0 引 言

迭代法是求解线性代数方程组Ax=b的重要方法. 只有当迭代格式收敛且收敛速度较快时, 才能应用于求解大型稀疏线性代数方程组, 因而对迭代法收敛性的研究尤为必要. 而迭代法的收敛性又与系数矩阵A的性质密切相关, 往往在A具有不同性质的条件下讨论某种迭代格式的收敛性.

对此, 学者们给出了许多颇具价值的结果. 文献[1-3]介绍了对非负矩阵, 循环矩阵, Hermite矩阵等的性质及SOR迭代法敛散性的研究, 为后续迭代法敛散性的研究奠定了基础. 文献[4]利用Householder-John定理从理论上解释了SOR迭代法的收敛性,并将 Householder-John定理推广到了线性方程组系数矩阵为一般非奇异矩阵的情况下, 但在实际中应用并不十分方便. 文献[5-7]在线性方程组系数矩阵为2-循环相容次序矩阵条件下研究了MSOR和MASOR的收敛性.文献[8]在SOR迭代法基础上增加参数提出了AOR迭代法. 文献[9-10]研究了AOR迭代法的收敛性.文献[11-16]在线性方程组系数矩阵为(双)严格对角占优矩阵, H-阵等条件下GAOR迭代法的收敛性. 文献[17]利用Householder-John定理给出了Hermite正定矩阵条件下GAOR迭代法的收敛性, 但必须要求D(A=D-E-EH)为正定矩阵. 针对这一问题,本文借助以上相关结论和方法完善GAOR迭代法在Hermite正定矩阵条件下的收敛性,交将Householder-John 定理推广到负定矩阵条件下, 提出了GAOR迭代法在Hermite负定条件下的收敛性问题, 给出了迭代参数ωi(i=1,2,…,n)和α取不同值时, GAOR迭代法的收敛范围.

1 预备知识

考虑非齐次线性方程组

Ax=b,A∈Cn,n,b∈Cn{0},

(1)

当系数矩阵A非奇异时,式(1)有唯一解x=A-1b. 但在实际中往往A-1不易求得, 因此, 令系数矩阵A=M-N, 其中M为可逆矩阵, 那么方程(1)可由如下迭代格式求解:

xk+1=M-1Nxk+M-1b, k=0,1,2,….

(2)

令A=D-E-F, 其中D为负定的对角矩阵, 则AOR迭代格式为

xk+1=Lγ,ωxk+Tγ,ω, k=0,1,2,….

(3)

其中

Lγ,ω=(D-rE)-1[(1-ω)D+(ω-γ)E+ωF],

Tγ,ω=ω(D-rE)-1b.

(ⅵ) 当μm≤μM<0时, 若ωi∈(-∞,0)∪(0,2), α∈(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪{2}, α∈(-∞,1)=(α∈(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(-∞,τm);若ωi∈(0,2], α∈(-∞,τM);若ωi∈(0,2)∪(2,+∞), α∈(-∞,τM);若ωi∈[2,+∞), α∈(-∞,1)=(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪(0,2], α∈(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞), α∈(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪[2,+∞), α∈(-∞,1)=(-∞,τM);若ωi∈(0,+∞), α∈(-∞,τM);若ωi∈(-∞,0)∪(0,+∞), α∈(-∞,τM).

Lγ,ω=(1-ω/γ)I+(ω/γ)Lγ,γ.

(4)

设

其中γi,ωi∈R且不为0(i=1,2,…,n), 下面将AOR迭代矩阵推广为如下MAAOR迭代矩阵

LR,Ω=(D-RE)-1[(I-Ω)D+(Ω-R)E+F].

(5)

由文献[17]可知当且仅当R=αΩ时, 有

现阶段中国为解决环境问题所做的种种努力充分表明，中国始终立足于中国自身和全球自然生态环境逐渐发生负面变化的实际，积极响应并推进符合可持续发展要求的生态文明建设。在此过程中，中国坚持和充分运用了马克思主义生态观，主要表现在以下方面：

LR,Ω=I-R-1Ω+R-1ΩLR,R,

(6)

这时GAOR迭代矩阵为

LαΩ,Ω=(D-αΩE)-1[(I-Ω)D+(1-α) ΩE+ΩF].

(7)

令A=D-E-EH, 显然A为Hermite矩阵, 这时A的GAOR迭代矩阵为

LαΩ,Ω=(D-αΩE)-1[(I-Ω)D+(1-α)Ω E+ΩEH],

即

(8)

其中

(9)

A1=-I-αΩ(-D)-1/2E(-D)-1/2,

A2=-(I-Ω)+(1-α)Ω(-D)-1/2E(-D)-1/2+Ω(-D)-1/2EH(-D)-1/2.

由于与LαΩ,Ω为相似矩阵, 所以特征值相同.

秀容月明站立城头，弯弓搭箭，朝望楼射去。他内力深厚，射程远非弓射手可比，一箭就把望楼里的胡人射死。望楼里的其他胡人学乖，趴下来，秀容月明就用火箭，火箭射入木头，燃烧起来，就把望楼破了。

令 从而 那么

例2:(ST)东亚中国2010年12月31日的资产负债表、2010年度的利润表和现金流量表根据中华人民共和国财政部颁布的企业会计准则（2006）的规定编制，并经毕马威华振会计师事务所上海分所审计(东亚银行年度报告：2010)[6]。

(10)

(ⅰ) 当0<μm≤μM时, 若ωi∈(-∞,0)∪(0,2), α∈(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪{2}, α∈(1,+∞)=(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(τM,+∞);若ωi∈(0,2], α∈(τm,+∞);若ωi∈(0,2)∪(2,+∞), α∈(τm,+∞);若ωi∈[2,+∞), α∈(1,+∞)=(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪(0,2], α∈(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪(0,2)∪(2,+∞), α∈(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪[2,+∞), α∈(τm,+∞);若ωi∈(0,+∞), α∈(τm,+∞);若ωi∈(-∞,0)∪(0,+∞), α∈(τm,+∞).

LαΩ,Ω=(-I-αΩE)-1[-(I-Ω)+(1-α) E+ΩEH].

(11)

2 GAOR迭代法的收敛性

引理1 若矩阵A=-I-E-EH, 则A的Jacobi矩阵B=-(E+EH)的特征值为实数.

证明 因为Jacobi矩阵B=I+A=-(E+EH)为Hermite矩阵, 所以特征值为实数.

引理2 若μj(j=1,2,…,n)为A=-I-E-EH的Jacobi矩阵B的特征值, 则A为正定矩阵当且仅当μj>1(j=1,2,…,n).

表 1 矩阵P正定的充分条件

Table 1 Sufficient condition for P to be positive definite matrix

序号μm，μM，0关系ωiα(ⅰ)0<μm≤μM(-∞，0)(τM，+∞)(0，2)(τm，+∞)2(1，+∞)(2，+∞)(τM，+∞)(ⅱ)0=μm<μM(-∞，0)(τM，+∞)(2，+∞)(τM，+∞)(ⅲ)0=μm=μM(-∞，0)(-∞，+∞)(2，+∞)(-∞，+∞)(ⅳ)μm<0<μM(-∞，0)(τM，τm)(2，+∞)(τM，τm)(ⅴ)μm<μM=0(-∞，0)(-∞，τm)(2，+∞)(-∞，τm)(ⅵ)μm≤μM<0(-∞，0)(-∞，τm)(0，2)(-∞，τm)2(-∞，1)(2，+∞)(-∞，τm)

证明 因为A=-I-E-EH=-I+B, 所以A正定当且仅当-I+B正定, 即-1+μj>0(j=1,2,…,n). 故A正定当且仅当μj>1(j=1,2,…,n).

引理3 [17] (Householder-John定理)假设A=M-N是Hermite矩阵, 其中A和M非奇异, 那么若MH+N为正定矩阵, 则M-1N收敛当且仅当A 为正定矩阵.

引理4 若矩阵A=-I-E-EH, μj(j=1,2,…,n)为A的Jacobi矩阵B的特征值, 那么当ωi(i=1,2,…,n)和α满足一定条件(见表1)时, 矩阵P=-2Ω-1+I-(1-α)B为正定矩阵.

证明 显然, 矩阵P=-2Ω-1+I-(1-α)B为Hermite矩阵, 所以特征值全为实数. 矩阵P为正定矩阵当且仅当P的所有特征值为正, 即 从而∀i,j, 当ωi(i=1,2,…,n)和α满足

新建混凝土垂直防渗墙，以减少水库渗漏量，解决坝基、坝体的渗透稳定问题；同时进行坝顶加固、上游干砌石护坡翻修、下游护坡改造等，从而提高大坝的安全等级和美观性。

(12)

时, P为正定矩阵.

高校办校应当充分结合自己情况，在满足政府宏观绩效评价体系基础上，结合学校内部管理的具体需求，通过提高重视关注、健全配套设施、形成合理约束方式，确保高校财务人员绩效考核的合理性，促进高校财务管理工作顺利进行。

若λ=1, 则Mx=Nx, 从而Ax=0(x≠0), 这与A为非奇异矩阵矛盾, 所以λ=1不是H的特征值, 从而|1-λ|2>0.

(ⅰ) 当0<μm≤μM时, 由式(12)有

(13)

从而, 若ωi∈(-∞,0), α∈(τM,+∞); 若ωi∈(0,2), α∈(τm,+∞); 若ωi=2, α∈(1,+∞); 若ωi∈(2,+∞), α∈(τM,+∞).

(ⅱ) 当0=μm<μM时, 由式(12)有

(14)

(15)

由式(14)得ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞).再由式(15), 若ωi∈(-∞,0), α∈(τM,+∞); 若ωi∈(2,+∞), α∈(τM,+∞).

(ⅲ) 当0=μm=μM时, 由式(12)有

(16)

因此, ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞).

(ⅳ) 当μm<0<μM时, 由式(12)有

我院开展的品管圈活动周期为6个月,每1~2月召开一次圈会,每次会议时长控制在1~2小时,对发现的问题进行分析讨论,并共同商讨解决措施以及总结护理所取得的成果。并且需要对护理质量进行评价分析,进行措施修改,持续性的进行质量改进。

(17)

(18)

(19)

(ⅳ) 当μm<0<μM时, 若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(τM,τm).

(ⅴ) 当μm<μM=0时, 由式(12)有

(20)

(21)

由式(20)得ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞).再由式(21), 若ωi∈(-∞,0), α∈(-∞,τm); 若ωi∈(2,+∞), α∈(-∞,τm).

(ⅵ) 当μm≤μM<0时, 由式(12)有

(22)

从而, 若ωi∈(-∞,0), α∈(-∞,τm); 若ωi∈(0,2), α∈(-∞,τM); 若ωi=2, α∈(-∞,1); 若ωi∈(2,+∞), α∈(-∞,τm).

综上所述, 当ωi(i=1,2,…,n)且α满足表1所示条件时, 矩阵P=-2Ω-1+I-(1-α)B为正定矩阵.

引理5 若矩阵A =-I-EH,μj(j= 1，2，…，n)为A 的Jacobi矩阵B 的特征值,μm那么当ωiωi(i=1，2， …，n)和α 满足一定条件(见表2)时，矩阵P=-2Ω-1+I-(1-α)B 为正定矩阵．

移动支付实质上是一种技术手段，而不是垄断性的技术资源，目前我国政策大力支持多方共同参与移动支付技术的普及和创新。随着市场竞争的愈加激烈及互联网金融的影响，银行不断加强产品的创新管理是大势所趋。商业银行应充分利用自身完整的金融产品研发能力和雄厚的资金实力，实现自身技术领域的不断创新，从完善客户体验角度出发，并借鉴其他竞争者产品，做到后来者居上。以客户为中心，研发出与时俱进能够满足客户需求并适合市场趋势的创新产品，最终实现与移动支付平台的支付宝及微信等竞争者共同角逐市场份额。

综上所述, 当ωi(i=1,2,…,n)且α满足表2所示条件时, 矩阵P=-2Ω-1+I-(1-α)B为正定矩阵.

表2 矩阵P 正定的改进的充分条件 Table 2 Changed sufficient condition for Pto be positive definite matrix

序号μm ，μM ，0 ωi α (ⅰ) 0<μm ≤μM i，ωi [0，2](τM ，+∞) i，ωi ∈ (0，2](τm ，+∞) (ⅱ) 0=μm <μM i，ωi [0，2](τM ，+∞) (ⅲ) 0=μm =μM i，ωi [0，2](-∞，+∞) (ⅳ) μm <0<μM i，ωi [0，2] (τM ，τm) (ⅴ) μm <μM =0 i，ωi [0，2] (-∞，τm) (ⅵ) μm ≤μM <0 i，ωi [0，2] (-∞，τm) i，ωi ∈ (0，2](-∞，τM )

证明 由引理4分六种情况进行讨论.

为了方便起见, 在此仍用LαΩ,Ω, A和E分别表示 和 从而

(ⅱ) 当0=μm<μM时, 若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(τM,+∞).

(ⅲ) 当0=μm=μM时, 若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(-∞,+∞).

由式(17)和(19)有α>τM, 由式(18)和(19)有α<τm. 显然, τm>τM, 所以, 若ωi∈(-∞,0), α∈(τM,τm); 若ωi∈(2,+∞), α∈(τM,τm).

在连续时间内提取足够表示人体行为的关键静态帧序列用以构建动态行为是常用方法。韩旭[9]使用直方图相似度的方式遍历整段数据帧得到关键帧的集合,金泽豪[10]分析了人体运动过程中角度和距离变化的总差异提出基于结构相似度的关键帧搜索方法,减少了搜索时的计算量,提高了搜索效率。

除了从矩阵模型抽取构件的局部成组方案之外，还有一些局部成组方案是设计人员直接根据先验知识设定的，这种局部成组方案更多地反映了设计人员在产品设计方面的经验。

(ⅴ) 当μm<μM=0时, 若ωi∈(-∞,0)∪(2,+∞), α∈(-∞,τm).

当γ, ω∈R且γ≠0时, 有

定理1 若矩阵A=-I-E-EH∈Cn,n, det{-I-αΩE}≠0, 那么当A 的Jacobi矩阵B的特征值满足1<μm≤μM且ωi(i=1,2,…,n)与α满足条件(ⅰ) ∀i,ωi∉[0,2],α∈(τM,+∞);或(ⅱ) ∃i,ωi∈(0,2],α∈(τm,+∞).GAOR迭代法收敛当且仅当A为正定矩阵.

证明 对GAOR迭代, 有

由引理5, 当ωi(i=1,2,…,n)和α满足表2所示条件时, 矩阵MH+N=-2Ω-1+I-(1-α)B为正定矩阵. 又由引理2, A为正定矩阵当且仅当μj>1(j=1,2,…,n), 故定理1得证.

推论1 令A=-I-E-EH, 当∀ωi∉[0,2]时, ρ(LΩ,Ω)<1当且仅当A为正定矩阵.

推论2 令A=-I-E-EH, 当ω∉[0,2]时, ρ(Lω,ω)<1当且仅当A为正定矩阵.

推论3 若A=-I-E-EH为正定矩阵, 其中det{-I-αΩE}≠0且diag(E)=0, 那么无论ωi(i=1,2,…,n) 和α取何值, 都有GAOR迭代法发散.

为了研究系数矩阵A为负定矩阵条件下GAOR迭代法的收敛性, 下面将Householder-John定理推广到负定情况下.

引理6 若A=M-N是Hermite矩阵, A和M非奇异, 那么当MH+N为负定矩阵时,M-1N收敛当且仅当A为负定矩阵.

证明 令H=M-1N 则AH=N(I-H), 从而

即

A-HHAH=(I-H)H(MH+N)(I-H).

(23)

(必要性) 假设A为负定矩阵,λ是H的非零特征值, 对应特征向量为x(≠0), 即Hx=λx.

由式(23)有xHAx-(Hx)HA(Hx)=[(I-H)x]H(MH+N)[(I-H)x],

从而

(1-|λ|2)xHAx=|1-λ|2xH(MH+N)x.

(24)

令 下面分六种情况进行讨论.

因为MH+N和A均为负定矩阵, 所以xH(MH+N)x<0,xHAx<0, 由式(24)可知1-|λ|2>0, 从而|λ|<1, 因此, ρ(M-1N)<1.

所有数据通过SPSS 20.0统计软件进行单因素方差分析，采用均数±标准差表示，P＜0.05表示差异具有统计学意义。

(充分性) 假设ρ(H)<1, {xk}是满足xk+1=Hxk(k=0,1,2,…) 的向量序列, 由ρ(H)<1, 对∀x0, {xk}收敛于0(k→∞), 由式(23)有

(xk)HA(xk)-(xk+1)HA(xk+1)=(xk-xk+1)H(MH+N)(xk-xk+1).

(25)

因为MH+N为负定矩阵, 所以, (xk-xk+1)H(MH+N)(xk-xk+1)≤0, 再由式(25)有

(xk)HA(xk)≤(xk+1)HA(xk+1).

(26)

假设A不是负定矩阵, 那么∃x0, 使得(x0)HA(x0)≥0, 因为x1=Hx0且ρ(H)<1, 所以x1≠ x0, 再由式(26)有

石门桂花村是石门镇著名的旅游景点之一，在石门旅游中扮演着重要的角色。但是，石门桂花村还存在着知名度不高、游客接待量少、基础设施不完善、经营管理不到位等方面的问题，对石门桂花村的旅游发展造成了阻力。为了解决石门桂花村现存的问题，可以从提升管理部门水平，推出特色旅游项目，完善基础设施，加强经营管理等方面入手，加快对石门桂花村的旅游发展进程。

0≤(x0)HA(x0)<(x1)HA(x1),

(27)

这与{xk}收敛于0(k→∞) 矛盾, 从而A为负定矩阵.

对于以上四个构成要素，需要增加基础实验和综合实验的分值占比，降低期末考试的分值占比，更科学地评价学生们的学习效果。

当A为负定矩阵时, 应用引理6, 类似文献[6]和本文定理1的做法, 易得D分别为正定和负定矩阵条件下GAOR迭代法的收敛条件. 在此不加证明的给出如下结论.

3） 通过桥吊远程智能化操控系统的研究实施，实现了桥吊作业的集成化、智能化、简单化、精准化，不仅减少了桥吊的运营成本、提高生产效率、改善操作人员作业的工作舒适度、也是集装箱装卸码头现代化发展的重要体现。

表 3 A负定时GAOR迭代格式的收敛条件

Table 3 Convergent condition of the negative definite matrix A

序号μm，μM，0关系ωiα(ⅰ)0<μm≤μM<1∀i，ωi∈(0，2](-∞，δM)∃i，ωi∉[0，2](-∞，δm)(ⅱ)0=μm<μM<1∀i，ωi∈(0，2)(-∞，δM)(ⅲ)0=μm=μM∀i，ωi∈(0，2)(-∞，+∞)(ⅳ)μm<0<μM<1∀i，ωi∈(0，2)(δm，δM)(ⅴ)μm<μM=0∀i，ωi∈(0，2)(δm，+∞)(ⅵ)μm≤μM<0∀i，ωi∈(0，2](δm，+∞)∃i，ωi∉[0，2](δM，+∞)

定理2 若矩阵

A′=I-E-EH∈Cn,n,det{I-αΩE}≠0, 那么当A′ 的Jacobi矩阵B的特征值μj(j=1,2,…,n)满足1<μm≤μM，且ωi(i=1,2,…,n)和α满足条件

(ⅰ) ∀i, ωi∉[0,2],α∈(τM,+∞);或(ⅱ) ∃i,ωi∈(0,2],α∈(τm,+∞).

(ⅰ)或(ⅱ) 时,GAOR迭代法收敛, 当且仅当A′为负定矩阵.

定理3 若矩阵A=-I-E-EH∈Cn,n, det{-I-αΩE}≠0, A 的Jacobi矩阵B的特征值为μj(j=1,2,…,n), 那么当ωi(i=1,2,…,n) 和α满足一定条件(见表3)时,GAOR迭代法收敛, 当且仅当A 为负定矩阵

3 数值例子

设8阶线性方程组Ax=b的系数矩阵

令A=-I-E-EH,则矩阵A的Jacobi矩阵

的特征值为μ1=1.001 0,μ2=3.688 4,μ3=5.624 8,μ4=6.468 6,μ5=11.245 1,μ6=19.482 7,μ7=49.148 0,μ8=366.241 3,有1<μm≤μM.

当ω1=-2, ω2=-1, ω3=3, ω4=ω5=…=ω10=4, α∈(0.999 1,+∞) 时,A 的GAOR迭代矩阵收敛;

当ω1=-2, ω2=-1, ω3=1, ω4=ω5=…=ω10=3, α∈(1.999 0,+∞) 时,A 的GAOR迭代矩阵收敛.

参考文献(References):

[1] 胡家赣.线性代数方程的迭代解法[M].北京:科学出版社,1991:60-164.

HU J G.The iterative method of solving linear algebraic equations[M].Beijing:Science Press,1991:60-164.

[2] VARGA R S.Matrix iterative analysis[M].Second Revised and Expanded Edition.Berlin:Springer-Verlag,2000:81-87.

[3] 郭煜,畅大为.预条件P(S)=I+(S)下的USSOR迭代方法及其比较定理[J].西安工程大学学报,2012,26(3):370-373.

GUO Y,CHANG D W.Comparison theorems for USSOR iterative methods with the precondition P(S)=I+(S)[J].Journal of Xi′an Polytechnic University,2012,26(3):370-373.

[4] ORTEGA J M,PLEMMONS R J.Extensions of the Ostrowski-Reich theorem for SOR iterations[J].Linear Algebra and its Applications,1979,28:177-191.

[5] 叶绒绒,畅大为,韩俊佳.2-循环矩阵下MASOR迭代法的收敛性分析[J].纺织高校基础科学学报,2016,29(4):428-434.

YE R R,CHANG D W,HAN J J.The convergence analyse of MASOR iteration method on the basis of 2-cylic matrix[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2016,29(4):428-434.

[6] 熊劲松,畅大为.2-循环系数矩阵对称MSOR法收敛的充分必要条件[J].纺织高校基础科学学报,2011,24(4):2-4.

XIONG J S,CHANG D W.The necessary and sufficient condition for the convergence of the symmetric MSOR for 2-cylic coefficient matrices[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2011,24(4):2-4.

[7] 董瑾,畅大为,杨青青,等.一类2-循环系数矩阵对称MSOR法收敛的充分条件[J].纺织高校基础科学学报,2014,27(2):222-226.

DONG J,CHANG D W,YANG Q Q,et al.The sufficient condition of symmetrical MSOR convergence for one type of 2-cyclic coefficient matrices[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2014,27(2):222-226.

[8] HADJIDIMOS A.Accelerated overrelaxation method[J].Mathematics of Computation,1978,32(141):149-157.

[9] 高树玲,畅大为.相容次序矩阵AOR迭代收敛的充要条件[J].纺织高校基础科学学报,2009,22(2):229-231.

GAO S L,CHANG D W.Sufficient and necessary conditions for compatible order matrix AOR[J].Basic Sciences Journal of Textile Universities,2009,22(2):229-231.

[10] 宋永忠.块AOR迭代法的收敛性[J].应用数学,1993,6(1):39-45.

SONG Y Z.The convergence of the block AOR iterative method[J].Mathematica Applicata,1993,6(1):39-45.

[11] TIAN G X,HUANG T Z,CUI S Y.Convergence of generalized AOR iterative method for linear systems with strictly diagonally dominant matrices[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2008,213(1):240-247.

[12] YUAN J Y,JIN X Q.Convergence of the generalized AOR method[J].Applied Mathematics and Computation,1999,99(1):35-46.

[13] LI Y T,DAI P F.Generalized AOR methods for linear complementarity problem[J].Applied Mathematics and Computation,2007,138(1):7-18.

[14] WANG G B,WEN H,LI L L,et al.Convergence of GAOR method for doubly diagonally dominant matrices[J].Applied Mathematics and Computation,2011,217(18):7509-7514.

[15] WANG X M.Convergence theory for the general GAOR type iterative method and the MSOR iterative method applied to H-matrices[J].Linear Algebra and its Applications,1997,250:1-19.

[16] WANG X M.Convergence for a general form of the GAOR method and its application to the MSOR method[J].Linear Algebra and its Application,1994,196:105-123.

[17] HADJIDIMOS A.The matrix analogue of the scalar AOR iterative method[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,2015,288:366-378.