0 引言

数据包络分析(data envelopment analysis，简称DEA)，是数学、运筹学、数理经济学和管理科学的一个新的交叉领域，它是由A. Charnes和W. W. Cooper等人于1978年创建，并被命名为DEA[1]iii-iv.它使用数学规划模型，对具有多个输入、特别是多个输出的“部门”或“单位” (称为决策单元，decision making unit简称DMU)间的相对有效性进行评价.

近30年以来，DEA模型得到不断扩充和完善，继CCR模型之后,相继出现了诸多有代表性的经典的模型，如BCC模型，FG模型，ST模型及综合DEA模型等[1]75-82，这些模型得到的生产前沿面都是分片线性函数的形式.显然在实际应用中，生产前沿面不一定100%具有分片线性函数的形式，因此需要研究曲线型生产前沿面的DEA模型.但是遗憾的是，相关的研究并不多，原因之一是所使用的数学工具匮乏[2].近十年来, 核方法[3]发展迅猛，成为数据挖掘领域的一个崭新的、有效的、且被广泛使用的工具.它的突出贡献在于：可以把一个空间中的非线性结构元素转化为另一个空间中的具有线性结构的元素.

作者的前期工作，已有两篇文章涉及核方法与DEA相结合的工作.第一篇文章借用核方法技术，并结合传统数据包络分析模型，提出了一个具有凸二次型生产前沿面的CCR模型，而且它还是一个线性规划[4].第二篇文章认为合理的生产前沿面应该保证每个输出指标是输入指标的单调上升的凹函数，它的经济解释是：加大投入，必将增加产出，但随着投入的进一步加大，产出的增幅趋于平缓[5].基于此，该文提出了一个具有凹曲线型生产前沿面的DEA模型，它能保证，输出指标是输入指标的单调上升的凹函数，而且它还是一个线性规划.

本文将继续沿袭上述两篇文献的研究思路，主要在如下3个方面展开工作： 1)将现有的含3个参数的综合DEA模型，等价地缩减为仅含两个参数；2)两篇文章需要在Rm2维特征空间上运行DEA模型，本文将指出仅需在维即可，其中m是输入指标个数；3)提出基于多项式核函数的综合DEA模型.

1 综合DEA模型及其简化形式

1978年, 著名的运筹学家Charnes等人, 从数学规划角度, 将有效性度量推广到多输入多输出的情形, 提出了第一个数据包络分析模型: CCR模型[6], 它开启了DEA研究的先河.之后, 相继出现了比较有代表性的BCC模型, FG模型和ST模型.1996年, Yu等人给出了上述4种模型的统一形式：综合模型[7].

假设有n个决策单元每个决策单元有m个输入和s个输出，记xi=(x1i,…,xmi)T∈Rm+，yi=(y1i,…,ysi)T∈Rs+，分别表示第i个决策单元的输入向量和输出向量，记X=(x1,…,xn)∈Rm×n，Y=(y1,…,yn)∈Rs×n，1n=(1,…,1)∈Rn表示分量均为1的n维向量.输入型的综合DEA模型，形式如下

 

(1)

它的对偶规划为

3)δ1=δ2=1与均对应FG模型；

max{θ|(θxk,yk)∈T1DEA}，

(2)

其中，表示综合DEA模型对应的生产可能集.δ1,δ2,δ3∈{0,1}，不同的取值得到不同的DEA模型.

1)当δ1=0时，式(1)即为CCR模型：

max{μTYk|ωTXi-μTYi≥0,ωTXk=1,ω≥0,μ≥0,i=1,2,…,n}，

(3)

此时，T1DEA=TCCR={(x,y)∈Rm+×Rs+|Xλ≤x,Yλ≥y,λ≥0}.

2)当δ1=1,δ2=0时，式(1)即为BCC模型：

 

(4)

不过，需要指出的是，上述的综合DEA模型，还可以进一步简化，可将3个参数δ1,δ2,δ3∈{0,1}缩减为两个参数考虑如下带两个参数的线性规划：

所以基于vec算子和svec算子所建立的(7)型DEA模型，并无两样，vec的性质得到完全的继承.但显然svec算子所需的维数小于vec所需的维数，故下文采用svec算子.

3)当δ1=δ2=1时，式(1)即为FG模型：

妇产科临床中较为常见的急腹症之一即为异位妊娠，若输卵管妊娠破裂或者流产，可出现大出血的情况[1] 。紧急输血为临床抢救异位妊娠大出血的主要治疗措施，但是患者接受输血治疗以后极易有各种不良反应出现。本文主要分析在异位妊娠大出血输血治疗患者中实施常规凝血检验对其不良反应监测的价值，特选取部分患者进行比对分析，详细内容阐述于正文当中。

 

(5)

此时，

第三，时间和空间延展性的变化带来的影响。互联网上没有时间和空间的限制，企业只需花费较少的成本就可以加入到全球信息网络和贸易网络中，与消费者进行沟通，将产品的信息传递到消费者中去。网络商城的空间可以无限扩张，可以陈列无限多的商品，消费者通过互联网可以用很低的价格选购商品，所看到的商品比任何一间大商场的产品都多，方便消费者进行商品的比较和择优。

4)当δ1=δ2=δ3=1时，式(1)即为ST模型：

 

(6)

此时，

此时，

 

(7)

它的对偶规划为

max{θ|(θxk,yk)∈T2DEA},

(8)

其中，表示综合DEA模型对应的生产可能集，δ1,δ2,δ3∈{0,1}，不同的取值得到不同的DEA模型.δ1,δ2,δ3∈{0,1}与有如下的对应关系:

1)δ1=0与均对应CCR模型；

2)δ1=1,δ2=0与均对应BCC模型；

2.1.3 护肝剂缺五味子的阴性对照溶液的制备 按护肝剂的制备方法制得除五味子的护肝剂，取1 mL置于PE管中，水浴蒸干，其余操作同“2.1.1”项。

4)δ1=δ2=δ3=1与均对应ST模型.

下文将针对简化形式的综合DEA模型进行论述，不过结论同样适用于三参数的综合DEA模型.

2 多项式核函数

文献[4,5]相继用多项式核函数，提出了分片二次凸函数形式的生产前沿面的DEA模型和分片凹函数形式的生产前沿面的DEA模型.本文将沿用该方法，将其运用于简化形式的综合DEA模型.

定义1 (齐次多项式核函数)给定正整数d，形如k(x,y)=(xTy)d的二元函数称为多项式核函数.

定义2 (拉直算子vec)设A=(aij)m×n∈Rm×n，定义

可知当d=2时，对于列向量x,y∈Rn，令k(x,y)=(xTy)2=(x⊗x)T(y⊗y)=ΦT(x)Φ(y)，它是一个正定核函数.一方面它可理解为Rn上的一个非线性二元函数，另一方面它也可理解为上的内积函数，自然满足线性性.它的潜在功能是，通过特征映射xk(x,.)，将低维空间Rn等距嵌入到高维空间实现Rn上的非线性问题转化为高维空间上的线性问题，从而实现非线性问题的线性化.

选取2017年1月~10月期间收治的86例行胸、腹腔镜联合治疗的食管癌患者,按随机数字法分为对照组和观察组。对照组:男女性别比为22:21;年龄49~78岁,平均(56.8±6.4)岁。观察组:男女性别比为24:19;年龄49~78岁;平均(56.3±6.4)岁。两组一般资料比较无统计学意义(P>0.05)。

vec(A)≜(a11,…,am1,a12,…,am2,…,a1n,…,amn)T.

定义3 (拉直算子svec)设A=(aij)n×n∈Rn×n是对称矩阵，定义

svec(A)≜

定义4 (卷积算子⊗)设A∈Rmn，B∈Rpq，定义A⊗

对于x∈Rn，有xT⊗x=x⊗

且可知若A是对称矩阵，则

vec(A)Tvec(A)=svecT(A)svec(A)，

进一步可知

vec(x⊗x)Tvec(x⊗x)=svecT(x⊗xT)svec(x⊗xT)，

记Φ(x)=svec(x⊗xT).

由2名研究者对检索的文献按照预先设计好的纳入与排除标准独立筛选，在剔除重复文献和不符合纳入标准的文献后，对剩下的文献进一步阅读全文，如遇分歧，通过讨论或交由第三位研究者裁决。采用Cochrane系统评价员手册5.1.0针对RCT的偏倚风险评估工具［7］，按照“随机方法、分配隐藏、盲法、失访或退出、数据完整性和选择性报告”对纳入随机对照研究的偏倚风险进行评价。文献质量评估分为3个等级。A级：所有质量评价内容均满足，发生偏移的可能性较小；B级：部分满足上述评价内容，发生偏移的可能性为中等；C级：完全不满足上述评价标准，发生偏移的可能性很高。

玉米植株正常成熟时苞叶逐渐干枯、松散，子粒“乳线”消失，基部形成黑层，显出子粒特有光泽，含水率一般在3O%左右。目前普遍存在的问题是过早收获，含水率偏高，容重低.霉粒、破损粒多，商品品质差，既影响产量，又影响品质。要等到玉米充分成熟后收获，适当晚收，利于玉米产量增加和品质提高。

3 基于核方法的综合DEA模型

文献[4-5]，所采用的特征映射是xvec(x⊗x).因为

vec(x⊗x)Tvec(x⊗x)=svecT(x⊗xT)svec(x⊗xT)，

太湖流域人口密集、经济发达，近年随着流域工业化、城镇化进程的持续加快，擅自侵占河湖水域岸线、围湖造地等违法行为时有发生，不仅严重影响了流域防洪、供水安全，更破坏了河湖生态系统的天然完整，削弱了水体自净和修复能力，阻碍了流域各地水生态文明建设进程。近年，太湖流域管理局在水利部的领导和地方的支持配合下始终将强化执法作为依法治水管水的重要手段，以直接查处水事违法案件为抓手，全力维护了河湖水域岸线的完整和正常功能。

定义5 设x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn为列向量，α∈R，定义

现令⊗其中α∈(0,1]，考虑决策单元为的综合DEA模型

改进的CLIQUE算法并行化的思想：将算法的并行化分为网格划分和聚类两个阶段，在每个阶段启动1个Job完成网格划分和聚类操作。图6为改进算法的并行化实现流程图。

 

(9)

它的对偶规划为

“军用分类代码”将基础地理信息要素分为约20个大类，约100个小类，共计约1 000个要素（除注记外约800个要素）。经统计分析具有以下特点：“军用分类代码”规定的要素中，能够在“民用分类代码”中找到对应要素的约占“军用分类代码”总要素数量的62%，与“民用分类代码”最大的不同在于“军用分类代码”中航空、航海、军事、界线等与军事相关的地理信息要素更多更细。

max{θ|(θΦα(xk),yk)∈T2DEA-H},

它等价于如下规划

应对各种挑战的做法是从三个方面探讨摆脱困境的出路：第一，坚持计算认知的解释模式，认知仍旧是计算，但不是狭义的计算，我们将采用一种广义计算的策略，扩大计算认知的适用范围；第二，重新定义计算认知的内涵，扩展认知的定义，认知被看作是一种信息加工，同时我们将转变信息的观念，为进一步探索自然计算奠定理论基础；第三，借鉴国外学者提出自然计算的探索性方案和理论模型，最终由图灵计算转向自然计算。

 

(10)

也等价于如下的线性约束且二次目标函数的凸二次规划问题

max{θ2|(θxk,yk)∈T2DEA-H},

其中，

 

表示综合DEA模型的特征生产可能集.

比较模型(9)与(7)，模型(10)与(8)，可知如下几点:

1)模型(9)与(7)有相同的相对有效的决策单元，即θH,θ分别为(10)与(8)的最优解，则θH=1⟺θ=1;

1992年巴塞罗那奥运会，蔡振华执掌的中国男乒队获得佳绩，王涛搭档吕林斩获一枚男双金牌，由此吹响中国男队复苏的号角。

2)模型(9)与(7)都是无量纲的线性规划模型;

大力推动美国学学科建设有何理论与现实意义？中国的美国学学者应有怎样的学术情怀、时代责任、价值标准和研究视角？如何确定研究内容、研究目标、理论与方法？目前，美国学概念尚未得到普遍认可，国内美国学相关研究，分散在外语、历史、文学、政治等各学科，相互之间缺乏融合与交叉，没有形成严密的学科体系。因此，借助国别与区域研究热潮，外语学科应倡导美国学学科建设。利用外语优势，运用跨学科理论与方法，加强对美国文化的深层次分析，把握美国文明的历史脉络，成为美国学教研团队的生力军。同时，加强与其他学科的交流合作，共同承担中国美国学学科建设的职责。

3)模型(7)得到分片线性的生产前沿面；当α∈[0,0.5]时，模型(9)得到分片凹函数形式的生产前沿面；当α=1时，(9)得到分片二次凸函数形式的生产前沿面.

政府应加大对库区航运基础设施建设资金投入，加快对库区水域渡口、渡船、航道及相关安全设施的建设和更新改造，提升库区航运设施硬件条件。进一步提高船舶大型化、多样化和现代化水平。未来可以发展大型货船、旅游观光船、气垫船、水上飞机等多用途船舶，发展天然气、电动船，混合动力船等绿色燃料船舶，为航运经济的发展增添动力。

其中1)的证明，可完全借鉴文献[4]；3)的证明，可完全借鉴文献[5]；2)是易知的.

同样，根据δ1,δ2的不同取值，可分别得到CCR、BCC、FG和ST版本；相应地，沿用传统的方法，也能构造出基于多项式核函数的分式规划版本的综合DEA模型；对于输出型的DEA模型，本文的方法同样适用，大同小异，此处均不再赘述.

参考文献：

[1] 魏权龄.数据包络分析[M].北京：科学出版社，2004.

[2] COOK W D, SEIFORD L M. Data envelopment analysis(DEA) - thirty years on[J]. European Journal of Operational Reasearch,2009,192(1):1-17.

[3] ABBASNEJAD M E，RAMACHANDRAM D， MANDAVA R. A survey of the state of the art in learning the kernels[J]. Knowledge and Information Systems,2012,31(2):193-221.

[4] 龚曲华，郑开杰．二次型生产前沿面的数据包络分析模型[J].福建师范大学学报(自然科学版),2009,25(1):30-33．

[5] 龚曲华.改进的曲线型生产前沿面的数据包络分析模型[J].福建江夏学院学报,2013, 3(1)：109-113.

[6] CHARNES A, COCPER W W， RHODES E. Measuring the efficiency of decision-making units[J]. European Journal of Operational Reasearch,1979，3(4):339.

[7] YU G. A generalized data envelopment analysis model[J]. Annals of Operations Resaesrch,1996,66(1):47-89.