1 引 言

凸函数， 也称经典凸函数， 其定义可见教材[1]. 基于凸函数的重要性， 长期以来得到很大关注. 2014年Iscan在[2]中提出调和凸函数的概念， 文献[3]探讨了调和凸函数的一些基本性质并给出几个等价刻画. 本文是[3]工作的继续， 有两个方面的内容：一是对[3]中的基本性质做进一步的完善， 并给出调和凸函数Lipschitz连续性的结果；二是利用两个函数分别对调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式进行加细.

定义1.1[2] 设区间I⊆{0}， 函数f∶I→. 若对任意的x，y∈I和任意的t∈(0，1)，成立

(1)

则称f为I上的调和凸函数. 若上式的不等号反向， 则称f为I上的调和凹函数.

同时，品牌分化将日益明显，全年促销频率加快，家电龙头加大竞争力度，将朝着寡头垄断和跨界竞争的方向发展，将逐步抢占二线品牌份额，未来非第一阵营的品牌将面临极大的竞争压力。

为方便， 记

故f在[α，β]上是Lipschitz连续的.

女助手说：“我真没有发现有什么不对的地方，以前的警察也来过几次，我都这么说，毛老师是一个很严谨的人，也很守信的，他失踪前一天还答应对我的论文进行指导的，可是他那天晚上下班后就没有再回来了，我还帮他草拟了接下来一个星期的日程安排，他还亲自提笔改了几处的。”

在[2]中， 针对调和凸函数建立了如下Hermite-Hadamard型不等式： 设函数f∶[a，b]→是调和凸函数， x，y∈[a，b]， x<y. 则下列Hermite-Hadamard型不等式成立

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(2)

2 调和凸函数的基本性质

设0<a<b， =(-∞，+∞). 在文献[3]中得到一些性质， 在本节进一步完善它们. 先罗列文献[3]中的部分性质.

性质2.1([3]定理3) 设函数f∶(a，b)→为调和凸函数， 则f在(a，b)内连续， 且对任意x∈(a，b)， 两个单侧导数f′-(x)和f′+(x)均存在.

结合性质2.4(II)， 得到

由凸函数的单侧导数性质得到g′-(x)≤g′+(x)(见[4]和[5])， 从而结合文献[5]定理3可将性质2.1完善为

(i) 若f为调和凸函数且在(a，b)内单减， 则f为(a，b)内的凸函数.

xf′-(x)+f(x)=g′-(x)， xf′+(x)+f(x)=g′+(x).

例2.1 函数xα(α>1)在区间(0，+∞)内既是经典凸函数也是调和凸函数; 函数在区间 (1，+∞)内是经典凸函数但不是调和凸函数(是调和凹的); 函数在区间(0，+∞)内是调和凸函数但不是经典凸函数. 因此， 调和凸函数是一类新的函数. 调和凸函数类与经典凸函数类互不包含， 但它们的交集非空.

项目导向、任务驱动指的是《基本护理技术》所有的内容都是以项目形式导入，而每个项目的教学都是以完成特定护理任务来推动整个教学的进展。

性质2.1′ 设函数f∶[a，b]→为调和凸函数， 则f在(a，b)内连续， 且对任意x∈(a，b)， 两个单侧导数f′-(x)和f′+(x)均存在， 且f′-(x)≤f′+(x). 进而， 单侧极限f(a+)与f(b-)均存在， 且f(a+)≤f(a)， f(b-)≤f(b).

性质2.3([3]定理2) 设f∶(a，b)→是连续函数， 则f为(a，b)内的调和凸函数的充分必要条件是对任意x，y∈(a，b)， x<y， 存在t∈(0，1)使得

f(ht(x，y))≤tf(y)+(1-t)f(x).

由该性质立即得到

故H(t)为[0，1]上的凸函数.

推论2.1 设f∶(a，b)→是连续函数， 则f为(a，b)内的调和凸函数的充分必要条件是对任意x，y∈(a，b)成立

下面性质来自文献[2]命题2.3， 但没有给出证明.

性质2.4 设区间(a，b)⊆(0，+∞)， 函数f∶(a，b)→.

性质2.2对闭区间[a，b]也是成立的. 现在在闭区间[a，b]上考虑性质2.1. 令g(x)=xf(x)， 则由性质2.1的证明知对x∈(a，b)， 有

(ii) 若f为凸函数且在(a，b)内单增， 则f为(a，b)内的调和凸函数.

由推论2.1和函数单调性的定义立即得到其证明. 如果f二阶可导， 则由性质2.2也可轻松得证该性质. 我们略去其证明过程.

实验的设计对象是水杯产品。水杯较常见，其复杂程度低、易于表现、设计周期短，但是创意空间较大。水杯的评价指标以单一的感性因素为主，避免了多目标评价的复杂因素影响。

性质2.5 设f∶(a，b)→是调和凸函数， 则对(a，b)的任意闭子区间[α，β]， f在[α，β]上是Lipschitz连续的.

证 令g(x)=xf(x)， 则由性质2.2知g(x)为(a，b)内的凸函数. 于是g(x)在[α，β]上是Lipschitz连续的(见[4]或[6])， 因而存在常数L>0， 使得∀x，y∈[α，β]， 成立

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|.

取 则

过度娇宠。美国家庭心理学家约翰·罗斯蒙德认为，家长的关爱是幼儿成长的维生素，缺它不可，过多无益。像有些孩子手里拿着鸡蛋，但不知道怎样吃；鞋带松了，却不知道怎样系等。这些都是家长平时过于娇宠的结果，阻碍了幼儿自主意识确立和自主能力提高。

|f(x)-f(y)|

同时， 基于I⊆{0}， 本文仅考虑I=[a，b]情形， 其中0<a<b.

3 与调和凸函数的Hermite-Hadamard型不等式有关的两个函数

本节的目的是一定程度上加细Hermite-Hadamard型不等式(2)， 这分别通过两个函数H(t)(见式(3))和G(x)(见式(6))来实现， 加细不等式见式(5)和式(8).

设函数f∶[a，b]→为调和凸函数， 0<a<b. 记 定义函数H∶[0，1]→如下

(3)

则显然有

行政会计制度因其整合，独立，全面，高效，全面和多样化而出名多年。行政事业单位的会计原则增强了会计监视职能。溃烂的来源是一件好事。开户后，会计流程从“各种暗箱操作”变为“户外汇总操作”。各单位的收支在会计核算中心会计核算的会计公示监视下经过;增强结合调度和资金处置。有利于财务部门结合调度和处置资金;标准会计根本操作，进步会计信息质量;精简人员并进步运营才能。因而，在这个阶段，我们需求总结经历并改良近年来的各种准绳。总结和总结行政事业单位会计准绳的利害，增强研讨，及时分离财政收付准绳，更好地为预算效劳。

(4)

命题3.1 设函数f∶[a，b]→为调和凸函数， 则对∀t∈(0，1)， H(t)≥H(0).

小孩子们掉头跑回家，拎出小板凳，又飞也似跑回来，叽叽喳喳，让老人们坐下。人群有了活气，为这些孩子，他们咋受气，也值当呀！

证 对任意给定的t∈(0，1)， 令s=s(x)=ht(c，x)， 则

且

北京市天元律师事务所合伙人陈胜律师表示，一般而言，逃税款数额达五万元并占应纳税额10%以上时，在两种情况下会被追究刑责：一是经税务机关下达追缴通知，且在收到通知后仍不补缴应纳税款、不缴纳滞纳金或者不接受行政处罚；二是5年内因逃税受过刑事处罚或者被税务机关给予二次以上行政处罚。

于是对∀t∈(0，1)， 得到

其中步骤“≥”来自式(2)的左边不等式， 最后等式来自式(4).

命题3.2 设函数f∶[a，b]→为调和凸函数， 则

(i) H(t)为[0，1]上的凸函数.

根据经典闭环系统控制理论，采用系统线性分析方法，以参考信号源引入的相位噪声为例，结合图2的相位噪声模型计算分析各噪声源的相位传递函数。假定此时系统中的相位噪声仅有参考信号源的输入引起，其他噪声源均为零输入，则由系统相位噪声模型框图，可得

(ii) H(t)为[0，1]上的单增函数.

证 (i) 设t1，t2∈[0，1]满足t1<t2，则∀λ∈(0，1)， 有

于是

Comparison of methods for determination of scalp moisture 4 28

(ii) 由(i)和命题3.1， 对0<t1<t2≤1， 有

从而得到H(t2)≥H(t1).

性质2.2([3]定理5) 函数f∶(a，b)→为调和凸函数的充分必要条件是xf(x)为(a，b)内的凸函数.

推论3.1 设函数f∶[a，b]→为调和凸函数， 则H(t)为(0，1)内的调和凸函数.

由命题3.2(ii)， 得到Hermite-Hadamard型不等式的改进

(5)

受文献[7]的启发， 给出与Hermite-Hadamard型不等式有关的另一个函数G(x).

就连著名的宝石切割大师阿伯特·拉姆齐（Albert Ramsay）都曾对19世纪末到访印度的经历有以下描述：

回顾

定义3.1 对x1，x2∈[a，b]， 若存在使得 则称x1，x2关于c调和对称.

引理3.1 设x1，x2∈[a，b]， 则x1，x2关于c调和对称的充分必要条件是存在使得x1=ht(a，b)和x2=ht(b，a).

证 必要性. 设x1，x2关于c调和对称， 则由定义3.1， 存在 且容易验证x1=ht(a，b)和x2=ht(b，a).

充分性. 设存在 则得到 因此x1，x2关于c调和对称.

定义函数如下

(6)

则显然

(7)

命题3.3 设f∶[a，b]→是调和凸函数， 则函数G(x)在上是单增的.

证 设 使得

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由f调和凸， 得到

两式相加， 有

此即得到G(x1)≤G(x2).

设f∶[a，b]→是调和凸函数， 则由性质2.1′知f在[a，b]上连续(若有必要， 重新定义f(a)=f(a+)和f(b)=f(b-)而不影响调和凸性). 于是由式(6)定义的函数G(x)在区间使得

进而， 由命题3.3和式(7)， 得到改进和加细的Hermite-Hadamard型不等式

(8)

[参 考 文 献]

[1] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册) [M]. 4版. 北京：高等教育出版社，2010： 151-157.

[2] Iscan I. Hermite-Hadamard type inequalities for harmonically convex functions[J]. Hacet. J. Math. Stat.， 2014， 43(6)： 935-942.

[3] 雷冬霞， 黄永忠， 刘继成. 调和凸函数的基本性质和等价刻画[J]. 大学数学， 2017，33(6)：85-89.

[4] 雷冬霞， 黄永忠， 韩志斌. 一元分析学学习指导[M]. 武汉：湖北科学技术出版社， 2014： 108-114.

[5] 廖俊俊， 吴洁. 关于凸性的一些探讨[J]. 大学数学， 2016， 32(6)：91-95.

[6] Li Y C ， Yeh C C. Some characterizations of convex functions[J]. Computers and Mathematics with Applications， 2010， 59： 327-337.

[7] 李泽妤， 徐美萍， 宋国华. Hermite-Hadamard不等式的改进[J]. 黑龙江大学自然科学学报， 2008， 25(3)：297-300.