1　引　言

最近一些年来，研究保险风险模型中一些量的精致大偏差成为一大热点.例如，在索赔额相互独立的条件下，Ng等(2004) [1]研究了具有一致变化尾索赔额总量的精致大偏差.高珊和孙道德(2007)[2]考虑了双险种Poisson风险模型，当各险种索赔额相互独立并且具有广义正则变化尾时，给出了总索赔量的大偏差.另外，在现实生活中，保险公司的索赔额往往具有一定的相依性.因此，一些科研工作者考虑具有相依性随机变量和的精致大偏差问题.

例如，Tang (2006)[3]考虑了ND随机变量的非随机和的精致大偏差，而Liu (2009)[4], Chen等 (2011)[5]以及Wang等 (2013) [6] 对上述文献进行了推广，研究了END随机变量和的精致大偏差.韦晓等(2007) [7]考虑了变保费率带干扰的复合Poisson风险模型，干扰项是由一个有界的布朗运动所刻画，在索赔额分布属于广义正则变化族的条件下给出了总索赔盈余过程的精致大偏差.而Chen等(2014) [8] 研究了广义复合更新风险模型，其中索赔额形成了ND的随机变量序列，在索赔额分布具有一致变化尾的条件下，给出了总索赔盈余过程的精致大偏差.本文在文献[7]和[8]的基础上，考虑更一般的风险模型，其中索赔额和保费额各自形成了END的随机变量序列，保费次数是由一个拟更新过程描绘，干扰是由一个无界的布朗运动过程所刻画.在索赔额分布属于一致变化类的条件下，给出了总索赔盈余过程的精致大偏差.

2　END的定义和模型的描述

在这节，假定保费额和索赔额都是END的.为此，首先给出END随机变量的定义.

定义1　如果对于每个n≥1，存在某个M>0，使得对于所有xk,k=1,2,…，有[4]

P(X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn)≤

设x>0，仿照式(7)的证明，得到

 

因此，

P(X1>x1,X2>x2,…,Xn>xn)≤

 

那么称随机变量序列{Xk;k=1,2,…}是END(广义负相依)的.

考虑下列连续时间风险过程{R(t),t=1,2,…}，

 

其中u≥0表示初始盈余，Yi表示第i次收到的保费额，M(t)表示在[0,t]时间内保险公司收到的保费次数，Xk表示第k次支出的索赔额，N(t)表示在[0,t]时间内的总索赔次数，{W(t);t=1,2,…}为标准布朗运动，σW(t)表示在[0,t]时间内保险公司的投资获利或损失，σ>0表示扩散系数.假定

1){Yj;j=1,2,…}和{Xk;k=1,2,…}各自形成了非负、END的同分布随机变量序列；0<EY1<∞，0<EX1<∞,记X的分布为F, 对于任意的x>

人工智能创作结果的双重属性理论还有助于我们更清晰的区分人工智能创作结果的版权侵权责任。目前，人工智能创作主要建立在对大量文学艺术作品的学习、分析基础之上进行模仿，如果模仿的过程中复制了输入作品之中的独创性表达，则可能构成侵犯版权。［11］157

2){M(t);t=1,2,…}是拟更新过程，即保费到达的间隔时间也形成了一个END的随机变量序列，设保费间隔时间的期望为α-1, EM(t)=λ(t), 当t→∞,λ(t)→∞.

3) {N(t);t≥0}是非负整数值可数过程，EN(t)=Λ(t), 当t→∞,Λ(t)→∞; 且满足下列条件：对于任意的δ>0, 存在 使得

EN(t)pI{N(t)>(1+δ)Λ(t)}=O(Λ(t)).

(1)

记第k次的索赔时刻为τk, k≥0. 规定τ0=0.对于任意的k≥1, 存在某个 使得E(τk-τk-1)0.5pk<∞.

4){Yj;j=1,2,…}，{Xk;k=1,2,…},{M(t);t=1,2,…}，{N(t);t≥0}和{W(t);t=1,2,…}是相互独立的.

记保单的总索赔量过程为{A(t);t≥0}, 保费收入过程为{B(t);t≥0}, 以及总索赔盈余过程{S(t);t≥0}, 其中

 

(2)

 

(3)

根据Chen 等(2011)[5] 的定理4.2及其证明，可得

 

(4)

3　记号和主要结果

由于索赔额分布属于重尾分布类，在给出结果之前首先介绍一些重要的分布类：一致变化类，长尾类和控制变化类.给定一个随机变量X, 它的分布函数为F(x), 尾分布函数为以下定义来自文献[9].

The 7-DOF manipulator is degraded to a 6-DOF one with joint J2locked at,and its degraded workspace is covered by a large cuboid,whose length,width,and height are 22,22,and 21 m,respectively.Setting the side length of the grids as Dl=0.5 m,we can rasterize the degraded workspace as shown in Fig.6.

定义1　如果

2.系统谋划。规划要体现适应性、系统性、客观性。做到战略规划既要顶天，着眼于国家整体战略的需要；又要立地，因地制宜，对症下药，实现政策制定与措施实施的精细化精准化。

与硬件设施建设相比，软件支撑措施目前相对滞后，包括农村水利的基础工作、战略规划、管理体制、发展机制、运行管护、水资源配置、灌溉定额、技术规程等专项研究工作共27个子项。

 

引理6　令{ξk;k=1,2,…}是一列END的随机变量，ξk的分布为Gk，对于所有的且另外，存在某个r>1，使得EξkrI(ξk<0)<∞.令

定义2　如果对于某个0<y<1,

 

那么称分布F属于控制变化类，记为F∈D.当F∈D时，记F的上码指标为

 

其中

其次在沟通时应注意技巧。在沟通初始阶段我们应该注意调整好自己的情绪，不要带着主观情绪或态度去处理问题，有效的沟通必须是建立在相互信任的基础上。应该是询问而不是责备，这一点非常重要，由于设计工作很大程度上与责任相关，如果过多的使用责备的语气会让对方感觉到你是在进行推卸责任而不是解决问题。

 

显然，. 众所周知，C⊂D∩L, 详见文献[9].

定理1　考虑索赔过程(2)，若F∈C，则对于任意的γ>0, 当t→∞时，

 

关于x≥γΛ(t)一致成立，即

果然，四小姐似笑非笑迎面而来，两人竟没有答话。石警官右手做了个请的姿势，四小姐进去，石警官站在她身边，本想伺候她脱大衣。四小姐左手抬了抬：“谁在吹箫？”

 

注1　上式等价于对于任意的正数γ,有

 

关于x≥γΛ(t)一致成立.定理1证毕.

 

定理2　考虑模型⑶，如果F∈C, 则对于满足γ>EY1的γ,

(5)

关于x≥γΓ(t)=γmax {Λ(t),αt}一致成立.

4　预备引理

引理1　设{M(t);t≥0}为拟更新过程，EM(t)=λ(t)；索赔发生间隔时间的分布函数为G(t)，期望为α-1，其中G(∞)=1且0<α-1<∞, 则[10]

根据C族的定义，容易得到下列引理.

引理2　若F∈C，则

 

引理3　对于定义在[0,∞)上的分布F，如果F∈D，那么对于任意的存在正数B1和B2，使得对于所有的x≥y≥B1，有[11]

 

引理4　如果 F∈D，那么对于所有的成立.[11]

P(X1-σW(τ1)≤x1,X2-σ(W(τ2)-W(τ1))≤x2,…,Xn-σ(W(τn)-W(τn-1))≤xn)≤MP(X1-σW(τ1)≤x1)…P(Xn-σ(W(τn)-W(τn-1))≤xn).

 

根据Liu (2009) [4] 的定理2以及Wang和Wang (2013) [6] 中引理2.4的证明，有下列引理.

那么称分布F属于一致变化类，记为F∈C.

{N(t);t≥0}满足式(1).假定{ξk;k=1,2,…}和{N(t);t≥0}是相互独立的，G∈C，则对于任意的γ>0, 当t→∞时，

 

关于x≥γΛ(t)一致成立.

5　定理的证明

定理1的证明 显然，

 

由于对于任意的n>1和实数xk,k=1,2,…,n,有

(1)如图3,平面斜截圆柱得到的交线，它是椭圆.在圆柱内放置一个与圆柱底面等半径小球，且与椭圆所在平面相切,共有几个切点呢？

类似，可以证明对于任意的n>1和实数xk,k=1,2,…,n,有

引理5　设F1和F2是两个分布，若F1∈C且则[12]

因此，随机变量序列{Xk-σ(W(τk)-W(τk-1)),k=1,2,…}也是END的.

在企业内部建立现代学徒制管理部门，制定相应的师傅遴选机制，完善考评与奖励机制，让师傅带学徒成为能够促进师傅职业发展的路径，将一位师傅所带学徒的数量、考核成绩、师徒互评结果等作为衡量师傅发展的重要指标，学徒在企业期间的学习成效，乃至学徒日后入职成为企业人的工作绩效均与师傅的待遇挂钩，师傅对于学徒的培养能够收获具有发展性的回报，才有助于激发企业导师的工作热情，构建融洽的企业师徒关系。

下面讨论Xk-σ(W(τk)-W(τk-1))的分布.当时，

 

(6)

根据式⑹、引理4以及马尔科夫不等式，

(7)

根据式(7)以及引理5，可得

 

我国水资源当前面临质与量的双重危机[1]，水资源总量不足，单位面积水资源量只有656. 74 m3/hm2。根据国家水资源公报数据显示，近10年来，我国农业用水占总用水量的平均比例高达62. 44%，平均旱灾受灾面积15 654千 hm2，占平均有效灌溉面积的25. 75%，缺水问题严峻。在未来水资源的长期需求中，水资源将制约我国经济发展并成为影响我国经济发展的瓶颈[2]。2018年中央1号文件中提出“人与自然和谐发展的基本原则，坚守绿水青山就是金山银山”的基本发展观念，严守生态保护红线[3]。

P(Xk-σ(W(τk)-W(τk-1))<-x)≤P(-σ(W(τk)-W(τk-1))<-x)=

 

因此，根据引理6，有

 

和

定理2的证明 根据引理1和式(4)，可得

 

因此，存在正的函数ε(t), 当t→∞时，有ε(t)→∞且

P(B(t)-λ(t)EY1≥ε(t)αEY1t)=o(1).

 

(8)

首先证明对于任意的γ>0,

 

(9)

关于x≥γΛ(t)一致成立.

在y-λ(t)EY1≤ε(t)αEY1t且x≥γΛ(t)的条件下，当t→∞时，根据引理1，

某电厂155MW机组410t/h锅炉制粉系统采用钢球磨煤机中间储仓式干燥剂送粉系统、共两套。粗粉分离器为串联双轴向防爆型、联动调节方式，调节叶片的工作角度40±12°时，煤粉均匀性指数1.0～1.5。

 

因此，

x-λ(t)EY1+y=x+o(1)t=x+o(x).

根据引理2和引理6，对于任意的γ>0, 当t→∞时，

 

关于y-λ(t)EY1≤ε(t)αEY1t和x≥γΛ(t)一致成立.

和

 

下面证明

在4—6月整层水汽输送通量及其散度场差值场上(图6c、d),西太平洋地区上空有一个显著的反气旋式水汽通量距平矢量分布(图6c),将南海和菲律宾附近的暖湿气流源源不断地输送到江南地区,常越等(2007)也指出前汛期期间南方降水的水汽来源主要为西太平洋地区。在图6d中,菲律宾群岛以东洋面为显著的异常水汽辐散区,而江南地区以及黄海和东海海域为水汽异常辐合区。这种水汽通量及其散度场的异常分布型有利于江南地区水汽的聚集,表明冷水年对应着JRS降水异常偏多。

北美刺龙葵也是诸多植食性昆虫的“港湾”，增加了作物的染病率[5]，昆虫包括马铃薯甲虫、美洲马铃薯跳甲、马铃薯茎象甲、马铃薯尖翅木虱、红叶螨[6]。在美国西南部地区，北美刺龙葵正逐渐成为花生田里极具危害性的问题杂草，其在沙质土壤中与花生一样生长良好，与作物竞争养分。它的果实在花生中是一种杂质，影响花生品质的分级，还会引起干燥花生的腐败。但在花生田控制它非常困难，因为很多种控制措施都会影响花生的产量[7]。

 

关于x≥γΛ(t)一致成立.

根据C⊂D∩L以及引理4.6可知，对满足γ>EY1的γ，当t→∞时，

根据玻尔在哥本哈根诠释中的观点，只有观测行为能使这种基本的双重性坍缩成一种单一的状态。摄影也被用来使多重状态坍缩成单一状态（“相机从不说谎”）。实际上，仔细阅读会让人感到，摄影观察所获得的大量赞许源于它的清晰性，相反，它面对的争论来自于存在那么多重的、重叠的状态——不仅是物理的，还有文化的和政治的。图片似乎可以回答对它提出的问题，而忽略它带来了更多疑问。[1]190里奇认为，图片存在物理的、文化的、政治的多重迭加状态，也带来更多疑问。然而，我们日常观察摄影图片时，对它的印象却发生了坍缩，认为相机是唯一不会撒谎、真实可信的媒介。

(10)

关于x≥γΛ(t)一致成立, 其中B为某个正数.下面核实第三步.根据引理4.1，对于充分小的正数δ，则当t充分大，x≥Γ(t)时，

 

 

由于C⊂D，因此，

 

根据引理3，当γ>EY1且t充分大时，存在某个正数B, 使得对于所有的x≥γΛ(t),有

 

最后证明对于任意的γ>0，

关于x≥γΛ(t)一致成立.

利用引理6，对于任意的γ>0，

 

(11)

关于x≥γΛ(t)一致成立. 根据(8)，(9)，(10)以及(11)，对于满足γ>EY1的γ，(5)式关于x≥γΛ(t)一致成立.定理2证毕.

6　结　论

本文研究了保费收入为拟更新过程的带干扰风险模型.在索赔额具有一致变化尾的条件下，讨论了总索赔量过程和总索赔盈余过程的大偏差.结果显示出当索赔额具有一致变化尾时，总索赔量过程精致大偏差的渐近行为只与索赔数的更新函数与索赔额的分布有关，而与投资收入扩散过程无关；另外，总索赔额盈余过程精致大偏差的渐近公式与总索赔量精致大偏差的渐近公式是相同的，这说明总索赔盈余过程的精致大偏差的渐近行为与随机保费收入过程无关.

参考文献

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[2]　高珊，孙道德. 重尾索赔下的一类相依风险模型的若干问题[J]. 经济数学, 2007, 24(2): 111-115.

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[4]　LIU L. Precise large deviations for dependent random variables with heavy tails [J]. Statistics and Probability Letters. 2009, 79(9), 1290-1298.

[5]　CHEN Y,YUEN K C,NG K W. Precise large deviations of random sums in the presence of negatively dependence and consistent variation[J]. Methodology and Computing in Applied Probability. 2011, 13(4):821-833.

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[8]　CHEN Y,ZHANG P, SU C. Precise large deviations for generalized dependent compound renewal risk model with consistent variation [J]. Frontier of Mathematcs in China. 2014, 9(1):31-44.

[9]　CLINE D B H,SAMORODNITSKY G. Subexponentiality of the product of independent random variables[J]. Stochastic Processes and their Applications, 1994, 49 (1):75-98.

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[11] TANG Q, TSITSIASHVILI G. Precise estimates for the ruin probability in finite horizon in a discrete-time model with heavy-tailed insurance and financial risks[J]. Stochastic Processes and their Applications, 2003, 108(2), 299-325.

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