1 引 言

在课堂教学中，我们要注重本科生科研创新能力的培养，这将为他们后续的研究生阶段的学习打下良好的基础.目前有关本科数学专业课程教学改革的研究很多[1-2],但是关于教师如何在课堂教学中体现科研创新思想的研究却不多.由于很多教师在本科课程教学中的教学都是原原本本教授课本上的知识，很少给学生传授科研创新思想，导致很多学生在读研究生后对科研很懵懂，科研创新的能力很弱，他们会花大量时间去学习如何做科研.为此，为了提高学生的创新能力和减少研究生阶段对科研创新思想和方法的摸索时间，老师需要从本科生的课程教学中适当的传授做科研的思想和方法，让他们提前了解科研是什么，如何做科研，如何创新.

科研思想的渗透必须同课堂教学内容联系起来，要通过教师的引导让学生体会科研是怎么一步步做出来的，这样会使学生受到潜移默化的影响，学生既掌握了知识又利用旧知识去创造或推广新知识或新结论.本文将从常微分方程的课程教学中选取适当的教学案例给学生展示科研是什么，如何做科研，如何创新.常微分方程作为数学专业的一门基础课，是数学分析的后续课程.自然科学和社会科学中的许多问题都可以用常微分方程模型来描述，比如传染病模型，研究传染病模型的稳定性对于疾病的预防和控制具有重要意义.本文结合本科生常微分方程课程教学中的非线性微分方程解的稳定性内容，将科研课题中的一类人—环境—人传染病模型作为教学案例.

2 模型的描述

1973年在欧洲地中海地区曾发生了的一种传染病[3-6]，这种传染病中的病毒和感染人群可通过环境相互作用，其一般模型可以表示为

(1)

称为人—环境—人传染病模型，其中α>0,β>0,u1(t)和u2(t)分别表示病菌和感染人群在时刻t的数量，1/α表示病菌的平均寿命，1/β表示感染人群的平均传染周期，h(x)表示感染人群对病菌的影响因素，g(x)表示在易感人群的感染率.

3 稳定性分析

当h(x)=kx (k>0)时，许多作者已经研究过系统(1)的稳定性[3-6]，但是没有对具体的g(x)做相关分析，另外，徐大舜和赵晓强[7-8]还考虑了病菌扩散时系统的行波解及其稳定性.

并利用上述方法可判定点是渐近稳定的.

环境保护这一工作的展开对环境保护规范的制定十分依赖，环境保护技术人员只能通过对某些区域环境污染情况和环境保护规范进行对比，才可以最终得出当地污染物质是否超标的结论。环境监测可以对环保工作稳定的展开提供明确的方向，也能够为环保规范的制定带来根据。

3.1 取

证 易知ν>0. 平衡点即方程组

(2)

显然方程组

(3)

的解即是系统(2)的平衡点.

当k/p<αβ时， 易知方程组(3)有唯一非负解(0,0)，利用下面的线性化系统的动力学行为来分析该点的稳定性

硝盐可能存在的隐患，源于其不当添加导致在产品中的大量残留，可和产品中的仲胺反应生成具有强致癌性的亚硝胺，加大了对其安全性的质疑。为此各国家和地区均对其使用非常严格谨慎，从安全角度对其添加量和范围进行了持续不断的研究，而且从法律法规上对其使用量、使用范围和产品中的残留进行了 强制性规定，寻找更为安全可靠，经济适用，能替代硝盐在肉制品发挥多种功能的添加剂的研究长期以来从未停止过。本文以分析硝盐的作用及危害为基础，对硝盐替代物的相关研究进行了概要综述，并对未来可能的研究重点进行了展望。

其特征方程为

解得

伴随着农业种植技术的快速发展，提高了农作物种植的有效性，而小麦也是农作物之一，但在小麦种植技术和病虫害防治技术上仍需分析和探究。在此情况下，本篇文章主要是分析了种植技术和病虫害的问题，并提出有效策略。

所以(0,0)点是渐近稳定的. 因为当时，非线性项满足

所以由按线性近似理论[11-12]知，(0,0)点是渐近稳定的.

当k/p=αβ时，会出现零特征根，此时线性分析的方法已经失效，平衡点的渐近行为将变得很复杂.

解得λ1=-α<0,λ2=-β<0，故(0,0)点是渐近稳定的.因为当时,非线性项满足

译文 Swiftly I sped as in fearful pursuit,Afraid time would race on and leave me behind[14]69.

下面介绍生物种群模型中常用的两类功能反应函数：Holling II类功能反应函和Holling III类功能反应函在生物种群模型中经常利用这两类函数来描述单位数量的某种群对另一种群的影响随另一种群数量的增加的变化关系.下面分析当g(x)取两类功能反应函数时系统(1)的动力学行为.而由于h(x)是感染人群对病菌的影响因素，可取线性函数[3-6].为了简化计算，分别取和

3.2 取

此时系统(1)变为

(4)

首先，给学生解释将问题推广到一般情形的原因：由于生物种群间的相互作用很复杂，上述两种特殊情形的只能从一个侧面来描述种群的演化过程，而对于种群间稍微复杂的相互作用关系即h,g取复杂函数时上述结论已不再适用，并且目前也没有人对更一般的情形做过全面的分析研究，所以这个问题是新的，为了有效的预防和控制传染疾病，需要对系统(1)的一般情形的动力学行为做更全面更彻底的研究.

(5)

通过对上述两种特殊情形的分析，学生对这个模型的稳定性有所了解，然后启发学生能不能将条件和结论推广，即推广到具有更一般非线性项的人—环境—人传染病模型上，在下一小节将解释要把问题推广到一般情形的原因，并分析如何提条件以及抽象结论的变化.

鼓励社会力量自助或合作建设的各类创新服务点，在自愿原则下纳入区级图书馆总分馆管理体系，与区级总馆、街镇分馆实现资源整合与分级管理。发挥好民间力量和市场主体的积极作用。打造最美阅读空间，如最美书店“钟书阁”、优秀文化交流空间“朵云书院”、山脚下的书屋“三联书屋”等，充分发挥“阅读+”“图书馆+”的文化集聚效应。

基于关联特性矩阵的电网信息物理系统耦合建模方法//薛禹胜,李满礼,罗剑波,倪明,陈倩,汤奕//(2):11

当k/p>αβ时，(3)有两组解(0,0)和通过分析线性系统知，(0,0)点是鞍点. 对点，需将其平移到原点，故令代入系统(2)得

所以由按线性近似理论知，(0,0)点是渐近稳定性的.

当时，方程组(5)有两组解(0,0)和利用上述方法可判定(0,0)点是不稳定的，点是渐近稳定的.

希腊“Giorgos Thymus国际钢琴比赛”将于2019年1月10至18日在希腊塞萨洛尼基举行。该比赛每两年举行一次。年龄限制：0至32岁。比赛一等奖奖金为5000欧元。比赛共分为三轮，第一轮：独奏30分钟；第二轮：独奏60分钟。决赛轮：协奏曲。比赛曲目与详情请关注网站。

当时，方程组(5)有三组解和利用按线性近似的方法可判定(0,0)和点是渐近稳定的,点是不稳定的.

有唯一解(0,0)，易知在该点线性化系统为

3.3 推广到一般情形

当时，方程组

其次，给学生分析对于一般情形的条件和结论应该有哪些变化，可以做如下分析：从上述两种特殊情形可以看出，平衡解的稳定性依赖于函数h,g的性质，因此应该对函数h,g提条件：首先，为保证平衡点的存在性，需要考虑函数的单调性和连续性；其次，为保证平衡点的稳定性，要考虑函数的可微性和凹凸性；最后为保证生物实际意义，需要考虑函数的有界性和渐近性.由于结论是关于平衡点稳定性的，所以结论只需要对函数的不同情形分类讨论平衡点的稳定性即可.因此，对系统(1)给出如下假设：

企业财务管理必须与企业战略相匹配，财务战略目标是通过资本的配置与使用实现企业价值最大化。企业价值的实现通过资本增值来体现，资本增值的表现之一就是经济增加值。20世纪80年代，有财务咨询公司研究表明，公司剩余收益变化与其股票市值变化存在高度相关性，剩余收益作为绩效评价指标开始逐渐普及。在1982年，剩余收益被Stern Steward咨询公司重新设计命名为经济增加值(Economic Value Added),并将EVA注册为商标。

(H) h,g∈C2(R+,R+),h(0)=g(0)=0,h′(x)≥0,g′(x)≥0,∀并且存在ξ使得I′′(x)>0,x∈(0,ξ);I′′(x)<0,x∈(ξ,+∞),其中I(x)=h(g(x)/β).

定理1 令则

我曾询问老三凯安的老师能否减少三年级学生的作业量，因为作业实在太多，会影响到孩子的体育锻炼和睡眠时间。老师告诉我，一旦作业的量降下来，父母们就会焦虑地要求她布置更多的作业，因为他们担心孩子的学业会落后于其他学校的学生。这是父母在教育中缺乏丰盈心态的典型表现。

(i) 当α>ν时，系统(1)只有一个平衡点(0,0)，并且在第一象限是渐近稳定的；

(ii) 当0<α≤h′(0)g′(0)/β或α=ν时，系统(1)有两个平衡点(0,0)和

(iii) 当h′(0)g′(0)/β<α<ν时，系统(1)有三个平衡点(0,0)，(a,g(a)/β)和(b,g(b)/β)，其中0<a<b满足h(g(x)/β)=αx，并且(a,g(a)/β)点是不稳定的，(0,0)和(b,g(b)/β)点是稳定的.

此时系统(1)变为

(6)

的解，可看作曲线Γ1:u1=h(u2)/α和曲线Γ2:u2=g(u1)/β的交点.

湖北省103个县（市、区）地理国情普查挂图采用ArcGIS软件，全数字编辑出版印刷模式首先是在GIS 中有效利用数据库的数据资源，发挥GIS 软件的空间分析、数据分类、分层提取、检索、条件查询等功能，充分进行针对地图内容编辑的数据处理，从而为进入地图出版编辑系统提供接口数据。

方干又有七律诗《题龙泉寺绝顶》和《再题龙泉寺上方》。据嘉泰《会稽志》：“(龙泉寺)东晋咸康二年建。唐会昌五年废，大中五年重建。咸通二年改今额。”[10]卷八因而可以据此判断在咸通二年(861)方干52岁之后至少曾经两次造访会稽龙泉寺并且留下诗篇。

(i) 由(H)知，(0,0)是(6)的解. 当α>ν时，Γ1的图像在Γ2图像的上方，所以(0,0)是(6)的唯一解.将系统(1)在(0,0)点线性化得

其特征方程为

解得从而(0,0)点是渐近稳定的.

(ii) 从曲线Γ1和曲线Γ2图像的性质分析可得，曲线Γ1和Γ2有两个交点(0,0)和 通过分析其线性化系统并结合按线性近似理论知，当0<ν<h′(0)g′(0)/β时，(0,0)点是不稳定的，当0<ν≤h′(0)g′(0)/β时，点是稳定的. 但是当μ=g′(0)或μ=ν时，线性化系统的特征方程出现了零特征根，此时线性分析的方法已经失效，平衡点的渐近行为将变得很复杂.

(iii) 同(ii)的分析可得，曲线Γ1和Γ2有三个交点(0,0)，(a,g(a)/β)和(b,g(b)/β)，其中(a,g(a)/β)点是不稳定的，(0,0)和(b,g(b)/β)点均是稳定的.

4 结 论

课堂教学不仅是传授学生知识，还要让学生学会如何创造新知识.引导学生创新的关键在于教师的引领，因此在课堂教学中教师的引领应体现在如何分析问题和解决问题.首先，缕清思路，分析关键点，采用倒分析的方法，提炼解决问题的关键点，分析所给条件的目的，尤其注意隐性条件，这需要在做的过程中才能发现，探求为达到某相关目的条件或方法，这需要考虑理论和实际问题的需要；然后，完善和优化条件和结论，并从理论和实际问题给出解释；最后，凝练思路和精练步骤.在教学中渗透科研思想，并结合自己的科研实际将部分科研成果作为教学案例，锻炼学生的抽象思维能力，激发学生为了达到解决问题的目的而积极拓展新思路和探索新方法，是本科生课程教学的思想.

数学专业课高度抽象，逻辑推理严密.如果本科生对基础知识掌握的不牢固且比较孤立，那么他们对综合知识的运用能力就不强，影响其创新能力.通过选取科研中相关的内容作为教学案例，采用教研相结合的方法，不仅使学生体会了做科研的乐趣，增强学生的创新能力，还有助于老师教学水平的提高.

本文结合常微分方程中的按线性近似理论讨论一类人—环境—人传染病模型，首先选择两类特殊的非线性函数并结合按线性近似理论研究了系统平衡点在不同线性条件下的稳定性，然后将该结论推广到了具有更一般非线性项的人—环境—人传染病模型上，并给出阈值参数γ=h′(0)g′(0)/αβ，当0<γ<1时，传染病总是趋向于无病平衡点(原点是唯一的平衡点)，当γ>1时，系统(1)存在有病平衡点.

[参 考 文 献]

[1] 姚云飞. 高师本科数学分析教学改革的研究与实践[J].大学数学，2003，19(6)：12-19.

[2] 杜廷松. 关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考[J].大学数学，2007，23(2)：8-15.

[3] Capasso V, Paveri-Fontana S L. A mathematical model for the 1973 cholera epidemic in the European Mediterranean region[J]. Revue d’Epidemiol. et de Sante Publique, 1979, 27 (2): 121-132.

[4] Capasso V. Mathematical Structures of Epidemic Systems, Lecture Notes in Biomathematics[C]// Vol. 97, Heidelberg: Springer-Verlag, 1993.

[5] Capasso V, Maddalena L. Saddle point behavior for a reaction-diffusion system: Application to a class of epidemic region[J]. Mathematics and Computers in Simulation, 1982, 24 (6): 540-547.

[6] Capasso V, Wilson R E. Analysis of reaction-diffusion system modeling man-environment-man epidemics[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1997, 57 (2): 327-346.

[7] Xu D, Zhao X Q. Bistable waves in an epidemic model[J]. Jounal of Dynamics and Differential Equations, 2004, 16 (3): 679-707.

[8] Xu D, Zhao X Q. Asymptotic speed of spread and traveling waves for a nonlocal epidemic model[J]. Discrete and Continuous Dynamical Systems-Series B, 2005, 5 (4): 1043-1056.

[9] Huang J, Lu G, Ruan S. Existence of traveling wave solutions in a diffusive predator-prey model[J]. Journal of Mathematical Biology, 2003,46 (2): 132-152.

[10] Li W, Wu S. Traveling waves in a diffusive predator-prey model with holling type-III functional response[J]. Chaos Solitons and Fractals, 2008,37 (2): 476-486.

[11] 丁同仁, 李承治. 常微分方程教程[M].2版. 北京: 高等教育出版社, 2004:252-254.

[12] 王高雄, 周之铭, 朱思铭, 王寿松. 常微分方程[M].3版. 北京: 高等教育出版社, 2006:255-260.