近年来，笔者致力于幂幺类矩阵的研究，得到一些结果.在文献[1]中，引入幂幺矩阵的幂幺指数的概念，并对其进行了详细的探讨，得到了幂幺指数的若干性质.在文献[2]中，通过引入拟幂幺矩阵的拟幂幺指数的概念，详细探讨拟幂幺矩阵与拟幂幺指数的性质，进一步刻画拟幂幺矩阵的性质特征.

若是别的事，水仙芝可能会断然拒绝，但此事关系到父亲一生的心血，水仙芝犹豫了，简单回了一句：“让我考虑一下！”

作为文献[1-2]的续篇，本文通过对强幂幺矩阵的进一步研究，引入强幂幺矩阵的强幂幺指数的概念，得到强幂幺矩阵与强拟幂幺指数的若干性质，对矩阵论的发展具有一定的理论意义.

本文用F表示数域，用E表示单位矩阵，用AT，A*，A-1分别表示矩阵A的转置矩阵、伴随矩阵、逆矩阵(当A可逆时)，用diag(d1,d2，…,dn)表示n阶对角矩阵.用a|b表示整数a整除b，用(a,b)表示整数a与b的最大公因数，当(a,b)=1时表示a,b互素.其他符号可参见文献[3]或文献[4].

1 预备知识

定义1 设矩阵D=diag(d1,d2，…,dn)，其中di>0，i=1,2，…,n，称D为正对角矩阵.

根据定义1立等可得下面的两个引理.

引理1 设D为正对角矩阵，则D必可逆，且kD(k>0)，DT，D-1，Dm(m为正整数)是正对角矩阵.

引理2 设D1,D2为正对角矩阵，则D1+D2,D1D2为正对角矩阵.

定义2 设A是数域F上n阶矩阵，若存在正整数m，使得Am=D，其中D为正对角矩阵，则称A为数域F上n阶强幂幺矩阵.若Am=D(D为正对角矩阵)，但对小于m的正整数r，有Ar≠D1(D1为任意正对角矩阵)，则称m为强幂幺矩阵A的强幂幺指数，记作μ(A)=m.

显然，强幂幺矩阵的强幂幺指数一定存在.另外由定义2易知，强幂幺矩阵是幂幺矩阵、拟幂幺矩阵的扩展.

强幂幺矩阵有下列明显的结论.

1)强幂幺矩阵是可逆矩阵.

2)A为强幂幺矩阵当且仅当Am为正对角矩阵.

3)强幂幺指数μ(A)是正整数，且Aμ(A)为正对角矩阵.

4)强幂幺指数μ(A)=1的充分必要条件是A为正对角矩阵.

因为AB=BA，所以为正对角矩阵)，故AB是强幂幺矩阵，且μ(AB)|μ(A)μ(B).

随着种业市场化改革发展深入，育种主体急剧增加，品种作为种子企业发展的核心竞争力，越来越受到重视。近年来每年申请参加试验品种数量成倍增加，国家和省级试验的人力、物力、财力逐渐难以承受，试验容量严重不足成为制约品种试验审定工作的瓶颈。

2 主要结论

定理1 设A是数域F上n阶强幂幺矩阵，则对于任意正整数r，Ar为正对角矩阵的充分必要条件是μ(A)|r.

证明 设Aμ(A)=D(D为正对角矩阵).

必要性.设Ar=D1(D1为正对角矩阵)，令r=μ(A)t+s，0≤s<μ(A)，则

D1=Ar=Aμ(A)tAs=DtAs，

故As=D2(D2为正对角矩阵).

令R1=R2=0.5，I0=1，在Matlab中画出干涉光强和腔长之间的关系曲线,见图4.图4中光强随着腔长周期性变化，且两者之间为多值关系，即一个光强对应多个腔长，这种状态下无法确定腔长.但根据式(2)可知光强随腔长变化的周期为λ/4.因而，将腔长的变化范围选择在半个周期之内时，光强-腔长曲线是单调的，可以保证干涉光强与腔长之间具有一一对应的值.

近年来，电子商务课程越来越受到高校重视，它不再只是经管专业的必修课程，很多高校都将其融入到人才培养的目标中。因为电子商务课程是一门涵盖信息技术、网络营销、国际贸易、财务管理和物流等方面知识的复合型课程，能够培养学生广阔的互联网思维，激发学生的创新意识，提高学生的创业能力，所以它受到各类学校青睐，并被纳入创新创业教育的课程体系中。电子商务课程改革要想紧跟时代的新需求和新方向，必须以创新创业为导向，将创新创业的教育理念和目标融入其中，这样才能培养出更多符合社会需求的电子商务技能型人才。

若s≠0，即有小于μ(A)的s使As为正对角矩阵，这与μ(A)的最小性矛盾，所以s=0，故μ(A)|r.

充分性.因为μ(A)|r，所以设r=μ(A)t，于是

Ar=Aμ(A)t=Dt，

故Ar为正对角矩阵.

定理2 设A是数域F上n阶强幂幺矩阵，若存在正整数m，使得Am为正对角矩阵，则μ(A)=m的充分必要条件是对正整数r，由Ar为正对角矩阵可得m|r.

基金项目： 2018年湖南省普通高校教学改革研究项目：“新工科”背景下高校工科专业的计算机基础课程体系改革与教学模式创新研究—以湖南省独立学院为例。

3)AT是强幂幺矩阵，且μ(AT)=μ(A)；

1)A-1是强幂幺矩阵，且μ(A-1)=μ(A)；

另一方面，由As为正对角矩阵及条件知m|s，所以m=s，即μ(A)=m.证毕.

根据定理2，可得以下的定理3和推论1.

定理3 设A是数域F上n阶强幂幺矩阵，则

充分性.设μ(A)=s，则因Am为正对角矩阵，故由定理1知s|m；

2)kA(k>0)是强幂幺矩阵，且μ(kA)=μ(A)；

证明 必要性.由定理1立等可得.

4)A*(|A|>0时)是强幂幺矩阵，且μ(A*)=μ(A)；

5)对任意正整数r，Ar是强幂幺矩阵，且其中d=(μ(A),r).

证明 设Aμ(A)=D(D为正对角矩阵).

1)因为(A-1)μ(A)=(Aμ(A))-1=D-1，所以A-1是强幂幺矩阵，且μ(A-1)|μ(A).

令(A-1)μ(A-1)=D1(D1为正对角矩阵)，可得Aμ(A-1)=D2(D2为正对角矩阵)，于是μ(A)|μ(A-1)，故μ(A-1)=μ(A).

在八边形式密码中，折线经过的点数为4有2208种情况，点数为5有10464种，点数为6有40512种，点数为7有119232种，点数为8和9均有236544种。可得，八边形图形的密码排列情况共645504种。

2)因为(kA)μ(A)=kμ(A)Aμ(A)=kμ(A)D，所以kA(k>0)是强幂幺矩阵，且μ(kA)|μ(A).

令(kA)μ(qA)=D1(D1为正对角矩阵)，可得Aμ(qA)=D2(D2为正对角矩阵)，于是μ(A)|μ(kA)，故μ(kA)=μ(A).

3)因为(AT)μ(A)=(Aμ(A))T=D，所以AT是强幂幺矩阵，且μ(AT)|μ(A).

当μ(A)|r时，显然d=(μ(A),r)=μ(A)，所以此时有

（3）对于PC端上位机，实时切换用户的数据显示以及超出设定值的数据，提示窗口功能测试表，通过对系统的多次测量，提高整体的稳定性。上位机显示、窗口提示测试结果如表3所示。

4)因为A*=|A|A-1，所以由(1)、(2)知A*是强幂幺矩阵，且μ(A*)=μ(A).

5)因为所以Ar是强幂幺矩阵，且

令(Ar)μ(Ar)=D1(D1为正对角矩阵)，即Arμ(Ar)=D1，得μ(A)|rμ(Ar)，于是故

推论1 设μ(A)是素数，则对任意正整数r，有

“2003年时，湖区的养殖面积一度达到36万亩。2010年国家加强养殖权制度建设以来，高宝邵伯湖按照省政府批准的养殖规划实行严格的限制措施，尽管如此，2016年初湖区仍有养殖面积30.5万亩，占湖泊总面积的21.2%。其中，养殖发证面积23.4万亩，持证养殖渔民2244户；无证养殖面积7.1万亩，无证养殖渔民约600户。”江苏省高宝邵伯湖渔管办副主任索维国介绍道。

 

证明 当μ(A)⫮r时，由于μ(A)是素数，因此d=(μ(A),r)=1，此时由定理3的(5)，有

令(AT)μ(AT)=D1(D1为正对角矩阵)，可得Aμ(AT)=D1，于是μ(A)|μ(AT)，故μ(AT)=μ(A).

推论2 设μ(A)=st，则μ(As)=t.

现代教育理念认为把学校和课堂创造成一种生态环境，师生成为这种生态环境中最具生机和活力的生命体，教学成为生命体之间的积极参与、情感交流、思想融合、个性张扬的活动。如果在每一节课的时间里，学生都是积极存在，自主的、主动地、创造性的学习，学生的潜能得到了充分发挥，学生的智力、品德、体力得到了全面发展。那么班级就无厌学生、无学困生、无辍学生。根本原因要充分调动学生学习积极性。

两国核能研发合作行动计划的目标是确保核能继续是两国的战略能源资源，实现核能安全目标，并帮助实现低碳排放目标和不扩散目标。

证明 由定理3的(5)得，

推论3 对任意正整数r，μ(Ar)=μ(A)的充分必要条件是(μ(A),r)=1.

靖康二年(1127)宋高宗无力阻挡金人攻势，选择南迁。“京师未可往，当巡幸东南为避敌之计”①，“故士大夫率附其议”②。南宋初年，随着政权南移，大量士族、民众、包括赵宋宗室移居南方，给当地带来了人口和财富，影响深远。本文针对中原士族、抗金义军、赵宋宗室以及中原百姓的南迁做一分析讨论。不当之处，请方家指正。

证明 由定理3的(5)得，⟺(μ(A),r)=1.

定理4 设A,B是n阶强幂幺矩阵，若A,B可交换，且(μ(A),μ(B))=1，则AB是n阶强幂幺矩阵，且μ(AB)=μ(A)μ(B).

证明 设Aμ(A)=D1,Bμ(B)=D2(D1,D2为正对角矩阵).

下面研究强幂幺矩阵与强幂幺指数的性质.

令(AB)μ(AB)=D4(D4为正对角矩阵)，由

二是交融性。①课程教学内容与会计工作内容相融合；②会计学专业教学环境与企业工作环境相融合，从而改变传统师生身份的界定，高校师生关系转化成企业员工关系，而企业员工也同时兼任“教师”职务。

D4μ(A)=(AB)μ(AB)μ(A)=Aμ(AB)μ(A)Bμ(AB)μ(A)=D1μ(AB)Bμ(AB)μ(A)，

及

D4μ(B)=(AB)μ(AB)μ(B)=Aμ(AB)μ(B)Bμ(AB)μ(B)=D2μ(AB)Aμ(AB)μ(B)

可得Bμ(AB)μ(A)=D5,Aμ(AB)μ(B)=D6(D5,D6为正对角矩阵)，于是

μ(B)|μ(AB)μ(A),μ(A)|μ(AB)μ(B).

因(μ(A), μ(B))=1，故μ(B)|μ(AB),μ(A)|μ(AB)，从而μ(A)μ(B)|μ(AB)，

所以μ(AB)=μ(A)μ(B).

推论4 设A，B是n阶强幂幺矩阵，若A，B可交换，则AB是n阶强幂幺矩阵，且μ(AB)|μ(A)μ(B).

QuEChERS-高效液相色谱法测定铁皮石斛中多菌灵和甲基硫菌灵的残留量………………………………………………………………………… 陈思颖，等(8):913

定理5 设A，B是n阶强幂幺矩阵，若A，B可交换，且μ(A)=μ(B)，则AB是n阶强幂幺矩阵，且μ(AB)|μ(A).

证明 设Aμ(A)=D1,Bμ(B)=D2(D1,D2为正对角矩阵).

因为AB=BA，且μ(A)=μ(B)，所以为正对角矩阵)，故AB是强幂幺矩阵，且μ(AB)|μ(A).

定理6 设A，B是n阶强幂幺矩阵，μ(A)=μ(B)，若A，B可交换，且AB=O，则A+B是n阶强幂幺矩阵，且μ(A+B)|μ(A).

证明 记μ(A)=μ(B)=m，且Am=D1,Bm=D2(D1,D2为正对角矩阵).

因为AB=BA，且AB=O，所以

为正对角矩阵)，

故A+B是强幂幺矩阵，且μ(A+B)|μ(A).

参考文献：

[1] 林大华，戴立辉．幂幺矩阵的幂幺指数[J]．数学的实践与认识，2012，42(18)：252-255．

[2] 戴立辉，林大华．拟幂幺矩阵与拟幂幺指数[J]．闽江学院学报，2015，36(5)：5-8．

[3] 北京大学数学系前代数小组.高等代数 [M].4版.北京：高等教育出版社，2013.

[4] 林亚南.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2013.