求高阶导数既是微积分学习中的一个重点，又是一个难点.在考研数学中考察求高阶导数f(n)(x0)，主要有两种方法：一是直接法.即对函数f(x)逐阶求导数，找出其规律，归纳总结写出n阶导数公式.若f(x)是由两个函数乘积构成，可用莱布尼兹公式，即二是间接法.即先写出y=f(x)在x0处泰勒展开式，再通过比较同次项的系数求得f(n)(x0)，具体步骤如下：

(1)写出无穷阶可导函数f(x)在点x0处抽象的泰勒展开式，即.若 x0=0，则 f(x)的麦克劳林展开式为

(2)将函数f(x)在点x0处展成具体的已知幂级数形式，即若x0=0，f(x)展成幂级数为

(3)根据函数f(x)展开式的唯一性，比较(1)、(2)式同次项

的系数，其第n次项系数为，于是求得

这两种求高阶导数的方法都有自己的特点，我们可以通过以下求高阶导数的例题来比较两种方法在化简和计算上的优劣，并进行对比分析.

方法二：间接法.

解 方法一：直接法.

因为+x)，所 以

方法二：间接法.

因为函数y=x3sinx无穷可导，所以在x0=0点先将其抽

分析：f(x)是一个抽象函数，我们只能通过题设中的等式关系求高阶导数.

象展开为，又因为根据函数展开式的唯一性，比较两个式子的同次项的系数，有于是求得y(6)(0)==-120.

例2 求函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)

解 方法一：直接法.

例1 设y=x3sinx，求f6(0).

通过例1，例2，我们可以看到先用泰勒公式将函数展开，写出x0=0点处幂级数的形式，再用待定系数法进行比较，就可以求出任意阶的导数f(n)(0).避免了高阶求导的计算繁琐过程，第二种间接法比第一种直接法更为稳妥和优越.但间接法也有它的劣势，因为间接法适合求在某一点处的高阶导数值，已知函数的幂级数展开式也是比较有限，如果求高阶导函数或表达式复杂的函数还是直接法比较方便.

由于函数y=ln(1-2x)无穷阶可导，则在x0=0点可以先将其抽象展开为将函数y=f(x)用已知公式写出幂级数形式，根据函数展开的唯一性，比较两个式子的同次项的系数，则有，因此

传统能源在工业建筑中的应用逐渐显露出很多问题，当前建筑业在清洁能源利用上不断创新发展，已经取得了一些成绩，清洁能源又可以称之为可再生资源，常见的清洁能源有风能、太阳能等，风能与太阳能也是我国建筑业能源应用中最多的两方面，其具有可再生、能量大等优势，只要满足相应的条件，就可以长时间将其应用于工业建筑中，从而降低传统能源的消耗。在具体设计中风能与太阳能可以用于发电、制热等方面，同时自然风与太阳光还能够调节屋内的空气质量，调节建筑表面温度，充分重视现代化清洁能源的应用是建筑节能的一个重要方向。

第四阶段称为“考核”，即Test。考核除了采用常规的各种考核手段之外，我们还设计了口语实训考核和第三方考核（例如，TOEIC托业桥考试），以及公司考核；从三个不同的角度、不同的考试方式和三个不同的方面来检验学习成效。

分析：此题是求n阶导函数，由于函数表达式比较复杂，所以要先对函数进行有效的恒等变形，然后再求n阶导数,本题用直接法最好.

近年来，高校对大学生创新创业的投入大量增加，也出台了一系列文件和指南，各高校也在不断的匹配资源，完善创新创业人来培养体系，但与西方发达国家相比，我们仍旧处于初级水平，今后的研究要侧重于如果在实践中考察政策、指南及培养方案的实效性，同时注重将创新创业教育下移，即从小就要培养学生的创新创业意识，而不是等到大学才开始启蒙。

解 先对函数整理变型

决策阶段，对水利工程建设进度及质量具有决定性影响。水利工程项目进度控制决策阶段的风险，主要涉及外部风险因素中的自然风险因素及内部风险因素中的业主及设计方面。

仅分布在莱山区轸格庄-草埠附近，该区面积为2.1km2，综合指数值均>0.0577,主要水化学类型为Cl·HCO3-Ca·Na，该区地下水中的各个评价指标均符合地下水水质Ⅰ类水标准，需重点保护。

采用营养钵育苗，营养钵直径8厘米、高10厘米，每钵播1粒种子，播后盖上厚0.5～1厘米的基质，每亩大田需备营养钵约2500个。当出苗率达50%时，春季及时揭除营养钵上塑料薄膜，夏秋季通过开关通风口、开合遮阳网，合理调节棚室温度，保持23℃左右。及时做好调水、通风、换气工作。

解 方法一：直接法.

党的十九大立足新时代新征程，作出了建设交通强国的重大决策部署，这是全国人民对交通运输工作的殷切期望，也是新时代全体交通人为之奋斗的新使命。四川省委省政府立足省情、对标全国、放眼世界，提出了“加快建设交通强省”战略目标。

为避免在不同的双基配置构型下使用不恰当的方法检测目标，研究不同双基构型的杂波特性和相应的处理方法具有重要价值。雷达杂波分类[3]的主要目的是针对不同双基构型更有效地抑制杂波。 Klemm[4]首先根据收发平台的飞行航向将双基构型归纳为4种类型，即航向一致、平行、正交和交叉，同时仿真分析了较为特殊的航向一致、平行和正交三种构型下杂波特性，没有对较一般的交叉构型进行进一步杂波特性仿真分析；文献[2,5]也从发射或接收机静止的双基构型到发射机、接收机都运动的情形进行了机载双基雷达的建模仿真，并仿真分析了典型几何配置下的杂波特性，但没有给出一般化的杂波分类及其特性分析和处理方法分析。

方法二：间接法.

由于函数f(x)无穷阶可导，故在x0=0点幂级数的展开式为，代入已知条件的等式中得

例4 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2则当n≥2时，求f(n)(0).

清水砖：整体墙面砂灰抹面，涂料或者真石漆饰面，墙角采用灰色涂料或者真石漆做500高外饰面，墙脊挂灰色小青瓦；

比较(1)式中等式两边同次项的系数，可得

用间接法求时，这道题的难点是在函数的幂级数展开式上.一般说，要么直接展成已知幂级数的形式，要么对函数“先导后积”或者“先积后导”的方法处理，再展成已知幂级数的形式.而直接法只需要多求出几阶导数来寻找规律，并不需要“先导后积”或者“先积后导”的处理.

通过以上4道题，我们可以看出用直接法和间接法求高阶导数各有自己的优势.直接法计算量比较大，而间接法更适合技巧性的运算.由于问题的多样性，所以具体问题具体分析，希望这两种方法能够被学生灵活掌握运用.

参考文献：

〔1〕潘福臣，杨磊.高等数学[M]．沈阳：辽宁大学出版社，2016.

〔2〕张宇.高等数学十八讲[M].北京：北京理工大学出版社,2015.

〔3〕陈文灯，黄先开.考研数学复习指南[M].北京：北京理工大学出版社,2015.

〔4〕周丹．探析求高阶导数的几种方法[J]．牡丹江教育学院学报，2012（3）：112.