弟弟来双久，包括为他提供吸毒的毒资。来双扬已经部分负担并且还将更多的负担来金多尔的教育经费……”[24]留在吉庆街的来双扬是幸福的，她以吉庆街的收入粘合一家人，而其中也夹杂这痛苦，日夜颠倒，不受人认可，连自己的妹妹也劝说自己离开吉庆街。痛苦也是幸福中的一种。

(14)

φs(u)=E[e-δTbI(T<∞,U(Tb)=0)|U(0)=u]=E[E[e-δTbI(T<∞,U(Tb)=0)|U(0)=u|U(dt)]]=e-δdt[p(S1>dt,T1>dt)*

a′(t)+ra(t)=0，

(15)

 

λ1(e-kxa(t)-1)pX(x)dx+

λ2(ekya(t)-1)pY(y)dy=0．

(16)

由式(15)和边界条件(13)得到：

a(t)=er(T-t)．

(17)

若知道

 

的概率密度函数，把式(17)代入(16)中，由边界条件(13)即可得到b(t)的显示表达式，求解b(t)代入到式(12)中，即得到H(T,u)，代入到式(10)中即得到了最优投资策略.

4　惩罚金期望折现函数

令Tb=inf {t≥0,U(t)≤0},即为破产时刻，假设投资比例恒为一个常数q且0<q<1时，讨论破产时刻支付惩罚金的期望折现值.破产的情况有两种:由震荡引起即U(Tb)=0或由跳跃行为引起即U(Tb)<0.考虑如下惩罚方案，若由振荡引起破产，支付1,由跳跃引起破产，需支付惩罚金为L(U(Tb-),|U(Tb)|)，其中L(·,·)为二元非负函数，且L(0,0)=1,U(Tb-)为破产发生前的盈余，因此定义惩罚金的期望折现函数为：

φ(u)=E[e-δTbL(U(Tb-),|U(Tb)|)*

I(Tb<∞)|U(0)=u]．

(18)

定义函数:

φs(u)=E[e-δTbI(T<∞,U(Tb)=

方程(30)为一个非线性的积分微分方程，一般不存在解析解，因此利用数值方法求出其数值解就变得尤为重要.Sinc逼近方法是Frank Stenger提出的一种高度有效的数值方法[9]，该方法被广泛应用于数值分析领域，比如正交变换的近似转换以及常微分和偏微分方程的近似解.

(19)

φd(u)=E[e-δTbL(U(Tb-),|U(Tb)|)*

I(T<∞,U(T)<0)|U(0)=u]，

(20)

φ(u)=p(Tb<∞|U(0)=u)，

(21)

其中δ>0为利率，由式(19)和(20)知

φ(u)=φs(u)+φd(u)．

(22)

门椒采收要早，以免影响植株生长，此外还可提高产量。对椒后可以根据市场需求人为控制采收时间，以提高生产值。温度低于2℃时辣椒易受冻腐烂，不宜贮藏，所以秋延茬种植的辣椒要保证在低温上冻之前采收完毕。

虽然乳腺肉瘤生物学各异，术前很难确诊，需经病理诊断。手术仍是本病主要的治疗手段，对于肿块较大，组织学分化差，淋巴转移等含高危因素较多的患者应行广泛切除术；对于低危的患者可行肿瘤局部扩大切除术；由于本病较少出现淋巴转移，可不行淋巴结清扫术；对于恶性程度高，分化差的肿瘤，应辅以放化疗，减少患者复发，提高生存。

 

(δ+λ1+λ2)φs(u)+λ1φs(u+x)pX(x)dx+

λ2φs(u-y)pY(y)dy=0，

最后，学者一致追求纯审美的文学观念，自觉将政治与文学对立起来。“重写文学史”实质是对文革为代表的极左思潮的否定，对毛泽东指示的“政治标准第一，文学标准第二”反思与省察。学者们重新强调文学的审美性，一方面展示了学者们对理想文学史的想象期待，另一方面也隐藏了追求纯文学的焦虑。

一进校园，编辑就被小路两旁的国防展板所吸引，有“狼牙山五壮士”“抗日小英雄张嘎”“特级战斗英雄黄继光”等抗日英雄小故事，正是课间时间，孩子们追逐玩耍着，三三两两的孩子在展板前驻足凝视，稚嫩的眼神中闪烁着神圣的光芒……“这是为国防教育专设的宣传栏，每学期更换一次，校园中处处有国防人物的展板，目的是让孩子们在潜移默化中得到红色教育的熏陶。”赵天明校长为编辑介绍到。

(23)

φs(0)=1，

(24)

 

(25)

证明　考虑小区间[0,dt]，由于U(t)过程具有马氏性，利用重期望公式有

所以得到：

E[φs(u+(aqu+ru(1-q))dt+σ1dB1+σ2qudB2)]+p(S1≤dt,T1>dt)φs(u+x)pX(x)dx+p(S1>dt,T1≤dt)φs(u-y)pY(y)dy]+o(dt)．

(26)

 

因为e-δdt=1-δdt，代入式(26)中整理即得到(23)，当初始盈余u=0时，破产立即发生,所以φs(0)=1，如果u→，则破产永远不会发生,所以

证毕

定理3　∀u∈[0,),φd(u)满足下列积分微分方程:

 

(δ+λ1+λ2)φd(u)+λ1φd(u+x)pX(x)dx+

λ2φd(u-y)pY(y)dy+

（1）压实程度。图1给出了路面压实程度检测结果，采用GTM法成型试件密度为标准密度时，其压实程度较传统马歇尔设计方法略低，但平均压实程度仍大于96%，满足规范中压实度要求。路面空隙率均值为6.82，达到路面不透水要求7%～8%要求。因此，建议以压实度和空隙率指标进行双控，保证路面质量。

跳出禁养区：如果你的养殖场在禁养区内，且超出地方政府的规模养殖标准，与其等着受罚，不如主动配合进行搬迁，趁早离开，寻求新的发展。

λ2L(u,|u-y|)pY(y)dy，

(27)

φd(0)=0，

(28)

 

(29)

定理4　 ∀u∈[0,),φ(u)满足积分微分方程:

 

φ′(u)[aqu+ru](1-q)-(δ+λ1+λ2)φ(u)+

λ1φ(u+x)pX(x)dx+λ2φ(u-y)pY(y)dy+

“今后估计船期难凑以及空箱不够等情况，会有明显改善。”胡晓说，相比航运，从公路运输到宁波转运，企业就要多承担每个标箱700元至1000元的费用。

λ2L(u,|u-y|)pY(y)dy=0，

(30)

φ(0)=1，

(31)

 

(32)

5　Sinc数值方法

0)|U(0)=u]，

Sinc逼近方法是[10]基于函数C(f,h)，函数C(f,h)是函数f的sinc扩展，定义为

 

(33)

由式(12)得到:

③当压缩机运转时，防喘振调节器FIC1的控制模式通过逻辑点强制设定为CAS，且不可由操作人员操作，避免误操作导致压缩机防喘振控制系统失效。

 

对于任意的h>0,带有均匀间隔节点的变换Sin c函数定义为

 

(34)

Sinc在插值点kh上的值为

 

 

定义1　在实数域R上，令φ表示Γ(∈C)到R上的光滑的一一映射,Γ的左端点为t1,右端点为t2，且φ(t1)=-∞,φ(t2)=+∞,ψ=φ-1表示φ的逆映射使得Γ={z∈C:z=ψ(u),u∈R}．

给定函数φ和ψ以及正数h，定义Sinc格点zk为zk=zk(h)=ψ(kh),k∈Z,且记函数ρ为ρ(z)=eφ(z)，令表示所有定义在Γ上,且满足下列式子的函数所构成的集合：

 

则傅立叶变换满足关系{f∘φ-1}～(ζ)=o(e-d|ζ|)对于任意的ζ∈R都成立.

比较两组并发症发生率、手术时间、骨折愈合时间比较，差异无统计学意义（P＞0.05），观察组术中出血量、术后伤口引流量明显优于对照组，差异有统计学意义（P＜0.05），对照组患者下地时间早于观察组；差异有统计学意义（P＜0.05）。见表1。

其中令表示所有定义在Γ上的一类函数f，且使得其中

 

下面给出Sinc逼近中的一些记号,N为某一正整数

 

Vm(f)=(f(z-M),…,f(zN))T；

Dm(f)=diag[f(z-M),…,f(zN)]．

其中[·]表示取最大整数,f是定义在(0,+)上的任意函数,T表示转置.令

 

γj=S(j,h)∘φ,j=-M,…,Nwj=γj,

j=-M+1,…,N-1．

 

 

 

 

 

定义矩阵它的第k行j列元素由给出,最后定义范数：

 

引理1　 令则有

‖f-ΩmVmf‖=o(εN)．

若此时令

 

引理2　令则有

∀N>1．

引理3　 令则有

‖ϑf-ϑmf‖≤CεN，

‖ϑ′f-ϑ

其中

ϑf(x)=f(t)dt，ϑ′f(x)=f(t)dt,

ϑmf=ΩmAmVm，ϑ

 

其中，(I(-1))T表示为矩阵I(-1)的转置.

引理4　令假设矩阵Am，Bm均可对角化，且存在方阵X,Y，使得Am=XSX-1，Bm=YSY-1,其中S为一对角矩阵.如果对于某些与N独立的正数c′，有|F′(s)|≤c′对于任意的Rs≥0都成立，则存在一个独立于N的常数C使得

 

 

其中

 

p(x)=f(x-t)g(t)dt,

p′(x)=f(t-x)g(t)dt,

 

 

c′′≥(t2-t1)．

引理5　 令φ是定义在Γ上的一对一变换，则有

 

 

 

 

 

6　惩罚金期望折现函数的数值解

为了得到惩罚金期望折现函数在区间[0,∞)上的近似，令φ(z)=ln z，则定义了R+→R的一个一一映射,故ρ(z)=eφ(z)=z，对于任意的h>0,Sin c逼近点为:

uk=φ-1(kh)=ekh．

考虑方程(30)～(32)，令z=u+x并利用函数卷积性质,得到方程(30)等价于：

 

u[aq+r(1-q)]φ′(u)-(δ+λ1+λ2)φ(u)+

λ1φ(z)pX(z-u)dz+λ2φ(y)pY(u-y)dy+

λ2L(u,|u-y|)pY(y)dy=0．

(35)

令则代入到式(35)中得到：

W″(u)+μ1(u)W′(u)+μ0(u)W(u)+

λ1μ2(u)K1(u,z)W(z)dz+

λ2μ2(u)K2(u-y)W(y)dy+f(u)=0．

(36)

边界条件为:

K1(u,z)=pX(z-u)，K2(u-y)=pY(u-y)．

 

 

 

λ2L(u,|u-y|)μ2(u)pY(y)dy,

 

 

 

由引理1，3，4得到：

 

(37)

 

(38)

(39)

式(36)中的u用uk,k=-M,…,N代替，把式(37)～(39)代入到式(36)中得到：

 

 

 

 

(40)

 

 

所以得到

 

 

 

 

 

(41)

令其中是矩阵I(m)的第k行l列元素，

 

 

W=[Wl]T,l=-M,…,N．

 

则有系统(41)等价于

BW=F．

(42)

式(42)中有M+N+1个方程和M+N+1个未知数Wl，所以求解式(42)即可得到Wl，从而由式(39)得到W(u)的近似解,又因为得到惩罚金期望折现函数φ(u)的近似解：

 

 

(43)

7　数值例子

考虑当支付大小服从均匀分布、索赔大小服从指数分布时，研究破产概率和惩罚金期望折现函数的变化趋势,假设

 

 

L(·,·)=1,

 

 

 

下面的讨论均在N=10,a=r=η2=0.1下进行.

例　令δ=0.01,分别对q和σ1取不同值，得到图1和图2.

  

u

 

图1　σ1=1时的惩罚金期望折现函数

由图1和2知，当σ1较小时，q越大，惩罚金期望函数波动趋势越大，σ1较大时，惩罚金期望函数随受q影响较小，整体波动趋势较小，因为σ1较小时，不参与投资时的保险公司盈余过程随机波动较小，所以q越大，受投资风险影响越大，投资后的盈余过程波动就越大，因此惩罚金期望函数波动趋势越大，σ1较大时，保险公司盈余主要受σ1的影响，所以惩罚金期望函数随受q影响较小.

  

u

 

图2　σ1=8时的惩罚金期望折现函数

令δ=0，则得到破产概率变化趋势如图3和4所示．

  

u

 

图3　q=0.1时的破产概率

  

u

 

图4　σ1=8时的破产概率

由图3知，当q=0.1时，σ1越大，破产概率波动越大且破产概率相对较高，这是因为σ1越大，保险公司盈余过程受随机因素的影响就越大.

由图4知，当σ1=8时，q越大，破产概率相对越高，这是因为σ1越大，在未参与投资下的保险公司盈余过程受随机因素的影响就越大，从而通过投资风险资产组合可以降低风险，从而降低破产的概率.

8　结　论

建立了服从复合泊松分布的盈余过程模型，首先考虑在终端时刻处的期望效用函数，利用动态规划原理得到值函数满足的HJB方程，得到最优投资策略的显性表达式，在投资比例确定的情况下，考虑破产时惩罚金的期望折现函数，得到期望折现函数所满足的积分微分方程，利用高效的Sinc数值方法，得到惩罚金期望折现函数的近似数值解，由图像分析得到相应参数对破产概率和惩罚金期望折现函数变化趋势的影响.该盈余过程模型还可以继续改进，使其更符合实际情况，可以研究更有效的数值方法来得到惩罚金期望折现函数的近似数值解.

参考文献

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[2]　ALBRECHER H,THONHAUSER S.Optimal dividend strategies for a risk process under force of interest [J].Insurance:Mathematics and Economics,2008,43(1):134-149.

[3]　GERBER H U,LANDRY B.On the discounted penalty at ruin in a jump-diffusion and the perpetual put option [J].Mathematics and Economics,1998,22(3):263-276.

[4]　GAO Heli,YIN Chuancuan.A perturbed risk process compounded by a geometric Brownian motion with a dividend barrier strategy[J].Applied Mathematics and Computation,2008,205(1):454-464.

[5]　李玉萍,刘利敏.Heston模型的最优投资组合[J].扬州大学学报:自然科学版,2007,10(3):25-27．

[6]　李艳方,林祥.Heston随机方差模型下的最优投资和再保险策略[J].经济数学,2009,26(4):36-45.

[7]　马利亚里斯A G.布罗克W A. 经济学和金融学中的随机方法[M].上海人民出版社,2004:90-96.

[8]　CHEN X, OU H.A compound Poisson risk model with proportional investment[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2013,242(1):248-260.

[9]　胡燕.关于几类风险模型的Gerber-Shiu 函数的研究[D].长沙：湖南师范大学数学与计算机科学学院,2014.

[10] ZAREBNIA M,ABADI M G.A numerical sinc method for systems of integro-differential equations[J].Physics Scripta,2010,82(5):8.