在20世纪，我国的数学教学大纲或数学课程标准中，对于小学生运算能力的培养都是极其重视的，都将其作为核心概念。但2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》却并未将运算能力作为六大核心概念之一。直到在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，才重增运算能力为十大核心概念之一，并将它定义为：运算能力是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。[1]从2001年实施新课改，经过近十年的数学课程改革实践后，《标准》重新提出运算能力的核心概念，足以表明国家对义务教育阶段学生数学运算能力培养的再次重视，这也是对运算能力在小学数学教学中的地位和作用的肯定。

四是坚持出精品和出名家的统一。漓江画派人才队伍建设，要紧紧抓住“出精品、出名家”这个重点。十多年来，漓江画派始终坚持“多出精品、服务社会”的理念，在艺术创作上精益求精，不断追求艺术创作的新高峰，推出了一大批优秀作品，推动了广西文艺事业繁荣发展。

蔡金法等研究者认为，我国小学生的数学运算能力相对于其他国家来说是较好的。这固然是对我国小学生数学运算能力和小学教师数学教学的肯定，但事实上，我们对于我国小学生通过小学阶段的学习，其运算能力究竟处于怎样的发展水平还是缺乏足够的了解。进一步梳理文献后发现，很少有关于小学生数学运算能力水平的现状研究。《标准》把小学数学教学分为1—3年级、4—6年级两个学段，分别规定了学段的教学内容和目标。小学阶段作为培养学生运算能力的重要时期，学生的运算能力水平会直接影响其今后的数学学习，尤其是对处于由具体运算过渡到形式运算的第二学段（即小学四、五、六年级）学生来说，尤为重要。基于此，本研究对小学第二学段学生的数学运算能力现状进行调查，力求对学生的数学运算能力发展水平有个较为全面的认识。

章学诚的治学思想，是其成就学术功绩的重要前提，也对后世学界有重大影响。今天，我们研究章学诚的治学思想，对弘扬优秀传统文化，推进学术文化建设，仍然具有十分重要的借鉴意义。

一、研究方法

（一）研究对象

本研究以杭州和南京某所小学的第二学段学生为研究对象，两所小学共发放问卷439份，收回有效问卷431份，问卷有效回收率为98.2%。其中，男生227人，女生204人；四年级学生143人，五年级学生137人，六年级学生151人。

（二）研究工具

研究工具采用华中科技大学吴汉荣教授在引进《德国海德堡大学小学生数学基本能力测试量表》的基础上修订的《中国小学生数学基本能力测试量表》。该量表包含“数学运算领域（MT1）”和“逻辑思维与空间-视觉功能领域（MT2）”两个分量表。本研究只测试小学生的数学运算能力，因而只采用其数学运算领域量表。该量表已被证明具有较好的信度和效度，符合测量学的要求。[2]数学运算领域量表共由7个部分组成，分别是抄写数字（SG）、加法（RA）、减法（RS）、乘法（RM）、除法（RD）、填空（EG）和比较大小（GK）。另外，每个部分测试都有时间的限制，抄写数字为30秒，加法、减法、乘法、除法和比较大小各1分钟，填空2分钟，整个测试时间是7分30秒。

（三）数据处理

数学运算领域量表的7个部分中，抄写数字是为了让学生适应测试的气氛，为测试做好心理准备，与运算能力并无相关，因此不做数据的统计和处理。另外6个部分，每部分有40道题目，每题计1分，答对得1分，答错或未答均不得分。最后采用SPSS 21.0软件对收集到的数据进行描述性统计、T检验、相关分析等。

二、研究结果与分析

（一）在运算能力各维度中，学生对除法运算掌握得最好

对参与学生的答题情况进行描述性统计，从各维度题项数量、得分的平均值、标准差和标准误对学生数学运算能力的整体情况进行描述，具体见表1。可以看出，第二学段学生除法的平均分最高，其余依次是乘法、加法、填空、减法和比较大小，比较大小的得分最低。在数学运算能力的六个维度中，学生对除法运算掌握得最好，比较大小的能力则有待于提高。

 

表1 小学生数学运算能力的整体情况

  

测试类别 代码 分值 平均值（M） 标准差（SD） 标准误（SE）加法 RA 40 33.9490 3.84976 0.18544减法 RS 40 32.5290 4.37046 0.21052乘法 RM 40 34.9095 2.80426 0.13508除法 RD 40 36.5012 3.70473 0.17845填空 EG 40 32.7239 4.74517 0.22857比较大小 GK 40 29.5452 5.36025 0.25819运算能力总分 MT1 240 200.1578 20.78244 1.00106

（二）运算能力各维度两两呈现显著正相关

通过以上步骤产生的空调系统，同样需要进行三种验证。第一，主要设备额定流量的匹配；第二，末端温度满足预设值；第三，动力设备压头达到要求。满足以上要求，可视为空调系统合理。

（三）第二学段学生数学运算能力的差异性分析

1.数学运算能力及各维度不存在显著的性别差异

这种“以写促读”策略中的“写作”，是为了帮助学生在习得文本语言表达形式的同时，更深刻地体验文本内涵、把握文本主旨。阅读与写作的“结合点”在于文本形式与文本内涵、主旨的融合。在教学中，可以尝试“以读促写”“以写促读”交互式运用。

为了解第二学段学生在数学运算能力及各维度上是否存在性别差异，对所收集到的数据进行了独立样本T检验，结果如表3所示。在运算能力总分上，男生得分高于女生；在加法、除法和填空维度上，女生得分略高于男生；在减法、乘法和比较大小维度上，男生得分略高于女生。进一步分析发现，男女生在运算能力各维度上的p值均大于0.05的显著性水平，说明男女生在运算能力各维度上不存在显著差异。

 

表2 小学生数学运算能力各维度的相关情况

  

注：＊＊表示在0.01水平（双侧）上显著相关。

 

测试类别 加法 减法 乘法 除法 填空 比较大小运算能力总分 加法 1.000减法 0.736＊＊ 1.000乘法 0.705＊＊ 0.634＊＊ 1.000除法 0.661＊＊ 0.715＊＊ 0.609＊＊ 1.000填空 0.644＊＊ 0.677＊＊ 0.639＊＊ 0.694＊＊ 1.000比较大小 0.587＊＊ 0.549＊＊ 0.593＊＊ 0.525＊＊ 0.654＊＊ 1.000运算能力总分 0.851＊＊ 0.856＊＊ 0.807＊＊ 0.827＊＊ 0.869＊＊ 0.805＊＊ 1.000

2.数学运算能力及各维度的年级差异显著

童话面向儿童，因此书中有许多精美的插图。《鼹鼠的月亮河》一书就是如此。既然有这么多精美的插图，那就要充分地利用，在阅读指导中可以充分地借助这些插图来吸引学生的眼球，巧妙设疑来推动故事情节的发展。

从理论上说，学生的数学运算能力应该是随着年级的增高而逐步增长的。为了更清楚、更具体地了解不同年级学生数学运算能力的差异情况，本研究先用条形统计图将第二学段的三个年级学生在数学运算能力各维度上的平均得分进行直观展示，如图1所示。可以看出，运算能力各个维度的得分都是随着年级的升高而增加的，比如在加法维度上，五年级学生的得分是高于四年级学生的，而六年级学生的得分又是高于五年级学生的。

  

图1 四、五、六年级学生在数学运算能力各维度上的得分情况

进一步对三个年级学生的运算能力总分进行F检验，得到表4。结果表明：F值为36.322，p值为0.000，小于显著性水平0.01，说明第二学段学生数学运算能力存在着显著的年级差异。六年级学生的运算能力总分平均成绩最高，为209.48分，标准差为18.53，其次是五年级学生，平均成绩为200.15分，标准差为20.30，得分最低的是四年级学生，平均成绩为190.32分，标准差为18.99。这说明随着年级的升高，学生的数学运算能力也在不断地提高。

 

表3 小学生数学运算能力及各维度的性别差异

  

测试类别 性别 人数（N） 平均值（M） 标准差（SD） t p加法 男 227 33.9251 4.10467女 204 33.9755 3.55456减法 男 227 32.5903 4.74244女 204 32.4608 3.92584乘法 男 227 34.9559 3.03341女 204 34.8578 2.53145除法 男 227 36.4449 3.82705女 204 36.5637 3.57204填空 男 227 32.6696 5.03888女 204 32.7843 4.40695比较大小 男 227 29.9207 5.64768女 204 29.1275 5.00182运算能力总分-0.1370.891 0.3070.759 0.3620.717-0.3320.740-0.2520.801 1.5360.125男 227 200.5066 22.24827女 204 199.7696 19.066410.3700.711

3.运算能力及各维度在是否喜欢数学上存在显著的差异

此外，在实际数学教学中，教师可以采用算24点的方法，抽取4张扑克牌，让学生利用加减乘除四种运算符号列出得数是24的算式，这实际上是在培养学生的数学运算能力。教师还可以用几张算题卡覆盖一幅精美有趣的图画，每算对一题，可使一张卡片消失，最后显露出完整的图画。鼓励学生在遇到需要计算的问题时，采用口算、笔算和估算等不同运算方法，和同伴交流每种运算方法的适用范围。在教学“小数加减法”时，教师可以为学生创设真实的购物情境，让学生在这个情境中自己编题，自己进行尝试练习。由于问题是真实的、开放的，所以每个学生都愿意主动参与，努力探索小数加减法的不同情况，这样一来，学生的运算能力也就得到了锻炼。

为了更清晰地比较喜欢数学的学生和不喜欢数学的学生在运算能力各维度上的得分情况，本研究用条形统计图对这两类学生数学运算能力六个维度的平均得分进行直观展示，具体见图2。可以清晰地看到，喜欢数学的学生在运算能力六个维度上的平均分都高于不喜欢数学的学生，并且两者在填空维度上的得分差距较大。

为了解小学生数学运算能力各维度之间的相关情况，对运算能力总分和各维度进行了Pearson积差相关分析，结果如表2所示。发现，运算能力各维度之间的相关都小于0.01的显著性水平，即相关是具有显著性的。加法、减法、乘法、除法、填空和比较大小之间两两都呈现显著正相关的关系，r值在0.5~0.8之间。运算能力总分与加法、减法、乘法、除法、填空和比较大小这六个维度也是呈现显著正相关的关系，r值较大，都在0.8左右。这说明数学运算能力与各维度是密切相关的，可以通过各维度的测试去测出学生的数学运算能力。换句话说，想要通过某一单个维度去探讨数学运算能力是没有意义的，而应该从各个维度入手去探讨学生的数学运算能力。

进一步分析发现，在运算能力总分方面，两者的t值是3.324，p值是0.001，小于0.01的显著性水平，说明喜欢数学和不喜欢数学的学生在运算能力总分上存在显著的差异，喜欢数学的学生运算能力总分会更高一些。p值在加法、减法、乘法、除法和填空上均小于0.05的显著性水平，说明喜欢数学和不喜欢数学的学生在这些维度上存在显著的差异。总体而言，喜欢数学的学生其运算能力要优于不喜欢数学的学生。

 

表4 四、五、六年级学生运算能力总分的差异情况

  

测试类别 四年级（N=143） 五年级（N=137） 六年级（N=151） F p运算能力总分 190.32±18.99 200.15±20.30 209.48±18.53 36.322 0.000

 

表5 学生数学运算能力及各维度在是否喜欢数学上的差异

  

测试类别 性别 人数（N） 平均值（M） 标准差（SD） t p加法 男 391 34.0895 3.81020女40 32.5750 4.01208减法 男 391 32.7136 4.34119女40 30.7250 4.29661乘法 男 391 35.0614 2.74494女40 33.4250 2.97759除法 男 391 36.6957 3.60227女40 34.6000 4.18054填空 男 391 32.9540 4.61913女40 30.4750 5.40174比较大小 男 391 29.6957 5.27519女40 28.0750 6.00593运算能力总分 男 391 201.2097 20.23381女40 189.8750 23.41946 2.3830.018 2.7620.006 3.5630.000 3.4500.001 3.1800.002 1.8260.069 3.3240.001

  

图2 喜欢数学与不喜欢数学学生在运算能力各维度上的得分情况

三、建议

（一）采用多维度多样化的运算练习方式，增加运算练习的趣味性

在小学数学的实际教学中，单调、机械、重复的运算练习方式既容易引起小学生的反感，又不利于其运算能力的培养。本研究的相关性分析结果也表明，运算能力各维度之间都是密切相关的，因此，要想提高小学生的运算能力，就要采用多维度多样化的运算练习方式。小学数学教师可以将加法、减法、乘法和除法这四种小学里最基本的运算组合起来让学生进行练习，避免长时间让学生进行某种单一运算而导致枯燥乏味，可以根据小学生的认知发展规律采用游戏等手段来增强运算练习的趣味性。

光学透雾使用透雾镜头配合支持透雾的摄像机组合成的光学透雾组合，呈现最为明显的效果，光学透雾能够观察到雾气后方的景物，具有层次和立体感。

例如，教师可以设计一些新颖的、趣味的、具有挑战性的练习情景，这种基础练习能够激发学生学习兴趣，并让学生带着愉悦的心情去练习。图3是选自人教版义务教育课程标准试验教科书数学二年级下册课本中的练习题，该练习题的情境是“得玩具”，让学生在富有童趣的情境中进行运算练习。图4是选自北师大版义务教育教科书数学二年级下册课本中的练习题，该练习题的情境是“森林医生”，让学生对错题进行纠错，感受错误的原因，避免自己出现相同的错误。

  

图3 练习题一

  

图4 练习题二

与第一学段的学生相比，第二学段学生已经开始具有比较强烈的自我意识，常常按照自己的喜好来决定数学学习的进程。运算能力贯穿了学生整个数学学习的过程，是否喜欢数学可能会影响学生数学运算能力的发展，因此，本研究为了解学生运算能力及各维度在是否喜欢数学上的差异情况，对喜欢数学和不喜欢数学的学生的数学运算能力及各维度进行独立样本T检验，结果如表5所示。可以发现，喜欢数学的学生人数为391人，不喜欢数学的学生人数为40人，这说明喜欢数学的人数远远多于不喜欢数学的人数。在运算能力总分方面，喜欢数学的学生运算能力总分平均成绩为201.21分，标准差为20.23，而不喜欢数学的学生则为189.88分，标准差为23.42，两者平均分相差近11分，喜欢数学的学生运算能力总分较不喜欢数学的学生高。

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（二）注重运算概念、公式、法则的教学，帮助学生理解运算的本质

数学运算的依据是数学的概念、公式和法则，其实质是根据运算定义，利用公式和法则从已知数据得出结果。有些学生运算能力差，表现为运算不正确，究其原因是没有牢固掌握相关的运算知识。本研究结果也表明，有些学生由于不理解运算各部分之间的关系导致运算错误。牢固地掌握运算概念、公式和法则有利于提高运算的正确率和速度。为此，小学数学教师在课堂中要注重运算概念、公式和法则的教学，以帮助学生厘清并牢记运算概念、公式和法则。教师在讲授新课时，应该考虑到小学生仍然处在具体运算的发展阶段，对概念、公式和法则的讲授要遵循从具体到抽象的过程，必要时借助直观模型帮助学生理解，并让学生在理解的基础上来记忆相关的运算概念、公式和法则，避免死记硬背和混淆。

部件任务t4,t5,t6的数据世系依次为DLt4=(pt40,pt4),DLt5=(pt50,pt5),DLt6=(pt60,pt6)，其中t5,t6已完工，其处理步骤集合pt5，pt6中包括所有的工序任务；t4未完工，处理步骤集合pt4中仅包括已完工的工序任务。

师：在小猪和小兔计算比赛的过程中，我们得到了三个等式：

例如，特级教师葛文君在教学“乘法分配律”时，首先通过创设情境，将生活情境与数学自然地融合在一起，调动学生学习的积极性，然后引导学生充分感知算法及算法之间的关系，在此基础上，让学生自己去发现规律，并用自己喜欢的方法来表示乘法分配律，而不是死板地让学生记住公式。最后，让学生运用所学的乘法分配律来尝试练习。其教学片段如下。[3]

分 别 吸 取 4 mL K2Cr2O7、 CoSO4、 KMnO4、CuSO4原液于250 mL容量瓶中，用蒸馏水稀释至刻度，在最大吸收波长处测吸光度A0；分别从4种浸泡过经过改性处理的丝瓜络纤维的供比色液中吸取4 mL于250 mL容量瓶中，用蒸馏水稀释至刻度，在最大吸收波长处测吸光度A1；再从4种浸泡过未经过改性处理的丝瓜络纤维的供比色液中，分别吸取4 mL于250 mL容量瓶中，用蒸馏水稀释至刻度，在最大吸收波长处测吸光度A2。结果见表4。

（15+3）×4=15×4+3×4

（55+45）×5=55×5+45×5

（50+125）×8=50×8+125×8

观察这三个等式，每个等式都有几个数组合而成？

生：3个数。

师：通过观察这几道等式从左边到右边，你能发现什么规律吗？

生：两个数的和同一个数相乘，与把两个数分别同这个数相乘，再把所得的积相加，结果是一样的。

师：是不是任何三个数组成这样的算式都具有这样的规律呢？请大家在练习本上，试着写出一个等式来。

生：（8+4）×2=8×2+4×2。

师：像这样的等式有几个？

生：无数个。

师：能否用一个等式来表示这所有的等式？

“田妹子，可别哭，今天可是大喜日子。看你刚才唱得多高兴呀，我都不知道，你会唱这么好听的戏。把大家看傻眼了，哎呀，我们555团有了你，可是我们大家有福气。”

生 1：（A+B）×C=A×C+B×C。

生 2：（△+□）×○=△×○+□×○。

在该教学片段中，我们可以看到葛老师让学生经历了从猜想到验证，再到抽象出乘法分配律的过程，使学生真切感受到了乘法分配律的真实存在。事实上，运算律对于运算是非常重要的，只有真正地理解运算律，才能熟练地进行简便计算。在运算教学中，小学数学教师鼓励学生算法多样化，但也应注意算法要符合学生的生活背景及知识结构，不应片面追求算法多样化的形式。[4]

（三）重视第二学段学生非智力因素的培养，建立积极的数学情感

在数学学习中，除了智力因素，非智力因素也对学生的数学学习有着重要的影响。非智力因素主要表现为学生对数学的喜爱、兴趣、好奇等。本研究结果也表明，喜欢数学的学生，其运算能力优于不喜欢数学的学生。奥加涅相也曾说过，数学学习的好坏很大程度上取决于学习兴趣的产生和保持。但随着年级的升高，学业压力的增大，学生对于数学的喜欢程度却有所下降。为此，教师应该要重视在运算教学中对于小学生非智力因素的培养。第二学段学生在身心各方面发展都要优于第一学段学生，但他们仍处于具体运算阶段，无法脱离具体实物来理解抽象知识，仍喜欢生动、活泼、有情境性的活动。因此，小学数学教师可以引入有趣的数学游戏来激发学生的学习兴趣与求知欲，营造宽松自由的学习氛围来促进学生的主动参与，鼓励学生使学生获得数学学习的成功感和愉悦感，耐心帮助学生养成良好的学习习惯和态度。

总之，班主任工作，不简单；要做好，更不简单。我相信，在爱的教育途中，“用爱去感染每一位学生”，一定会将班主任工作做得更好的。

例如，小学数学教师在上多位数减法练习课时，可以将多位数减法练习内容与“数字黑洞”相结合。首先，教师创设一个设密码的情境，在引出“数字黑洞”游戏的同时，也激发了学生的兴趣和求知欲。其次，让学生根据游戏规则，每人独立地写出三个不同的数字，组成最大和最小的三位数并求差，一步步地循环算下去。虽然每个人的数字都各不相同，但学生会惊奇地发现，大家计算得到的最后答案是相同的，都是495。这既能激活学生的内驱力，引导学生主动参与、乐此不疲地完成计算题，又能达到运算练习的目的。接着，教师可以适时启发学生交流多位数减法的注意点，若发现学生出现错误，及时帮助他们查找原因，使他们也体会到计算的成功感。最后，教师可启发学生进行课后思考：四个数字、五个数字等是否也有这样的“数字黑洞”呢？这样一来，便能激发学生在课后进行运算练习的积极性，同时也增加了练习的思维含量，既保证了练习的量，又蕴含一定的质，达到了高效练习的目的。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］吴汉荣，李丽.小学生数学能力测试量表的编制及信效度检验［J］.中国公共卫生，2005（4）:473-475.

［3］周成平.中国著名教师的精彩课堂小学数学卷［M］.南京：江苏人民出版社，2008.

［4］颜林忠.警惕“算法多样化”被异化［J］.教育测量与评价，2012（5）:63-64.