1 引言及结论

关于不定方程x3-1=Dy2(D为不含平方因子的正整数)的求解已有不少研究. 当D不含6k+1型素因子时, 其全部解已由柯召和孙琦[1-2]及曹珍富[3]等人给出. 但当D含6k+1型素因子时, 此类不定方程的求解较为困难. 当0<D<100且D含6k+1型素因子时,不定方程x3-1=Dy2的全部整数解已得到解决[4-5]. 而对于D>100时, 现在仅仅得到一些零散的结果[6-12]. 罗明[13]证明了x3-1=14y2仅有整数解(x,y)=(1,0). 杨海等[14]证明了方程x3-53=3py2有适合gcd(x,y)=1的正整数解的充要条件. 贺艳峰等[15]证明了方程4x2n-py2=1对于任意的奇数n,方程无正整数解. 本文探讨了D=229的情形, 运用Pell方程基本解的性质、同余式及递归数列等证明了:

定理1 不定方程x3-1=229y2的整数解仅有(x,y)=(1,0).

2 若干引理

引理1[16] 设D,N为正整数,且D不含平方因子,是方程

u2-Dv2=-N.

(1)

的某结合类k的基本解,是x2-Dy2=1的基本解,则有

引理2[3] 设p是一个奇素数,则丢番图方程

4x4-py2=1,

(2)

除开p=3,x=y=1和p=7,x=2,y=3外,无其他的正整数解.

KE Z,SUN Q.On the Diophantine equation x3±1=3Dy2[J].Journal of Sichuan University(Natural Science Edition),1981,18(2):1-6.

3 定理1的证明

显然,不定方程x3-1=229y2有整数解(x,y)=(1,0).故只需证明该方程不存在其他正整数解即可.下文中a,b都是正整数, 且a与b互素.

假设存在正整数解(x,y),由于(x-1,x2+x+1)=1, 3,可分为以下四种情形讨论:

情形1

x-1=229a2, x2+x+1=b2, y=ab.

(3)

将(3)中的第二式化成(2x+1-2b) (2x+1+2b)=-3,由于x,b均为正整数, 必有2x+1+2b≥5,这与2x+1+2b整除3相矛盾,故无解.

[6] 黄勇庆.关于不定方程x3-1=157y2[J].重庆文理学院学报(自然科学版),2006,5(1):30-31.

x-1=a2, x2+x+1=229b2, y=ab.

(4)

从(4)中的第二式有(2x+1)2+3=229 (2b)2,又由(4)中的第一式有x=a2+1,所以有(2a2+3)2-229(2b)2=-3.要解出不定方程u2-229v2=-3的正整数解,须先计算Pell方程x2-229y2=1的基本解.而Pell方程x2-229y2=1的基本解为故由引理1中的(1)式知对于不定方程u2-229v2=-3属于某个结合类k的基本解有但当v=1,2,3,…,195时,不定方程u2-229v2=-3无整数解(u,v).故在情形2下,原方程无正整数解.

情形3

x-1=687a2, x2+x+1=3b2, y=3ab.

(5)

同样的将方程组(5)消去x并化简可得(2b)2-3(458a2+1)2=1.故此不定方程的全部整数解由

(6)

给出.

记则2b=un,458a2+1=vn.易验证有以下递推公式:

(a) un=4un-1-un-2(n≥2), u0=1, u1=2;

(b) vn=4vn-1-vn-2(n≥2), v0=0, v1=1;

(c) un+r=unur+3vnvr, vn+r=unvr+urvn;

(d) un+1=2un+3vn, vn+1=un+2vn;

(g) 229|un当且仅当n≡57(mod114), 229|vn当且仅当114|n.

使用SPSS20.0软件对本文58例鼻出血患者的指标数据进行分析,卡方检验,以%形式展开患者VAS评分情况,t检验,以±s形式展开患者VAS评分情况,两组患者组间差异存在统计学意义以P<0.05展开。

由2b=un及(a)知n为奇数.

“你再找个女人吧！”我再次向他提议。我真的希望他再找个女人，相守着过完下半生。我知道，父亲的潜意识里还存在一丝念想，他还以为跑了路的那个女人有朝一日会回心转意，再来找他。

[10] 车慧,罗明.关于不定方程x3-1=215y2[J].西安文理学院学报(自然科学版),2010,13(4):36-39.

若n≡1(mod228),假设n=228m+1(m为非负整数),则由(d),(e),(f)得

(7)

所以v114mu114m+1=229a2.

又由(un,vn)=1及(d)知

(v114m,u114m+1)=(v114m,2u114m+3v114m)=(v114m,2u114m)=2.

(8)

且229|v114m,故必存在正整数s,t,使得

u114m+1=2s2, v114m=458t2, a=2st.

(9)

代入得由引理2知,此时必有s=v114m+1=1,所以m=0,n=1,从而a=0.这给出一组整数解(x,y)=(1,0).

若n≡113(mod228), 假设n=228h+113(h为非负整数),则类似式(3),有

随着开源软件社区的迅速发展和开源社区协作平台的日益成熟，与传统的软件工程相比，开源软件开发过程中形成了庞大的开源社区存储库，这为我们通过软件存储库数据挖掘技术了解开源软件开发过程和项目状况提供了丰富的数据资源.本章采用的总体分析流程如图2所示：

(10)

故v114h+56u114h+57=229a2.

又由(d), (f)及229|u114h+57,知

(v114h+56,u114h+57)=(v114h+56,2u114h+56+3v114h+56)=(v114h+56,2u114h+56)=2.

(11)

故必存在正整数e,f,使得

u114h+57=458e2,v114h+56=2f2,a=2ef.

(12)

所以由引理3可知此方程没有正整数解.

1.2.3.1 实验对象 以北京大学体育舞蹈选修课学生为实验对象，共计65人，在实验前对2组人员进行协调性与灵敏素质前测，数据表明两组之间没有显著性差异，可以进行试验（表2）。

x-1=3a2, x2+x+1=687b2, y=3ab.

(13)

消去x且化简可得229(2b)2-3(2a2+1)2=1.因为不定方程229x2-3y2=1的最小解为 由文献[18]知229x2-3y2=1的全部正整数解由

(14)

表出.

针对学生学习汉字时出现的字形混乱和写错别字的问题，课上，教师可以有意识地渗透汉字学原理，用溯源法去解释汉字的字形，让学生知道汉字的谱系源流和演变过程，懂得字的形、音、义，从而更规范化地使用和书写汉字。课外，我们还可以推荐学生观看《汉字宫》这个节目，让学生通过观看影视故事，从而认识汉字的造字法，以及深入了解中国深远的汉字文化。让汉字的学习变得有章可循，事半功倍。另外，近年来比较热门的《汉字听写大会》《成语大会》《汉字英雄》等节目也是我们可以利用的教学资源。

令则有以下递推公式:

uk+1=165 337uk+18 924vk,vk+1=1 444 532uk+165 337vk.

(15)

其中u0=19, v0=166.

情形4

由式(15)与u0=19知,数列{uk}中的每一项都为奇数.又因为2b=uk,与uk是奇数相矛盾.所以在情形4下,原方程无解.

故综合上述4种情况知,不定方程x3-1=229y2的整数解仅有(x,y)=(1,0).

参考文献(References):

[1] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=3Dy2[J].四川大学学报(自然科学版),1981,18(2):1-6.

引理3[17] 不定方程x2-Dy4=1(0<D≤400且D不是完全平方数),有正整数解的全部D为:D=3,5,8,14,15,18,20,24,33,35,39,48,60,63,65,68,79,80,83,95,99,105,120,138,143,150,156,168,183,189,195,203,224,248,254,255,258,264,288,315,320,325,328,333,360,390,399.

各种媒体的组合使EOP教学实现最小的可能成本达到教学目标。仍然以刚才英文旅游景点介绍为例。为了使学生能够用英语介绍景点，教师课前可以通过各种各样的平台以各种形式推送词汇、句式，也可以推送相关微课让学生在轻松愉悦的氛围内掌握所需内容。这些媒体扫清了词汇和句式障碍，给课中关键部分总结部分留出很大的时间，让学生在课上真正掌握景点介绍的方法。课后学生可以通过提交视频，语音等各种方式完成作业并获取实时评价。所以说各种媒体的组合让EOP学习更具趣味性和实用性并且能够给予学生实时评价，使学生清楚知道自己的掌握情况。

[2] 柯召,孙琦.关于丢番图方程x3±1=Dy2[J].中国科学,1981,24(12):1453-1457.

KE Z,SUN Q.On the Diophantine equation x3±1=Dy2[J].Science in China,1981,24(12):1453-1457.

[3] 曹珍富.丢番图方程引论[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989:20,275.

帮腔团队，也有人称为歌队，但按照传统，可能还是帮腔更为贴切。以前传统的梨园戏舞台叫“棚”，在台下的帮腔就叫棚下唱。帮腔人间或与鼓师甚至与剧中人对答，也屡见于梨园戏的新老戏。

CAO Z F.Introduction to Diophantine equations[M].Harbin:Harbin Institute of Technology Press,1989:20,275.

[4] 罗明,黄勇庆.关于不定方程x3-1=26y2[J].西南大学学报(自然科学版),2007,29(6):5-7.

LUO M,HUANG Y Q.On the Diophantine equation x3-1=26y2[J].Journal of Southwest University(Natural Science Edition),2007,29(6):5-7.

[5] 段辉明,朱国会.关于不定方程x3-1=38y2[J].黄冈师范学院学报,2005,25(3):16-18.

DUAN H M,ZHU G H.On the Diophantine equation x3-1=38y2[J].Journal of Huanggang Normal University,2005,25(3):16-18.

（2）质谱条件：ESI离子源，正离子模式，ESI喷雾电压4 500 V；雾化气（Gas1）：60 psi（1 psi＝6.895 kPa）；辅助气（Gas2）：50 psi；气帘气（CUR）：30 psi；离子源温度（TEM）450 ℃；去簇电压（DP）60 V；干燥氮气体积流量10 L/min，扫描范围m/z 200～800。

情形2

HUANG Y Q.On the Diophantine equation x3-1=157y2[J].Journal of Chongqing University of Arts and Sciences(Natural Science Edition),2006,5(1):30-31.

[7] 牟全武,吴强.关于不定方程x3-1=103y2[J].西南大学学报(自然科学版),2008,30(10):38-40.

MU Q W,WU Q.On the Diophantine equation x3-1=103y2[J].Journal of Southwest University(Natural Science Edition),2008,30(10):38-40.

[8] 李鑫,梁艳华.关于不定方程x3-1=111y2[J].西南师范大学学报(自然科学版),2009,34(1):12-15.

[13] 罗明.关于不定方程x3±1=14y2[J].重庆交通学院学报,1995,14(3):112-116.

打糍粑，是我们长兴从古至今的春节习俗。有些人以为，糍粑就是年糕，其实不然。年糕是糯米和其他品种的米混合制成的，而糍粑是纯糯米制成的。糍粑比年糕更软、更糯，更具一方风味！

[9] 王利红.关于不定方程x3-1=182y2[J].四川理工学院学报(自然科学版),2010,23(4):396-398.

WANG L H.On Diophantine equations x3-1=182y2[J].Journal of Sichuan University of Science and Engineering(Natural Science Edition),2010,23(4):396-398.

再考虑458a2+1=vn,由vn≡1(mod458)可得n≡1(mod228), n≡113(mod228).

CHE H,LUO M.On the Diophantine equation x3-1=215y2[J].Journal of Xi′an University of Arts and Science(Natural Science Edition),2010,13(4):36-39.

[11] 瞿云云,罗永贵,王云鹏.关于不定方程x3-1=119y2[J].云南民族大学学报(自然科学版),2012,21(5):342-344.

宾阳县大陆村以古辣香米产业特色与美丽宜居乡村建设相结合，以成熟的产业链和标准化的生产，实现产村互动，农旅结合，把大陆村打造成“稻花乡里”示范村。农旅融合是未来乡村旅游发展的方向，是农民增收的一个重大支撑点。2016年启动了广西宾阳万顷香米产业示范区项目，该项目是自治区政府扶持宾阳县重点打造的15万亩涉优质香米种植示范区，并计划在3到5年内建设成为自治区级水稻种植产业示范区和自治区级休闲农业和乡村旅游示范区，同时该项目也是目前宾阳县最大的规划农业与旅游融合、统筹城乡发展的项目。

施工单位在进行操作时，会将工程造价总体施工材料六成以上算作甲方供应，用来控制投资的数额。而且对采购的规格数量、以及材料的性能都要有着严格标准要求，一边进行全面的市场调查，选择性价比最优的供应商。另一边要根据具体工程需求情况，建立供应商的数据库，这将有利于及时的掌握好市场工程材料价格的波动问题，这对于加强工程造价的管理，具有着重要性的作用。而且同时，应当在进行施工前做好详细采购的计划，以及与施工之间的衔接，把握好材料到达的质量与情况，避免出现延误工程的工期现象。

QU Y Y,LUO Y G,WANG Y P.Study of the Diophantine equation x3-1=119y2[J].Journal of Yunnan University of Nationalities(Natural Sciences Edition),2012,21(5):342-344.

[12] 樊苗.关于不定方程x3-1=181y2[J].云南民族大学学报(自然科学版),2017,26(1):38-40.

FAN M.On the diophantine equation x3-1=181y2[J].Journal of Yunnan Minzu University(Natural Sciences Edition),2017,26(1):38-40.

LI X,LIANG Y H.The Diophantine equations x3-1=111y2[J].Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition),2009,34(1):12-15.

LUO M.On the indeterminate equation x3±1=14y2[J].Journal of Chongqing Jiaotong Institute,1995,14(3):112-116.

生12：一开始做这题时我的答案也和生11是一样的，但是我总觉得还应该有新的形式，但是就是想不到，刚才老师说我们还有含相等边的相似三角形时，我一下子就想到了，其实含相等边的三角形范围更大，包含共边相似三角形，所以我们以后遇到这类相似时要考虑全面一些．

[14] 杨海,武静,任荣珍.关于Diophantine方程x3-53=3py2[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(4):418-420.

YANG H,WU J,REN R Z.The Diophantine equation x3-53=3py2[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(4):418-420.

[15] 贺艳峰,柴璇.关于Diophantine方程4x2n-py2=1[J].纺织高校基础科学学报,2015,28(1):45-47.

HE Y F,CHAI X.On the Diophantine equation 4x2n-py2=1[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2015,28(1):45-47.

[16] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海:上海教育出版社,1980:28-35.

KE Z,SUN Q.About indeterminate equation[M].Shanghai:Shanghai Education Press,1980:28-35.

本文借鉴鞠晓生等 （2013）［7］和刘莉亚等（2015）［8］的方法， 直接使用式 （1） 计算 SA 指数。具体而言，将公司上市年限进行1%温莎处理，记为Age。总资产同样进行温莎处理后，将单位换算为百万元，再取自然对数，记为Size。SA指数取值越大，其绝对值越小，企业面临的融资约束越严重。

[17] COHN J H E.The Diophantine equation y2=Dx4+1,Ⅲ[J].Math Scand,1978,42:180-188.

[18] 柯召,孙琦.数论讲义[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:147-151.

KE Z,SUN Q.Number theory handout[M].2nd edition.Beijing:Higher Education Press,2003:147-151.