0 引言

绳索是普通物理力学问题常见研究对象之一，在研究过程中经常会遇到一些与绳子张力有关的问题[1-2].绳子张力是被拉紧的绳子内部各段之间的相互作用力,它是被动力，其大小与绳子所受主动力、绳子所处的约束及绳子的运动状态有关，通常是未知的.虽然绳子张力也是发生形变的绳子力图恢复原状而产生的力，但通常形变大小不计，此时的绳子被视为非弹性体,显然以绳子这种模型处理方式来解释绳索使用中经常出现的崩断问题有些牵强.文献[1]讨论的是:一根细绳下悬挂一个质量为m物体，在其下面有一根同样的细绳，若用力F(t)拉绳另一端，那么两根绳中哪一根将先断？结论指出，上、下两根绳都有可能出现先断的情况.

  

图1 水平拉物体的左、右二绳Fig.1 Pulled a body horizontally with the left and right ropes

为了得到拉力F(t)与绳内部张力的具体关系,设想绳索如下运用(图1): 二根完全一样的绳子,分别系在一置于光滑水平桌面、质量为m的物体M二端;余下的绳子二端,左边绳左端固定墙面,右边绳右端使外力F(t)作用,两绳在同一水平线上.这样设置问题,一是为了排除重物重量及其他约束对绳内张力产生影响；二是为了判明外力如何影响绳的形变，如何决定绳内张力.为进一步简化运算,本文忽略绳的质量.由牛顿第二定律可判断出: 在同一时刻,左(右)绳内部张力处处相等，但左右二段绳内部张力大小不一定相等,二者之差与物体M的加速度有关.至于“哪根绳先断”，由绳可承受的最大张力和达到该张力的时间先后共同决定.

本文从力学原理出发，指出分析绳崩断问题时应使用胡克模型,针对几种典型外加拉力F(t)形式,导出了绳的形变、张力随时间变化的规律，并将其应用于不同外力作用下“绳谁先崩断问题”的判定.

中央分隔带为防撞墩，宽度0.5 m。喷洒装置如图11所示。由于装置下边缘距路面高度为40cm，一旦车辆与防撞墩碰撞，根据防撞墩“凸字形”的设计原理，车辆碰撞凸型部位后会被弹回，一般不会直接与喷洒装置产生碰撞，因此，安装方案是可行的。

1 外力作用下绳索内部张力

1.1 绳的胡克模型

绳索通常被视为弹性绳或刚性绳.弹性绳和刚性绳的区别在于：弹性绳与弹簧一样在拉力作用下会产生形变，且其受力大小不可能突变.同时，由于弹性绳是柔绳,所以产生的弹性力只能是拉力，不可能压缩而产生的压力.而刚性绳就与刚性杆一样，在受力过程中由于绳子产生弹力时发生的形变量极小,对研究物理现象几乎无影响，从而认为其无形变，刚性绳实质是一种理想模型.

胡克模型实质是弹性绳一种较好的近似处理办法.绳使用时其内部的张力是由于形变产生的，以直线形式崩紧的绳中张力T与绳的伸长量x(实际长度与原长之差)有关，将T(x)在x=0处展开: T(x)=T(0)+T′(0)·x+O(x) .由于绳不被拉伸(x=0)，其内部张力为零,即T(0)=0, T′(0)为系统参数(通常记为k),对上式一级近似可知: 绳内张力大小与形变+成正比，方向与形变位移反向.崩紧着的绳内张力一级近似满足胡克定律,故可用所谓的胡克模型处理之.

1.2 绳的内部张力

1.2.1 干预方法两组均予以常规肠镜检查操作。实验组在取活检时用一次性薄膜手套外层覆盖于内镜活检口,内层收集损伤性血性分泌物,分泌物流入指套。对照组常规检查取活检。

 

(1)

T1=kx1,T2=kx2=F[t].

(2)

由式(1)、式(2)化简得

 

(3)

其中式(3)通解为[3]

大概4年前，他的第一本小说出版，她读到后，通过出版社联系上了他——多年未曾联络，生分地寒暄了几句，他们便找不出合适的话题让谈话继续，但好像一时又舍不得挂断电话。

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(4)

式(6)表明: 右边绳内张力T2按时间t线性增大，左边绳内张力T1在T2基础上叠加一按相因子ω0t变化的正弦项，使得在一个时间周期内T1、T2交替为大(ΔT=T1-T2∈{+,0,-} ).这种外力与时间成正比情型下,左右两边绳均有可能崩断且随时间增加几率加大.

由(1)式知,左右两绳张力在同一时刻可以发生突变,原因是连接两段绳的物体有加速度而致,绳的内部粗细不均匀导致质量按长度分布不均匀,进而导致内部张力不均匀.比较式(2)、式(4)可知，左右两绳内部张力(T1,T2)随时间t变化一般不同步;右绳内部张力完全由外力决定(与外力相等);左绳内部张力受多因素影响,由外力F(t)、物体的初始状态物体与绳的內禀参数(m、k)共同决定.正是由于两绳内部张力大小差ΔT≡T1(t)-T2(t)随时间t变化,取值可正、可负、也可为零,按“‘哪根绳先断’由绳可承受的最大张力和达到该张力的时间先后共同决定”的原则，由此可以得到绳索崩断问题定量的力学判据.

1.3 几种典型外力情形

本刊讯 11月30日下午，省十三届人大常委会第七次会议在济南闭会，表决通过了有关人事任免案，有关法规、决议、决定和有关报告等。省人大常委会党组书记、副主任于晓明主持会议并讲话；副主任王随莲、王良、齐涛、王云鹏、王华出席。

当F(t)=c(常数)时，考虑到kx2(0)=c且[x1(0)+x2(0)]·k/2=F(0)=c(两相同弹簧串联弹性系数减半),可推知kx1(0)=c,假设物体初速度为零代入(4)式

T1(t)=c， T2(t)=F(t)=c.

(5)

此即: 当外力为恒力,左右二段绳的内部张力相同(ΔT=T1(t)-T(t)2=0),绳子崩断现象一旦发生可以同时出现在左右二段绳上(图2).

水平连接物体M的两根完全一样的绳，弹性系数均为k，不计绳索质量， t时刻左边绳的形变量为x1，右边绳的形变量为x2，根据牛顿第二定律，有

1.3.2 外力线性增大[1]

让右边绳的最右端在拉力F(t)作用下以速率v匀速运动，由运动公式

1.3.1 外力为恒力

 

(6)

这里为物体M的初始条件,应用于式(4)可以带来表达式的多种变形.

因此，当按正弦变化外力的频率接近物体与左绳的固有频率时，左边绳最有可能崩断; 外力缓慢变化时，左右两边绳崩断可能性一样;外力快速变化，右边绳比左边绳崩断几率高.

1.3.3 外力匀速拉绳[1]

当F(t)=ct时，初始时刻F(0)=0，物体M的初始条件代入式(4)计算后得

x1(t)+x2(t)=vt.

(7)

将和代入式(5)计算得式(8)

 

  

图2 外力随时间线性增加,左右绳内张力Fig.2 The tension in the rope change while the external force increases linearly with time

  

图3 外力匀速拉绳，左右绳内张力随时间变化Fig.3 The tension in the rope change while the external force pulls the rope at constant speed

由式(8)知,x1(0)=x2(0)=0，T1T2随时间t变化为沿着直线上下波动，二者中的波动项(右边表达式中的第二项)仅相位相反其它完全相同;在一个时间周期内ΔT∈{+,0,-}，即T1、T2交替为大(图3),左右两边绳均有可能崩断且随时间增加崩断几率加大.这种匀速拉绳情型与上一节用随时间成正比外力拉绳,绳内张力在趋势上一致(定性),所不同的是张力随时间演变的结构有异.

1.3.4 拉力按正弦变化

若外加拉力(不小于零)随时间正弦变化F(t)=A(1-cosωt)≥0 ,这里ω为外力的变化频率.将和代入式(5)计算得

 

(9)

T1(t)表达式表明左边绳中的张力同时受外力波动(cosωt)与固有波动(cosω0t)影响；T2(t)出现峰值的时间间隔均匀且数值一样，而T1是ω、ω0、t共同的函数,尤其对ω-ω0敏感,可以大大高于T2的峰值.

1)当ω～ω0时，即驱动频率ω逼近固有频率ω0,T1(t)可以逼近无限大(共振,图4),左绳张力峰值可大大高于右绳，故左边绳相较右边绳更容易崩断.

  

图4 拉力按正弦波动、驱动频率与固有频率相近时，绳内张力随时间变化Fig.4 The tension in the rope change while the external force varies according to the sine function and the driving frequency is similar to the eigenfrequency

2)当ω≪ω0时，即外力缓慢变化(与固有频率比),T1(t)→A(1-cosωt)与T2(t)一样,ΔT≈0(图5)，故左右绳崩断几率相同.此结果与1.3.1节一致.

  

图5 拉力按正弦波动、驱动频率小小于固有频率时，绳内张力随时间变化Fig.5 The tension in the rope change while the external force varies according to the sine function and the driving frequency is much smaller than the eigenfrequency

3)当ω≫ω0时，与固有频率比较外力快速变化,T1(t)→A(1-cosω0t),T2(t)=A(1-cosωt),左右绳内部张力峰值一样大,只是T1到达峰值的频率大大高于T2,即右边绳单位时间内出现峰值个数比左绳多得多(图6),故右边绳崩断的几率大大高于左绳.

  

图6 拉力按正弦波动、驱动频率大大于固有频率时，绳内张力随时间变化Fig.6 The tension in the rope change while the external force varies according to the sine function and the driving frequency is muchlarger than the eigenfrequency

随着国内政治语境和社会环境的变化，金毓黻对唯物史观的认知态度及史观、治学理念与方法也有较大变化，开始逐步接受了马克思主义的史学理论和观点[2](P44)，但他毕竟是已经卓有成就的老辈学者，其对新理论新方法的接受也体现出某种特有的方式，总的来说是以新承旧、以旧纳新和试图融汇新旧的特点。

1.3.5 拉力按指数变化

808 Influencing factors of treatment compliance to automatic continuous positive airway pressure for obstructive sleep apneahypopnea syndrome

若外加拉力随时间按指数形式变化F(t)=Aeax≥0.将和代入式(5)计算得[3]

 

(10)

由式(10)出发,T1随时间绕着T2上下波动.当外力随时间按指数衰减(α<0)时,二绳开始如不崩断以后都不会断,因为內部张力峰值随时间变小(图7)；当外力随时间按指数增加(α>0)时,二绳崩断皆有可能且随着时间变长崩断几率增大,因为内部张力峰值随时间变小(图8).

  

图7 拉力随时间按指数衰减(α<0)，绳内张力随时间变化Fig.7 The tension in the rope change while the external force varies according to the exponentially decaying at α<0

  

图8 拉力随时间按指数增加(α>0)，绳内张力随时间变化Fig.8 The tension in the rope change while the external force varies according to the exponentially decaying at α>0

2 小结

胡克模型适用于讨论绳索崩断问题.不计及绳的质量、正在崩直使用且无其它约束的绳,内部的张力是均匀的；当绳分段按图1的方式使用时,二段绳内张力因为连结的物体加速运动而出现突变,突变量的数值与外部拉力、绳与物体的连接方式密切相关；已讨论的5种外力情况表明,左绳中的张力随时间变化是缘着外力随时间变化曲线上下波动.

式中：为每片薄片顶部竖向应力；为水的重度；为土的有效重度；为管桩内径；为土塞与管桩内壁的水平向平均摩阻力；为水平与竖向应力之比，出于安全考虑，假定土塞边缘的土主动破坏，得到最小值；为土塞内摩擦角；为管桩内壁的摩擦角。

绳崩断是因为內部张力超过其阈值,而造成绳內张力随时间不断增大主要原因:1)外力随时间不断加大.2)外力的变化频率、绳与连接物体构成子系统的固有频率相同(或接近)产生共振效应.

绳索本身质量沿轴分布决定着其使用过程中内部张力分布的均匀性.

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参考文献：

[1] 史详蓉,刘华波.一个力学问题的理论分析及结论[J].物理与工程,2010，20(5):65-67.

[2] 吴海娜,刘顺,公卫江,等.用微元法巧解软绳下落过程的能量损失[J].物理与工程,2016,26(1):72-75.

[3] 埃伯哈德.数学指南[M].李文林，译.北京:科学出版社,2012:407-410.