0 引 言

自然界中的许多种群生态现象可以用数学模型来刻画.通过对数学模型的研究,人们可以对相关的自然现象作出科学的预测和解释,进而对生态问题的研究提出合理的方案.二十世纪以来,反应扩散方程越来越多的应用于生态系统中,对描述和刻画种群间的生长变化具有重要的实际意义.

捕食-食饵模型一直是生物和数学工作者研究的热门课题之一,许多学者已经对不同类型的捕食-食饵模型进行了深入地研究,并取得了许多有价值的研究成果[1-8].文献[1-2]研究了一类带有 B-D 反应项的捕食食饵模型的平衡态问题,给出了正解的存在唯一性,稳定性和全局分歧.文献[3-4]研究了带有 Holling-II反应项模型的平衡态问题,给出了正解的存在性和稳定性.文献[8]研究了具有饱和项和霉素反应影响的反应扩散模型的分歧和稳定性.而这些不同类型的捕食-食饵模型大多只是反应函数的改变,并没有考虑到食饵的出生率是否受一些因素而改变.近年来,生物学家对陆地上的脊椎动物进行的行为模拟实验表明,食饵由于被捕食所产生的恐惧效应会在一定程度上削减其繁殖.即在捕食-食饵系统中,食饵的数量不仅取决于其出生率,死亡率和直接被捕食,还取决于食饵的恐惧效应.文献 [9] 首次提出了如下带有恐惧效应的常微分模型

(1)

文献 [9] 研究了常微分系统 (1),给出了正常数平衡解的全局分歧及Hopf分歧.考虑到空间因素对物种也有关键性的影响,且目前鲜有学者进行研究,本文借助文献 [10] 的方法研究如下反应扩散系统

控制变量中营业毛利率、企业规模与企业总税负有显著的正相关关系，即企业规模越大，营业毛利率越高，其税负就越重，结论符合经济学的规模效应。具体而言，营业毛利率每增加1个单位，生产性服务业上市公司总税负会增加0.12%；企业规模每增加1个单位，生产性服务业上市公司总税负会增加1.17%。而资产负债率与总税负呈负相关的关系，即资产负债率越高，企业总税负越轻。这也符合理论情况，但是其负相关关系并不显著。

(2)

其中Δ为Lapalce算子,Ω为Rn中具有光滑边界的有界开区域,u,v分别表示食饵和捕食者的种群密度,b为食饵的内在死亡率,m为捕食者的死亡率; d1,d2是扩散系数,表示食饵恐惧效应,为捕食者的功能反应函数; 参数d1,d2,r0,a,b,c,k,p,q,m均为大于零的常数.为研究方便,且不失一般性,取d1=d2=1,讨论系统(2)相应的平衡态系统

(3)

由文献 [11-13] 易知,当 r0-b>λ1 时 (常数 λ1 定义见引理 1),方程

-Δu=u(r0-b-au),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω.

(4)

存在唯一正解θ,满足此时,方程(3)存在半平凡解(θ,0).并且记考虑到模型的生物意义,以下只考虑的情况下模型(3)在半平凡解(θ,0)处分歧解的存在性和稳定性.

1 预备知识

考察如下特征值问题

(5)

引理 1[7] 设 q(x)∈C1(Ω),则系统(5)的所有特征值满足

λ1(q)<λ2(q)≤λ3(q)≤…→∞.

相应的特征函数为φ1,φ2,…,其主特征值

生态学是一门综合性、实践性很强的学科。室内实验与野外调查相结合是生态学教学中一项十分重要的教学活动，是检验理论知识掌握得牢固与否的主要手段。

是单重的.若q1≥q2,则 λj(q1)≥λj(q2),且若q1>q2,则 λj(q1)>λj(q2).记 λ1=λ1(0),相应的特征函数不妨设为φ1>0(x∈Ω).

引理2[14] (局部分歧理论)设X,Y是Banach空间,U是R×X的一个开子集,f∈C2(U,Y).假设∀λ∈R,方程f(λ,U)=0 满足 f(λ,0)≡0,记

L0=Duf(λ0,0),L1=DλDuf(λ0,0).

若下列条件成立:

当m>m*时,式(16)不存在大于等于1的特征值,因此I-L0(m)可逆且index(L(m*+ε,·),0)=1.当m*>m>m2(1)时,∀而-m1(μ)是μ的单调递增函数.因此1不是I-L0的特征值,即使得经过计算知

(ⅱ) R(L0)的余维是1,即codimR(L0)=dim(Y/R(L0))=1;

(ⅲ) L1(u0)∉R(L0).

由于 u,v>0,则 r0-b>λ1.设χ1>0 为对应的主特征函数,则χ1满足

(ⅰ) λ(0)=λ0;

(ⅱ) φ0=0;

(ⅲ) 对|s|<Δ 有 f(λ(s),s(u0+φ(s)))=0,存在(λ0,0)的邻域,使得f的任一零点或者在这条曲线上,或者具有形式(λ,0).这里Z是X的一个闭子集,满足X=span{u0}⊕Z.

定理1 若方程(3)存在正解,则

证明 若(u,v)是方程(3)的任意正解,在方程(3)的第一个方程两边同乘以φ1,并在Ω上积分得

利用格林公式,容易得出

则存在Δ>0 和一个C1类曲线(λ,φ):(-Δ,Δ)→R×Z,使得

(6)

在式(6)的两边同乘v,并在Ω上积分得

(7)

在方程(3)的第二个方程两边同乘χ1,并在Ω上积分得

(8)

因为

由比较原理及方程(4)正解的存在惟一性可得,再用式(7)与(8)相减,利用格林公式得到

即证毕.

定理2 若(u,v) 是方程(3)的正解,则(u,v)满足

证明 正解u的先验估计已经由定理1给出,下面只给出正解v的先验估计.

令Ω=cu+v,则

由文献[9]知,要使(m*,0,0)成为G(m;Ω,χ)=0的一个全局分歧点,只需满足:

(2) codimR(L1(m*;0,0))=1;

设即ω的最大值在内部达到,则

水价改革是促进节约用水，实现城乡供水一体化良性发展的关键因素。价格的调整通过两种机制来完成:一种是市场机制,一种是行政机制。构建合理的价格机制是市场机制的核心。我国水业的价格形成机制基本上仍然延续计划经济时期的传统模式,即企业申报和政府决定。这种传统的定价模式,在一定程度上阻碍了新的与市场相适应的价格机制的建立和完善。应该充分借鉴和吸收各国水价形成机制,在尊重现实的基础上,逐步确立以市场为主、行政为辅、消费者参与的价格形成机制,引导资源合理配置,使之成为水务企业竞争机制的基础。

1.消除立场和利益的差异。外方监督是法国人，认为工期就是承诺，具有契约精神，虽然道路问题很严重，也要在总工期上保证按时完成，加之外方监督坐飞机参加婚礼时间上的确定更加凸显出外方人员对于时间的重视。我方项目经理表现出对外国监督文化背景的了解和深刻认识，避免了分歧的扩大化和更大矛盾的产生。

2 发自(θ,0)的分歧解

本节将m作为分歧参数,利用分歧理论来给出方程(3)存在正解的充分条件.设 Ω=θ-u,χ=v,则(Ω,χ)满足

(9)

这里

易知Fi(ω,χ),i=1,2,是(m*;0,0) 邻域内的连续可微映射且 F1(0,0)=F2(0,0)=0.令是X的一个包含(0,0) 邻域,

所以，年轻家长对家庭教育问题不自知，就会贻误对孩子的最佳教育引导时机。如果不能对家庭教育问题保持清晰的认识，及时检视家庭教育情况，做到及时发现和解决问题，存在的问题就会成为家庭教育的隐患，成为影响孩子成长的隐患，导致外部因素有一点风吹草动就会引发出家庭和孩子新的问题。

记均为紧算子.于是,方程(9)等价于

由表4可知，对于绕击闪络，当接地极线路配置15片170 mm结构高度绝缘子，在正极绕击雷电流大于150 kA时，接地极线的闪络概率趋近为零；当接地极线路配置12片170 mm结构高度绝缘子，当负极绕击雷电流大于60 kA时，接地极线的闪络概率趋近为零。当接地极线路绝缘配置提高到15片170 mm结构高度绝缘子时，可基本避免极导线遭受雷电绕击时接地极线因感应过电压偏高造成的同时闪络，进而也基本避免了绕击引起的双极闭锁。根据已有±800 kV线路运行经验，雷击闪络绝大部分是由于绕击造成，因此提高接地极线路绝缘配置避免雷电绕击闪络是比较有意义的。

令

3.症状。发病初期病鱼游泳缓慢，体色发黑、尤其头部发黑最为明显，鳃部黏液增多，鳃丝肿胀。而后病鱼逐渐停止摄食，对外界刺激不敏感，离群独游在水面上，鳍条边缘颜色变淡。鳃盖内表面皮肤充血发炎，中间常腐烂形成透明小窗，俗称“开天窗”；鳃局部呈淡红色或灰白色。严重时鳃丝末端腐烂缺失、鳃丝软骨外露，腐烂的鳃丝末端常附着有污泥和杂物，形成“拖泥”现象。鳃丝水浸片在显微镜下观察，会发现大量细长、滑行杆菌。

那么T:R×X1→X是一个连续可微的紧算子.引入非线性函数

G(m;ω,χ)=(ω,χ)⊥-T(m;ω,χ).

(10)

易知当0≤Ω≤θ且χ≥0时,G(m;ω,χ)=0有解当且仅当方程(3)存在非负解.

定理3 设r0-b>λ1,并记则 (m*;0,0)是方程G(m;ω,χ)=0 的一个分歧点,即在(m*;0,0)的邻域内,方程(3)至少存在一个正解.

证明 计算函数G(m;ω,χ)在(m*;0,0)处的Fréchet导数

≐L1(m*;0,0),

≐L2(m*;0,0).

只要验证以下三条:

(1) Ker(L1(m*;0,0))=span{(ω1,χ1)};

2016年企业研发投入的参数β2=7.41，即在其他条件不变的情况下，研发费用每增加1万元，主营业务利润增加7.41万元。P值为0.058，在10%的显著性水平下，表明2016年的企业研发投入对于2017年的主营业务利润有显著影响。

(3) L2(m*;0,0)(ω1,χ1)∉R(L1(m*;0,0)).

则命题得证.

假设0≢(ω,χ)∈Ker(L1(m*;0,0)),则(ω,χ)满足

其中P(Wk|Cj),为模式Wk在电子邮件中的占比，|D|为该类邮件的训练数N(Wk,di)为模式Wk在dt中所出现的次数，|V|为该类特征下对应的所有模式总和。

(11)

显然,若χ≡0则ω≡0,故χ≢0.由m*定义知,χ=χ1>0 是-m*对应的主特征函数.进而,记L1的伴随算子为假设 0≢则 (ω,χ)满足以下方程

(12)

假设ω≠0,则 0≥λ1(2aθ+b-r0)>λ1(aθ+b-r0)=0,矛盾,所以ω≡0.此时,χ满足

(13)

由m*定义知,χ=χ1>0,且即

已知L2(m*;0,0)(ω1,χ1)=D2Gm,(ω1,χ1)(m*;0,0)(ω1,χ1)=(0,Gqχ1).假设L2(m*;0,0)(ω1,χ1)∈R(L1),则有

(14)

方程(14)中第二个方程等价于

(15)

方程(15)中两边同乘χ1,在Ω上积分得

利用格林公式,得

假设不成立,故 L2(m*;0,0)(ω1,χ1)∉R(L1(m*;0,0)).

“王致和”是目前国内最大的腐乳生产企业，腐乳销量长期稳居行业第一位。在全国范围内拥有一家控股子公司，多家生产加工基地。产品包括腐乳、料酒、花色酱、调料、香油、芝麻酱、辣椒酱等百余个品种，均为百姓佐餐佳品，消费者对“王致和”品牌具有非常高的认可度。

由引理2知,存在充分小的Δ>0及C1函数(m,φ,ψ):(-δ,δ)→R×X,使得m(0)=m*,φ(0)=ψ(0)=0,X=Z⊕N(L0)以及(m(s),ω(s),χ(s))=(m(s),s(ω1+φ(s)),s(χ1+ψ(s))).因此方程(3)的正解(u(s),v(s))可写成u(s)=θ-s(ω1+φ(s)),v(s)=s(χ1+ψ(s)).定理3证毕.

3 全局分歧

借助文献 [4] 中的方法,将定理 3 给出的局部分支延拓为全局分支.令

定理4 设r0-b>λ1,则定理3给出的正分支解在正锥P内沿m增大到∞.这里P={(m;U,V)∈ R+×X:U,V∈ P1}.

证明 记

因此,即所以,证毕.

会聚研究与其他描述多学科研究的概念相关联，如跨学科和交叉学科等，但与之不同的是，会聚研究并不是简单地进行多学科交流沟通，而是在多种学科不同研究方式的相互作用影响下，将各类截然不同的研究方法整合成统一的整体以培育新的范式或领域，从而对科学领域的组织分类带来全新变革，为科学和技术进步创造新的途径和机会[4]。会聚研究的基本特征如下：

(H1) 对给定的ε>0,当 0<|m-m*|<ε 时,I-L0(m,0,0) 可逆;

(H2) i(L0((m*-ε,·),0,0))≠i(L0((m*+ε,·),0,0)).

根据Leray-Schauder度的定义,当 0<|m-m*|<ε时,

其中是以(0,0)为球心的开球,σ是L0(m,0,0)的所有大于1的特征值的代数重数之和.考虑以μ为特征值的以下特征值问题

L0(m,0,0)(ω,χ)⊥=μ(ω,χ)⊥.

(16)

特征值问题(16)等价于

(17)

假设μ≥1是式(16)的一个特征值,则χ≢0.事实上,若χ≡0,则系统(17)的第一个方程可改写为

Study on the Development Status and Countermeasures of Snow and Ice Tourism in Chengde,Hebei Province_________________________________SONG Yongyue 108

(18)

由特征函数定义知ω≢0,则 0=λi(μ,2aθ+b-r0)≥λ1(μ,2aθ+b-r0)≥λ1(2aθ+b-r0)>λ1(aθ+b-r0)=0 矛盾,所以χ≢0.设-mi(μ)为下面特征值问题的第i个特征值.

(19)

由预备知识可知,-mi(μ)在μ∈[1,+∞) 上严格递增且满足

1.2.3.2 [4]科室人员应加大筛查力度，护士长需落实病房的检查及指导工作，保证评估量表与患者的实际病情一致。若发现患者的评估情况存在异常，应及时对患者重新进行评估，并强调翻身的重要性，可指家属及患者如何进行翻身及保持正确的体位。

-m1(μ)<-m2(μ)≤-m3(μ)≤…→+∞,m1(1)=m*.

(ⅰ) N(L0)是由u0张成的一维空间,即N(L0)=span{u0};

这里,且

(20)

下面计算对应的代数重数σ.假设则 满足

(21)

对方程(20)中的第二个式子两边同乘积分得

▽

得出矛盾.故即得 σ=1.所以

index(L(m*-ε,·),0)=-1.

(22)

由式(20)及(22)得出index(L(m*+ε,·),0)≠index(L(m*-ε,·),0).

由全局分歧定理[15]知,在 R+×X内,存在(m*;θ,0)出发的连通分支C0满足 G(m;ω,χ)=0,且在点(m*;θ,0)附近,G(m;ω,χ)的所有零点都在(m(s);ω(s),χ(s))曲线上.令C1=C0-{(m(s);s(ω1+φ(s)),s(χ1+ψ(s))):-Δ<s<0},C={(m;U,V):U=θ-ω,V=χ,(m;ω,χ)∈ C1},则C为方程(3)由(m*;θ,0)出发的解曲线,在(m*;θ,0)的小领域内有C⊂P,并且分支C-{(m*;θ,0)} 满足下列条件之一:

(ⅰ) C连接了分歧点(m*;θ,0)和其中不可逆,且

(ⅱ) C在R+×X内由(m*;θ,0)延伸到∞；

(ⅲ) C包含形如(m;θ+u,v),(m;θ-u,v)的点,其中 (u,v)≢(0,0).

下面证明C-{(m*;θ,0)}⊂P.假设C-{(m*;θ,0)}P,则存在点和序列{(mn;un,vn)}⊂C∩P,un>0,vn>0,使得当 n→∞时,易知, 或假设那么则要么存在x0∈Ω使得要么存在x0∈∂Ω,使得由于满足方程

由极大值原理得同理则因此 有以下两种可能:

(1) 假设则当令那么Vn满足

由LP估计和Sobolev嵌入定理知,存在Vn的收敛子列(不失一般性,仍记为Vn)使得当n→∞时,

由极大值原理得与矛盾.

(2) 假设可类似于上面方法得出矛盾.

因此C-{(m*;θ,0)}⊂P.由LP估计和Sobolev嵌入定理知,存在常数M>0,使得‖U‖C1,‖V‖C1≤M.因此C在正锥内只能沿参数m延伸到∞.

4 局部分歧解的稳定性

下面讨论该分支解的稳定性.令其中0<α<1.设i:X1→ Y为由X1到Y的包含映射,L是方程(3)在 (m*;θ,0)处的线性化算子.由定理3的证明可知,又因为 i(Ω1,χ1)∉R(L),所以0是L的i-单特征值.

引理3 0是L实部最小的特征值,其他特征值均在右半复平面上.

证明 假设λ0是L实部小于0的特征值,(φ,ψ)T为相应的特征函数,则L(φ,ψ)=λ0(φ,ψ)T,即

假设ψ≡0,λ0是算子(-Δ+(2aθ+b-r0)I)的一个特征值,且λ0>0,与假设矛盾.所以ψ≢0,即λ0是算子的一个特征值.因为所以矛盾.引理3得证.

由于0是L的i-单重特征值,且L的所有特征值都位于右半复平面上.那么文献[9]及[16-18]知,存在分别定义在和0邻域内的函数 m→(γ(m),S(m))∈R×X,s→(η(s),T(s))∈R×X,使得(γ(m*),S(m*))=(0,(ω1,χ1)T)=(η(0),T(0)),并且

L(m;θ,0)S(m)=γ(m)S(m),|m-m*|≪1,

L(m(s);ω(s),χ(s)))T(s)=η(s)T(s),0<s≪1.

这里S(m)=(φ1(m),φ2(m))T,T(s)=(ψ1(s),ψ2(s))T.而且γ′(m*)≠0,又若η(s)≠0(|s|≪1),则

这里m′(s)为m(s)关于s的导数,γ′(m*)为γ(m*)关于m在m=m*处的导数.分歧解(u(s),v(s))的稳定性由η(s) 的符号决定.当η(s)>0,分歧解稳定.当η(s)<0,分歧解不稳定.在 0<s≪1时,η(s)的符号与m′(s)γ′(m*)的符号异号,下面来计算γ′(m*)与m′(0)的符号.

引理4 γ′(m*)>0.

证明 由方程L1(m;0,0)S(m)=γ(m)S(m),|m-m*|≪1知

若m=m*,则γ(m)=0.若|m-m*|≪1,则γ(m)≪1.若φ2≡0,则φ1≡0.若φ1≢0,则γ(m)是算子(-Δ+(2aθ+b-r0)I)的一个特征值,且γ(m)≥λ1(2aθ+b-r0),结合|m-m*|≪1,γ(m)<λ1(2aθ+b-r0)得出矛盾,故φ2不恒为零.因此γ(m)为算子的特征值.考虑到Ω1>0,只要|m-m*|≪1,则φ1>0,所以γ(m)是算子的主特征值,并且|m-m*|≪1时,γ(m)关于m单调递增,且γ′(m)≠0,可得γ′(m*)>0.证毕.

引理5 m′(0)<0.

证明 将(m(s),u(s),v(s))=(m(s),θ-s(Ω1+φ(s)),s(χ1+ψ(s))代入到方程(3)的第二个方程,两边同时除以s得

两边对s求导,取s=0得

两边再同乘χ1,在Ω上积分得证毕.

综合引理3～5,得出以下结论.

定理5 方程在(θ,0)附近的正解(u(s),v(s))是无条件稳定的.

5 结束语

运用分歧理论研究了一类带有恐惧效应的捕食—食饵模型的平衡态方程,得出了该模型共存解的存在性,并刻画了全局分支的走向和分歧解的稳定性.结果表明,系统(3)发自分歧点(m*;θ,0)的局部分支存在,且局部分支可以延拓至全局分支,并沿参数m延伸到∞及分歧解是无条件稳定的.从生态学角度来看,带有恐惧效应的捕食—食饵模型中捕食者与食饵可以共存且共存态稳定.

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