0 引 言

遗传算法(genetic algorithm，GA)是由美国Michigan大学的Holland教授首先提出的[1]，它是通过模拟自然界生物进化的过程与机制来求解极值问题的一类自组织、自适应人工智能的技术[2]。遗传算法具有良好的全局和随机搜索能力，能够快速地将解空间中的全体解搜索出来，而不会陷入局部最优解的快速下降陷阱，但该算法仍存在局部搜索能力差、容易出现“早熟”现象等缺点。“早熟”是指算法搜索停滞不前，无法收敛到全局最优解，产生“早熟”现象的主要原因是种群多样性遭到破坏[3]。禁忌搜索算法(tabu search，TS)最早是由Glover等[4]提出的，具有独特的记忆功能，在资源调度、交通运输、专家系统和神经网络方面应用广泛[5-7]。它具有搜索速度快、局部搜索能力强等优点，但同时也存在对初始解依赖性强、易陷入局部最优解等不足。

针对GA和TS的优缺点，许多学者尝试将TS的记忆功能引入到了GA中，得到混合算法-遗传禁忌搜索算法(GATS)。李大卫等[8]提出了GATS混合策略，用于旅行商问题(traveling salesman problem，TSP)，并证明该混合算法的性能显著优于传统的遗传算法。Thamilselvan等[9]将GATS算法应用到调度系统中，从而减少了旅行成本和时间。Ismail等[10]针对随机车辆路径问题，提出了新的基于GATS的启发式算法，并证明该算法的鲁棒性和求解质量都较好。Lin等[11]将GATS算法应用到电力系统的故障诊断中，证明其对原始参数的依赖性优于常规的方法。Houssem等[12]提出了一种基于混合遗传禁忌搜索算法的柔性作业车间调度问题的多智能体模型，并证明了该算法的效率更高[16]。

以上研究大多关注于GATS算法的实际应用方面，并以试验的方式证明该算法的性能，但缺少从理论角度证明遗传禁忌搜索算法的收敛性，以及具体地分析算法的时间复杂度的研究。本文将使用马尔科夫链模型从理论角度证明遗传禁忌搜索算法的收敛性，并使用随机算法的时间复杂度计算方法[13]，通过求解算法期望收敛时间来推算遗传禁忌搜索算法的时间复杂度。

1 遗传禁忌搜索算法混合策略

传统遗传算法是由选择、交叉和变异3个操作算子来进行的，由于局部搜索能力差等缺陷使传统遗传算法往往难以收敛到全局最优解。禁忌搜索算法是从局部搜索发展而来的，是一种全局逐步寻优算法。禁忌搜索算法最重要的思想是标记对应已搜索过的局部最优解的一些对象，并在进一步的迭代搜索中尽量避开这些对象。它不仅能够防止不必要的循环，而且可以在访问其他解之前对已访问过的种群最优解强制性的再次访问[14]。禁忌算法中的蔑视准则(aspiration criterion)可以使算法在候选集中搜索到更优解，并以此替代历史最优解。

因此，可以将局部搜索能力强的禁忌搜索算法与遗传算法结合，得到混合遗传禁忌搜索算法。TS作为GA的选择操作可以得到每一代的最优个体，并且通过遗传算法中的变异算子可以提高禁忌算法中解空间的多样性。禁忌搜索对初始解的依赖性很强，所以，本文采用贪心算法生成初始解。

医院图书馆是医院资料的汇集地，也是医务工作人员提升自我的学习圣地，因此医院图书馆建设是医院提高医疗水平的极为重要的一项发展项目。近几年来，继续医学教育不断深入，得到了广大医务人员的认可，医院为了响应这一教育模式也应当增加支持力度，增加对医院图书馆的资金投入，使之适应继续医学教育模式[2]。

GATS的具体实现过程如下。

(1)通过贪心算法得到初始解。

客观而言，体育是一个需要“烧钱”的产业，关注度越高的项目，“烧钱”越凶猛。但时至而今，我们还没有看到西王集团实质性的“烧钱”动作，其应对球迷、媒体的思路也仍旧原始而沉闷。当然，这不是西王男篮一个俱乐部的问题。事实上，历任山东男篮东家，其公共品牌打造，素来乏善可陈，专业性、公开性的短板始终没有补上。

管理装置：接收智能测试控制中心指令，实现对气阀的灵活控制。通过控制气阀进行相同插槽号不同类型板卡的切换及装置把座的前进和后退，实现测试连接线的智能构建；同时智能感应被测装置是否放好，对保护装置从放置区到测试区进出进行控制。

(2)判断适应值，如果满足终止条件则终止，否则通过变异操作生成下一代种群，文中依次使用的变异算子是交叉变异、插入变异和倒位变异算子。

(3)用禁忌搜索操作作为选择算子，通过精英选择[15]得到候选集，从初始解邻域中选出最优的m个个体构成禁忌搜索候选集。

(1)交叉变异是指相互交换个体编码串中2个随机选择基因座之间的基因值,从而产生一条新巡回路线，发生一次该变异的概率是(n为问题规模，即编码串的个数)。

(5)重复第(2)步操作，直至满足终止条件，如图1所示。

算法终止条件：算法达到了最大的迭代次数，或算法达到再进化已无法改进解的性能，即解的适应度已经无法再提高时，终止算法。

2 基于马尔科夫链模型的GATS收

期刊格式：作者（著录前3人，其后加“等”字或“etal.”）.文章题目[J].刊名，年，卷（期）：起止页码.

据了解，淄博全市共规划21处以医带养型养老服务设施、10处以医托养型养老服务设施、1处以医联养型养老服务设施、15处医养共建型养老服务设施。至2020年，基本实现医疗卫生和养老服务资源有序共享、覆盖城乡、规模适宜、功能合理的医养结合服务格局。

敛性分析

对于遗传算法，收敛性是指算法所生成的迭代种群逐渐趋于某一稳定状态，或其适应值的最大或平均值迭代收敛于解的最优值，是有效判断当前解是否达到最优解的恰当准则[17]。

2.1 遗传算法收敛性的定义

分析遗传算法收敛性的模型主要有Vose-Liepins模型、Markov链模型、公理化模型以及连续(积分算子)模型[16]。本文采用Markov链模型对GATS收敛性进行证明。

设h(i)={x1，x2，…，xn}，为遗传算法的第i代种群，n为当前种群中的个体总数，Zh(i)=max {f(xk)|k=1，2，…，n}，为种群的最大适应度，f(x)为适应度函数，f+=max {f(x)|x∈S}，为全局最大适应度，S为所有种群的个体集合。

如果

 

(1)

则称遗传算法依概率收敛到全局最优解。

(2)插入变异是指先在个体编码串中随机选择2个基因座,然后再将其中一个基因座上的基因插入到另一个基因座之后，发生一次该变异的概率是

2.2 马尔科夫链定义

设随机序列X={Xn，n=0，1，…}的离散空间为E，如果对于任意n≥0，以及i0，i1，…，in，j∈E，满足条件概率

 

P{X(n+1)=j|X(n)=in}，

则称X这类随机过程为离散马尔科夫链。马尔科夫链有无后效性的特点，即当前状态只与前一状态有关，而与其他状态无关[18]。

2.3 GATS收敛性证明

将GATS看作是一个离散状态空间下的随机序列，把每一代种群P(1)，P(2)，…看作是一种状态，种群的代代演化可以看作是状态之间的转移，当代种群的状态仅依赖于相邻的上一代种群，而与以往的种群状态无关。因此，可使用马尔科夫链来证明算法的收敛性[19]。

假设总体状态空间为H，算法中每一代种群h(t)对应马尔科夫链中的一个状态，种群的逐代进化则对应马尔科夫模型中不同状态间的转移过程。具体地，标记每个h(i)∈H是否包含最优个体。由禁忌搜索算法收敛性可知，一旦转移后的状态包含了当前最优个体，在以后的转移过程中将不断逼近包含最优个体的状态。最终

 

(2)

即GATS以概率1收敛到全局最优解。

3 GATS的时间复杂度分析

3.1 GA和单一算法时间复杂度的分析

算法的时间复杂度是关于输入规模n的函数，表述了算法在输入规模为n时完成相应计算任务所花费的基本操作数，还可以直观地反应算法的性能和收敛速度。传统的遗传算法通常难以收敛到全局最优解，通常认为当迭代次数达到最大时算法停止，所以传统遗传算法的时间复杂度可以近似描述为

O(Max_GEN×λ)，

(3)

式中：Max_GEN为最大迭代次数；λ为种群数量。

禁忌搜索算法主要包括产生初始解、生成邻域、判断禁忌表和解除禁忌等操作，表1分别列出每步操作的时间复杂度。

 

表1 禁忌搜索算法操作

 

Tab.1 Tabu search algorithm operation

  

操作名称时间复杂度产生初始解n2生成邻域C2n(定义它的邻域映射为2-opt)判断禁忌表n×l解除禁忌表n×l

注：n为问题规模；l为禁忌表长度

因为GATS产生邻域和判断适应值操作所耗费的时间要远远超过其他操作所消耗的时间，所以可以忽略产生初始解、候选集和加入禁忌表等操作的计算时间。GATS是通过遗传变异算子来产生初始解邻域的，变异算子的产生具有随机性，因此，应用求解随机算法时间复杂度的方法，即通过计算GATS的期望收敛时间，来估算算法的时间复杂度，在此应用到的模型是马尔科夫链模型。

根据逆键合图的构成方法，需要改变键合图中流变量的探测器Df，改变之后为键合图中的源Se0Sf，因为它是势为零而且没有流流向反键合图模型。因此，改变后的键合图模型传播双向因果关系，但是只在其中的一个方向传输功率，而且传播的双向因果关系由源SS提供，双向键合图在反向键合图中变成探测器。

O(Max_GEN×(n2+n+l))。

(4)

3.2 GATS的时间复杂度分析

禁忌搜索算法时间复杂度为

定义 遗传禁忌算法对应的Markov 过程为H={h(i)，i=0，1，2，…}，h(i)为第i代种群，h(i)={xj，j=0，1，2，…}为种群i中的个体集合，ξi为种群i中的最优个体，H0为包含最优解的状态空间。若μ所有到达最优解时刻的一个随机变量,即满足μ=t⟺P{ξt∈H0∧ ξi∉H0}=1，(i=0，1，2，…，t-1)，t是首次达到最优解状态的时刻，则称μ的数学期望Eμ为首达最优解期望时间[20]。

设{A1，A2，…，Am}是基于适应值函数f(x)的分隔，Ai={x∈U|f(x)=fi}，U为可行解空间，fi为f(x)所有可以取到的值按升序排列f1<f2<…<fm=fm。

最后，将切片文件发送到3D打印机打印。FDM打印机通过热熔技术，使打印材料加热软化后从喷嘴挤出形成极细的丝，喷嘴作XY向的平面运动，打印平台作Z向的垂直运动，喷嘴按预定轨迹走过，细丝附着在打印平台（或上一层材料）上，完成“印线”过程，单层轨迹走完，即完成“印面”过程，而后平台向下移动一层高度，喷嘴再按预定轨迹走过，完成下一层打印，这样层层叠加，最终完成“印体”过程。待材料逐渐冷却凝固后，取下模型，去掉支撑，即完成模型打印，图3a为打印完成的闸板模型，打印出闸阀的各个零件以及连接部件后，即可和实物一样进行装配，图3b为装配完成的闸阀打印模型。

工作的地方在一幢从外面看起来很现代化的写字楼。我在11层，每天，按时打卡上班，每天，加班到很晚。生活开始平静而有规律，在北方那种长期凌乱节奏混乱的生活秩序渐渐消失，在男朋友住院那两年偷偷养成的烟瘾也慢慢戒掉，一切，貌似在好起来。

记s(a)为由Ai转移到其他状态的概率

 

(5)

记si=min {s(a)|a∈Ai}，则

 

(6)

GATS算法中的变异算子说明[21-22]：

(4)选出候选集中的最优解H，进行禁忌表判断。

第一阶段：1978—1993年。实行家庭联产承包责任制，“交够国家的，留足集体的，剩下都是自己的”，农民名义上有了生产经营自主权，但大部分地区对承包土地频繁调整，而且在粮食等主要农产品统购、派购制度下，国家通过村级组织牢牢控制农民对土地的使用，确保粮食等主要农产品的供给。即使在1985年取消统购派购制度以后，又很快以“国家定购”制度再次加强对粮食生产的控制，农民生产经营的自主权很小，合作经济组织的发育也处于初期阶段。

(3)倒位变异是将个体编码串中随机选择2个基因座之间的基因逆序排列,从而产生一条新巡回路线，发生一次该变异的概率是

因此，GATS算法第i步的转移概率为

在“中国学生发展核心素养”三个领域的六大核心素养发展中，数学教育都有不可替代的作用.数学教育要为发展学生核心素养作出自己的独特贡献，特别要在“科学精神”、“学会学习”和“实践创新”上狠下功夫、有所作为.

 

(7)

(8)

令则GATS算法的期望收敛时间为

7.2 虫害防治：虫害种类有红蜘蛛、茶黄螨、蚜虫三种。防治方法：红蜘蛛用灭螨灵、克螨净等药物。茶黄螨用克螨特乳油等药物。蚜虫用一遍净、一扫光、天王星等防治，也可用黄板诱杀。

 

因黄庭坚多用拗句，拗句不符合平仄规则，很难进入集句诗，但朝鲜的一些诗人还是在集句诗中用了黄庭坚的一些诗句。如林惟正《题高城三日浦》：

(9)

式中：λ为种群数量；m为基于目标函数的分隔数(即解的多样性)。

所以，GATS的时间复杂度为

 

(10)

由以上分析，可以得出GATS的时间复杂度高于禁忌搜索算法。为了避免遗传算法早熟，在实际应用中一般应用多个变异算子来增加解的多样性，以使算法的时间复杂度提高。

4 结 语

本文应用马尔科夫链模型证明了遗传禁忌搜索算法可以以概率1收敛到全局最优解，应用随机算法的时间复杂度求解方法求得了该算法的时间复杂度为因此，可以判断出该算法的时间复杂度与解的多样性、问题规模和种群数量有关。在后续研究中，应加强对变异算子并行处理的研究，来进一步提高算法的性能，使算法的时间复杂度降低。

分析评价：探究和说理通常从多个角度设置问题以考查学生的综合能力，是学生惧怕的内容，也是教学的难点。案例中，学生按照教师的要求重抄了一遍正确答案，但还是容易出错，或者根本就没有学会这种题的解法。究其原因是订正只停留在“改文字”上，没有真正理解科学本质之间的逻辑关系。

参考文献：

[1] HOLLAND J H.Adaptation in natural and artificial systems:an introductory analysis with applications to biology,control,and artificial intelligence[M].Ann Arbor,USA:Control & Artificial Intelligence University of Michigan Press,1975.

[2] 张文修,梁怡.遗传算法的数学基础[M].西安：西安交通大学出版社,2000.

ZHANG W X,LIANG Y.Mathematical foundations of genetic algorithms[M].Xi’an：Xi’an Jiaotong University Press,2000.

[3] 朱凤龙,邓辉文,李飞,等.改进交叉算子和变异算子抑制GA算法早熟[J].科学技术与工程,2010,10(6):1540-1542.

ZHU F L,DENG H W,LI F,et al.Improved crossover operators and mutation operators to prevent premature convergence[J].Science Technology and Engineering,2010,10(6):1540-1542.

[4] GLOVER F.Future paths for integer programming and links to artificial intelligence[J].Computers & Operations Research,1986,13(5):533-549.

[5] KORSVIK J E,FAGERHOLT K.A tabu search heuristic for ship routing and scheduling with flexible cargo quantities[J].Journal of the Operational Research Society,2010,16(4):594-603.

[6] GENDREAU M,IORI M,LAPORTE G,et al.A tabu search algorithm for a routing and container loading problem[J].Transportation Science,2006,40(3):342-350.

[7] 贺一,刘光远,雷开友,等.多层前向神经网络的自适应禁忌搜索训练[J].计算机科学,2005,32(6):118-120.

HE Y,LIU G Y,LEI K Y,et al.Applying an adaptive strategy-based tabu search to neural network[J].Computer Science,2005,32(6):118-120.

[8] 李大卫,王莉,王梦光.遗传算法与禁忌搜索算法的混合策略[J].系统工程学报,1998(3):28-34.

LI D W,WANG L,WANG M G.Genetic algorithm and tabu search:a hybrid strategy[J].Journal of Systems Engineering,1998(3):28-34.

[9] THAMILSELVAN R,BALASUBRAMANIE D P.A genetic algorithm with a tabu search (GTA) for traveling salesman problem[J].International Journal of Recent Trends in Engineering,2009(1):607-610.

[10] ISMAIL Z,IRHAMAH.Solving the vehicle routing problem with stochastic demands via hybrid genetic algorithm-Tabu search[J].Journal of Mathematics & Statistics,2008,4(3):161-167.

[11] LIN X,KE S,LI Z,et al.A fault diagnosis method of power systems based on improved objective function and genetic algorithm-tabu search[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2010,25(3):1268-1274.

[12] NOURI H E,DRISS O B,GHÉDIRA K.A holonic hultiagent model based on a combined genetic algorithm:tabu search for the flexible job shop scheduling problem[J].Communications in Computer & Information Science,2015,524(1):25-34.

[13] 张宇山.进化算法的收敛性与时间复杂度分析的若干研究[D].广州：华南理工大学,2013.

ZHANG Y S.Some studies on the convergence and time complexity analysis of evolutionary algorithms[D].Guangzhou:South China University of Technology,2013.

[14] 刘光远.禁忌搜索算法及应用[M].北京：科学出版社,2014.

LIU GUANG YUAN.Tabu search algorithm and application[M].Beijing:Science Press,2014.

[15] 伍艳莲,姜海燕,庄嘉祥,等.精英策略个体优势遗传算法研究[J].计算机工程与应用,2016,52(7):143-149.

WU Y L,JIANG H Y,ZHUANG J X,et al.Research of individual advantages genetic algorithm based on elitist strategy[J].Computer Engineering and Applications,2016,52(7):143-149.

[16] 刘莉.混合遗传算法全局收敛性分析[D].武汉：华中科技大学,2004.

LIU LI.Global convergence analysis of hybrid genetic algorithm[D].Wuhan:Huazhong University of Science and Technology,2004.

[17] 汪民乐.遗传算法的收敛性研究[J].计算技术与自动化,2015(1):58-62.

WANG M L.Research on convergence of genetic algorithm[J].Computing Technology and Automation,2015(1):58-62.

[18] 邓鑫洋,邓勇,章雅娟,等.一种信度马尔科夫模型及应用[J].Acta Automatica Sinica,2012,38(4):666-672.

DENG X Y,DENG Y,ZHANG Y J,et al.A belief markov model and its application [J].Acta Automatica Sinica,2012,38(4):666-672.

[19] 李成江.遗传算法收敛性分析及有效性初探[D].青岛：山东科技大学,2004.

LI CHENG JIANG,Analyzes the convergence and the validity of genetic algorithms[D].Qingdao:Shandong University of Science and Technology,2004.

[20] 黄翰,郝志峰,秦勇.进化规划算法的时间复杂度分析[J].计算机研究与发展,2008,45(11):1850-1857.

HUANG H,HAO Z F,QIN Y.Time complexity of evolutionary programming[J].Computer Technology and Development,2008,45(11):1850-1857.

[21] 鲁群,周爱武.双变异算子遗传算法的应用[J].计算机技术与发展,2008,18(7):42-44.

LU Q,ZHOU A W.Application of genetic algorithm based on dual mutation[J].Computer Technology and Development,2008,18(7):42-44.

[22] 刘军,王介生.旅行商问题(TSP)的伪并行遗传算法[J].控制理论与应用,2007,24(2):279-282.

LIU J,WANG J S.Solving traveling salesman problem(TSP) with pseudo-parallel genetic algorithms.control[J].Theory & Applications,2007,24(2):279-282.