1　引　言

保险公司的破产概率一直是风险控制理论的研究热点.在经典的风险模型中,盈余过程假定具有平稳独立增量性质.然而从保险业的现实角度出发,这种假设条件显然不切实际.因此,保险精算理论学者对经典风险模型进行了各种推广.对于离散时间模型,Cai[1，2]分别假设利率为一阶相依的自回归结构和Markov链,研究了破产概率满足的递归计算公式和上界估计;Xu[3]研究了一类具有Markov链利率和随机投资回报的离散时间风险过程的破产概率最小上界问题;牛祥秋[4]研究了具有Markov链利率的比例再保险模型,分别用递归更新方法和鞅方法得出了破产概率的上界; Dam和Chung[5]研究了成数再保险问题,得到了保险人和再保险人的联合破产概率的计算公式;而Diasparra和Romer[6]研究了具有马尔可夫利率链的离散时间风险过程的比例再保险模型的破产概率,得出破产概率满足的递归方程,给出了破产概率的广义伦德伯格不等式.

然而,上述文献中仅假设利率本身具有相依结构,而利率和索赔间隔时间以及索赔额相互独立,而现实中的利率一般是依赖于时间的.基于这个事实,本文考虑一个利率与索赔间隔时间相依的离散时间比例再保险模型,得到了破产概率满足的递归方程以及破产概率的上下界估计.众所周知,除一些特殊情况外,在理论上很难获得破产概率的解析表达式,一种行之有效的办法是给出破产概率的上下界.本文获得的结果可以为保险企业提供一定的决策参考.

2　模型结构

设离散时间盈余过程Sn,n≥1遵循

Sn=Sn-1(1+In)+C(bn-1)Bn-h(bn-1,Yn),n≥1,S0=u≥0．

(1)

其中随机变量Yn是第n次索赔,F是Yn的分布函数;随机变量Bn是第n期的时间间隔,也就是从发生索赔Yn-1到发生索赔Yn的时间,G是Bn的分布函数;假设Yn,n≥1和Bn,n≥1是相互独立的.保险人的自留比例由b控制,函数h(b,y):=b·y(0≤b≤1)表示保险人在发生索赔时支付的费用,y-h(b,y)是再保险人支付的费用.自留比例b=1意味着没有再保险过程.令In,n≥0表示利率,保费收入c是定值.由于保险人交给再保险人的保费是由自留比例b决定的,于是定义C(b)是基于自留比例b所确定的保险人的自留保费,则C(b)关于b递增而且有

0≤C(b)≤c，

Ak=1+Ik,k=1,2,…，

 

综上所述,盈余过程Sn可以重新表示为

 

 

(2)

定义　bmin =min b∈(0,1]C(b)≥0,θ为再保险人所确定的安全负载系数.根据期望值原理计得

(3)

那么盈余过程Sn可以表示为

 

(4)

而盈余过程Sn中,破产只能发生在索赔时刻,所以初值为u的破产概率表示为

是在周启明生病后，钱海燕整个人变得平和了。以前她喜欢为一点小事和周启明生气，现在她一点点明白，人生不易，能健康地活着，就是命运的馈赠。

 

(5)

进一步,令

 

 

(6)

表示第n次索赔后的破产概率,显然有

0≤ψ1(u)≤ψ2(u)≤…ψn(u)≤…，

（1）学生出科考核成绩评价：带教老师统一命题、统一考试、统一阅卷，评定两组学生理论与实践两方面成绩，每项满分50分，百分制。（2）教学方式评价：制定问卷调查表，由学生对教学方式满意度、问诊自信力、问题解决能力、疾病了解程度四方面进行评分，每项25分，百分制。

且

3　破产概率满足的递推公式

令(A1,B1)的联合密度为是Y1的分布,下面定理给出了ψn(u)的递推公式.

定理1　对于任意的u≥0

 

 

b0y)dF(y)p(x,ω)dxdω，

基于3G网络的特点，不仅可以实现普通文字、图片等信息的浏览，更可以进行音频、视频等数据量较大的信息交互。因此，类似课程评价、实验讨论等交互性、即时性要求较高的功能的实现成为可能，实现的功能也比以往的Web方式要丰富许多。

(7)

 

若令

(8)

证明　用归纳法.首先,

二要认真落实云南与周边省区市及长江沿岸省区市签订的战略合作协议，深入推进与长江流域、成渝经济区和周边省区的交流合作，加强资本引进、渠道建设、市场对接，深度开展资本和产业合作。

ψ1(u)=Pr S1<0=

提前计算年终奖个税，合理避税。各公司在发放年终奖时，建议合理安排好金额，适当注意避开个税税率中的几个“盲区”，计算税后收入，避免出现“企业多给，员工少拿”的尴尬。

 

 

给定Y1=y,A1=x,B1=ω.

如果那么

Pr S1<0Y1=y,A1=x,B1=ω=1．

这就意味着

 

如果

还别说，妈妈小时候自创的玩法，和iPad比起来，就像是玩具界的古董。不过，我在“考古”的时候发现，这里面可真有不少好玩的东西，比如弹杏核、踢沙包、跳房子、滚铁环、打陀螺……妈妈那个时候的玩具和游戏是以动手、活动身体为主的，比我和Siri傻傻的对话可好多了。

(9)

进而整理得式(10).

Pr S1<0Y1=y,A1=x,B1=ω=0．

这就意味着,当则有

 

 

 

 

 

 

ψn(ux+C(b0)ω-b0y)．

其中是At,t≥1的独立复制,进而

前盾脱困施工从中间向两边进行，在原塌腔拱部防护下按设计断面安装拱顶拱架后，采用方木临时支撑在盾壳上，见图6，然后分左右开挖拱脚，并及时进行支护。

 

0)S0=u,A1=x,B1=ω,Y1=y}

p(x,ω)dF(y)dxdω=

 

0)S0=u,A1=x,B1=ω,Y1=y}

 

 

C(b0)ω-b0y)dF(y)p(x,ω)dxdω+

 

正常工艺操作和紧急停车的控制与启动有比较明显的区别，正常工艺操作情况下，压缩机的喘振主要是由于压缩机入口介质的组分、流量、压力等工艺参数发生变化引起的，压缩机的喘振曲线决定了喘振系统的工作性能。如果喘振曲线较平，说明该喘振系统对扬程的变化很敏感；较陡的喘振曲线说明该喘振控制系统对流量变化较敏感。在正常工艺控制过程中，压缩机的喘振系统控制应该满足压缩机的操作范围要求。所以喘振系统设计时，应该考虑所有可能的工艺操作条件，避免压缩机在正常要求的工况范围内出现喘振［1］。

推论　对于任意的u≥0

（2）开展小指标竞赛，调动运行人员节能降耗的积极性，提高机组运行经济性。对机组运行中主要经济指标进行实时采集、计算，作为运行值之间小指标竞赛的依据，科学、合理的开展指标竞赛。据统计，通过开展指标竞赛，使机组厂用电率降低0.5%左右。

 

 

p(x,ω) dxdω

(10)

证明　由于ψn(u)关于初值u单调递减,根据单调收敛定理得

 

证毕．

4　破产概率的下界估计

对于许多风险厌恶型的决策者而言,最小的破产概率是他们所希望看到的.下面的定理给出了破产概率的下界估计.

定理2　对于任意的u≥0

 

(11)

证明　如果0≤ux+C(b0)ω≤u,由ψ(u)关于u单调递减可得

 

 

 

则有

 

 

C(b0)ω-b0y)dF(y)p(x,ω)dxdω≥

证毕 ．

 

 

那么

证毕

5　破产概率的上界估计

定理3　假设存在R>0,满足

 

(12)

则对于任意的u≥0

政府机构发挥主导作用，相关部门积极响应政府号召，加强旅游基础设施建设，加大对农村道路和卫生等方面的建设和整治力度。

ψ(u)≤αEexp Rb0Y1E

 

(13)

(14)

其中

1.5 资料收集与质量控制 为了使统计结果更准确，由1名不参加本研究的心理技师，分别采用中文版共情疲劳量表、护士职业认同评定量表对两组护士进行评定。第1次评定在两组成员干预前1 d，收集两组成员基线资料的时候，第2次是在干预结束当天。两组成员都进行2次效果测评。由心理技师发放问卷，统一指导语，集中施测，现场发放及回收问卷，保证问卷填写真实有效。对有疑问的条目，施测者做不加暗示性解释，问卷由被测者独立完成。共发放106份问卷，收回有效问卷106份，有效回收率100%。

 

(15)

证明　对于任意的x≥0,有

Rxexp Rb0ydF(y)≤αexp -Rxexp Rb0ydF(y)≤

αexp -Rxexp Rb0ydF(y)=

αexp -RxEexp Rb0Y1．

针对这种情况，一位在市医药公司工作的有多年药品销售经验的工作人员坦言，某一种西药的市场占有率在很大程度上决定了它的价格，如果这种药属于大众药，也就是说很多公司都生产的话，它的价格定位相对就较低。如果这种药属于新特药，而生产公司又少的话，相对价格就会定得很高，其次，尽管新药上市前依照有关法规，经过严格的毒性实验和临床试验，但由于使用时间有限，不良反应很难得到充分暴露，依旧可能带来潜在的不良反应。相比之下，“老药”的药性相对清楚多了。现在销售的“老药”是被证明副作用较少、较轻、疗效肯定的药物，一旦发生不良反应，很容易诊断和对症治疗。

那么对于任意的u≥0

加快推进医养结合服务：2018年末，80%以上的养老机构能够以不同形式为入住老年人提供医疗卫生服务。2020年末，所有养老院能够以不同形式为入住老年人提供医疗卫生服务。

 

 

假设对任意的n≥1都有

ψn(u)≤

(16)

由B1≥0,Y1和B1独立以及式(3),式(9)，式(11)整理得

ψn(ux+C(b0)ω-b0y)≤αEexp Rb0Y1

 

αEexp Rb0Y1E

 

 

那么有

 

 

 

 

 

在式(16)中对n取极限即得不等式(13).注意到A1≥1,由式(12)和不等式(13)

 

 

证毕.

参考文献

[1]　CAI J.Ruin probabilities with dependent rates of interest[J].Journal of Applied Probability,2002,39 (2)：312-323.

[2]　CAI J.Discrete time risk models under rates of interest[J].Probability in the Engineering and Informational Sciences, 2002,16(3)：309-324.

[3]　XU L, ZHU D J, ZHOU Y R. Minimizing upper bound of ruin probability under discrete risk model with markov chain interest rate[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods, 2015,44(4):810-822.

[4]　牛祥秋.Markov链利率下再保险模型的破产概率上界[J].经济数学,2016,33 (3):45-50.

[5]　DAM B K，CHUNG N Q.On finite-time ruin probabilities in a risk model under quota share reinsurance[J]. Applied Mathematical Sciences,2017,11 :2609-2629.

[6]　DIASPARRA M, ROMERA R.Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process[J].European Journal of Operational Research,2010,204(3):496-504.