分数阶微分方程有着深刻的实际背景和丰富的理论内涵,相比较于整数阶微分方程,分数阶微分方程能够更真实的描述某些自然、物理现象和动态系统过程,因此在现实问题中它有着比整数阶微分方程更加广泛的应用,同时在物理、机械工程、化学工程、生物医学工程、控制理论和经济等诸多领域发挥着越来越重要的作用.近几十年来,随着非线性分析这一学科的发展,分数阶微分方程作为非线性分析的一个重要分支发展十分迅速,备受学者的关注. 与此同时,分数阶微分方程边值问题解的存在性研究也得到了广泛关注[1-8].受文献[2]的启发,本文研究Banach空间中如下非线性分数阶微分方程解的存在性:

 

(1)

式中:2<α<3,0<λ<2,cDα表示分数阶导数,f∈C([0,1]×R,R),利用Krasnosel’skii不动点定理和Leray-Schauder度理论,得到了方程(1)解的存在性定理. 作为主要结论的应用,给出一个例子验证了所得结果.

1 相关定义和引理

为了讨论问题的方便,介绍一些必要的定义和引理,更详尽的内容可参考文献[9-12].

定义1[9-10] 函数f:[0,∞)→R的α阶Caputo导数定义为

 

其中:[α]表示实数α的整数部分.

定义2[9-10] 若积分存在,则函数f(t)的α阶Riemann-Liouville积分定义为

 

引理1[9] 若α>0,则齐次分数阶微分方程有唯一解

引理2[9] 若α>0,则Riemann-Liouville积分和Caputo导数有如下性质:

证明 由引理2,方程(2)等价于积分方程

 

引理3 假设λ≠2,对于任意y(t)∈C[0,1],分数阶微分方程边值问题

欧洲的中央银行最开始是欧洲货币局，因为欧盟的成立，欧洲的中央银行在1998年正式在在德国的法兰克福成立。由于欧洲各国在经历了第二次世界大战以后经济遭受到重创，世界地位遭遇大幅度下降，与此同时，日本和美国的经济飞速发展，建立了一个统一的货币市场以促进各国经济发展。单一货币制度能够很好地解决由于欧盟内部的不同国家因为货币利率、汇率的变动而引起的内部金融秩序混乱的问题，同时将各个国家不同价格的资源、商品以及服务整合起来，逐步的缩小差别，形成物价和利率水平的总体下降，居民消费水平提高，社会消费额增加，企业的投资环境得到明显改善，最终将促进欧盟总体经济的发展。

 

(2)

有唯一解

u(t)=G(t,s)y(s)ds

式中

 

文章主要是分析公路桥梁施工中的钻孔灌注桩的质量控制，首先是阐述了钻孔灌注桩施工技术，然后是举例了在实际的工程中钻孔灌注桩常出现了问题，比如断桩、缩径等，最后并对这些问题提出了质量控制的措施，还详细的分析了在整个钻孔灌注桩施工过程中的质量控制措施。如今，钻孔灌注桩技术作为公路桥梁施工的主要内容，对其整个工程的智爱玲有着很大的影响，就需要技术人员加强对其的研究，做好质量控制，提升工程整体的质量。

式(10)与u无关,因此T1是等度连续的. 又因为f把有界子集映为列紧子集,依据文献[11]中的Arzela-Ascoli定理,知T1(Ebs)(t)在E中对∀t是列紧的,其中Ebs是E的一个有界子集. 所以,T1(·)在Br上是列紧的,从而,由Arzela-Ascoli定理,T1在Br上是紧的.

 

由u(0)=u″(0)=0,可得

 

(3)

由u(1)=λu(s)ds,可得

随着社会基础建设的完善和经济的快速发展，人们认识到“空间资源”也是限制城市平稳发展的主要因素之一。在城市建设初期，由于建设技术以及认识的不足，仅重视地上空间资源的利用率，而忽视了地下空间资源和空中资源的综合利用，并在建设过程中存在重视建设、忽视后期维护的现象，导致早期城市建设过程中地下管线的铺设不合理，造成了后期探测及整改的难度。为了弥补这一缺陷，应该加强城市地下管线科学规划并制定出科学的整改举措，加强后期维护整改的防范意识。

 

(4)

由式(3，4),有

 

(5)

对式(5)两边从0到1关于t积分,可得

 

(6)

由式(6),可得

 

(7)

将式(7)代入式(5),可得

 

式中：Q=α-λ+λs.

术后随访,28例患者依据RDQ诊断分为反流组(n=4)及无反流组(n=24)，两组一般资料及手术资料无统计学意义。术后14例患者行胃镜检查，5例有食道炎，其中2例有反流症状，3例无反流症状。4例患者术后行食道24 h pH值监测，1例有反流症状且有病理性酸反流，余3例无反流症状的患者中，1例有病理性酸反流。

引理4(Krasnosel’skii)[12] 设X是一个Banach空间,M是X的一个凸的非空闭子集,A和B是 2个算子,使得

1) 对任意x,y∈M,Ax+By∈M；

2) A是紧的和连续的；

对此，康师傅控股执行长韦俊贤说，康师傅创立至今已有26年，跟随着中国改革开放的步伐，获得了许多人口红利和经济成长带来的发展机遇，最终有了今天覆盖中国9亿多消费者，年收益近600亿元的规模。今天的康师傅能够在方便面、即饮茶、可乐饮料等市场占有第一的市场份额，且每年销售的方便面超过120亿包，茶饮料超过100亿瓶，这都是得益于国家各项政策带来的市场持续开放、经济稳步成长，得益于中国超过10亿人的巨大市场。

3) B是压缩映射.

那么存在一个 z∈M,使得z=Az+Bz.

2 主要结论

令E=C([0,1],R), 对∀u∈E,定义范数则 (E,‖·‖)是Banach空间.

定义算子F:E→E,对∀t∈[0,1]

 

定理1 设连续函数f:[0,1]×R→R满足条件

抽取滤波器组主要包含CIC(Cascade Integrator Comb)滤波器、HB滤波器以及FIR滤波器。CIC滤波器因其只包含加减法器和寄存器,所以常作为滤波器组的第1级用于高数据速率电路中;HB滤波器因其抽头系数少计算量小且实时性强,所以常作为滤波器组的第2级用于中间级滤波;FIR滤波器因其过渡带窄,阻带抑制比高,通带波纹小,所以作为最后一级滤波器。各级滤波器的参数是可灵活配置的,以滤波器组的方式实现多模通信系统的灵活切换,达到兼容多模通信系统的目的。各种通信模式的滤波器抽取率设置如表3所示。

引理5 F:E→E是全连续算子,其中F由式(8)所定义.

证明 令Ω⊂E有界,对∀t∈[0,1],x∈R,由于f(t,u)在[0,1]×R上连续,那么存在一个常数M1>0,使得|f(t,u)|<M1成立. 对∀u∈Ω有

 

 

 

 

 

 

(9)

即证明了|(Fu)(t)|≤M2.

 

对∀t1,t2∈[0,1],t1<t2,有

 

|(Fu)′(s)|ds≤M3(t2-t1)

因此,算子F在[0,1]上是等度连续的,由Arzela-Ascoli定理,F:E→E是全连续算子.

由引理3知问题(1)有解等价于算子F有不动点.

3)Mann-Kendall突变检验显示,环太湖地区各站点气温突变年较为接近,但仍存在先后,且各站均表现为气温由低向高的突变,突变年发生在1992年前后,与有关研究结果较吻合(李国栋等,2013)。环太湖地区基本上都在20世纪80年代初发生了降水的突变现象,与全球的降水突变一致(宋燕和季劲钧,2005)。由于环太湖地区各站仍存在降水突变发生先后的差异,这可能与各地区城市化发展程度有关(郭凌曜,2009)。

(H1) ‖f(t,u)-f(t,v)‖≤L‖u-v‖,其中t∈[0,1],u,v∈R；

(H2) ‖f(t,u)‖≤μ(t),其中(t,u)∈[0,1]×R,μ∈L1([0,1],R+),且

那么边值问题(1)在t∈[0,1]上至少有一个解.

证明T1是紧算子.若令S=[0,1]×Br,定义对∀t1,t2∈[0,1],有

 

对∀u,v∈Br,有

‖(T1u)(t)+(T2v)(t)‖≤

因此,T1u+T2v∈Br.

根据由(H1)知T2是压缩映射. 由f是连续的,可知T1也是连续的. 对∀u∈Br,由(H2)有

 

所以T1在Br上是一致有界的.

证明 令定义Br={u∈E:‖u‖≤r},在Br上定义算子T1,T2为

 

(10)

目前，国内缺乏以“功能整合”为线索的系统教材，学生手里还是传统的以学科为中心的教材，给学生自主学习带来诸多不便。教师也以各自学科为基础进行授课，无法形成内容有效的融合。据此，参考国内外成熟的器官系统为中心的整合教材，以原有学科教材为辅，编写了系列整体整合教材，包括《内环境稳态1》对呼吸、循环和血液系统功能整合，《内环境稳态2》对消化、内分泌、泌尿和生殖系统功能整合。整套教材不仅将维系内环境稳态的各系统基础知识充分整合，同时重点阐述了各个系统疾病的发病机制、临床表现、变化规律、诊断方法和防治手段，同时编写了学习目标、知识链接导图和病例分析，方便学生学习，解决了系统整合教学中教材与内容的问题。

宣讲不仅在形式上要讲究语言的规范和严谨，采用说理和案例启发的方式，特别强调与学生的互动，把传统的“单向灌输”转变为“双向互动”；同时，着眼于党和国家事业发展的全局，高度负责尽责，体现政法院校的特点，提高贯彻落实的质量。登高望远、认准方向，在宣讲过程中进一步推动学校各部门都承担起相应的育人之责，守好一段渠，种好责任田，把思想政治教育的内容融入全方位育人之中。

定理2 设连续函数f:[0,1]×R→R,令M>0,存在常数c,使得

本试验A1组与C组精子活率在第12 d分别为0. 46±0. 09和0. 49±0. 07，试验结果优于孟娜娜等[11]，略低于陈晓丽等[12]49. 51±1. 08。在第9 d时，A1组的精子活率为0. 53±0. 06，说明大豆卵磷脂稀释液在低温保存绵羊精液9 d内精子活率满足输精要求。A1组与C组在各个相同时间点精子顶体完整率差异均不显著(P>0. 05)，A1组在第6 d顶体完整率为83. 1±1. 2，略低于王杰等[13]保存6 d顶体完整率。顶体完整率随时间推移逐渐下降，且下降速率逐渐变大[14]，与本实验结果相似。

|f(t,u)|≤c‖u‖+M

其中：

则边值问题(1)在t∈[0,1]上至少有一个解.

综上,在Br上T1是紧的和连续的,T2是压缩映射,由引理4知,边值问题(1)在t∈[0,1]上至少有一个解. 证毕.

证明 定义球Br0⊂C[0,1],为其中,半径r0>0,其取值将在后面估计. 则问题转化为只需证明:对∀u∈∂Br0,∀θ∈[0,1],F由式(8)所定义,满足:

u≠θFu

(11)

令H(θ,u)=θFu,u∈C[0,1],θ∈[0,1],根据Arzela-Ascoli定理,有 hθ(u)=u-H(θ,u)=u-θFu全连续. 如果式(11)成立,则由Leray-Schauder度理论中的拓扑度的同伦不变性,有

 

其中：I表示单位算子.由Leray-Schauder度的非零性,至少存在一个u∈Br0,使得h1(u)=u-θFu=0.

2．1 一般资料 32例患儿中，平均胎龄（28．83±2．41）周，出生体重（854．53±107．77）g，其中单胎20例，双胎12例，剖宫产15例，自然分娩17例；辅助生育患儿共8例，占总病例数的25%，存活者6例，存活率75%，女性存活率占62．5%（5／8）。存活者出院时矫正胎龄（36．6±1．7）周。

证明式(11)成立. 假设存在θ∈[0,1],使得u-θFu=0,对∀t∈[0,1],则

 

由此得其中：若取则式(11)成立. 证毕.

小虫没事了就去凌源那边。小虫管市场，上班很自由，想去哪去哪，摩托车一发动，日——就飞了出去。天气凉快多了，初秋的风拂面而来，人没那么烦躁了。小虫也不烦躁，官司赢了，只等着执行了。小虫去了凌源，就站在许沁抛光部的对面，站在树荫下，叼支烟，哼支小曲，远远窥视着。玉敏说你天天往哪跑干嘛，小虫说我这是监视许沁，防止她跑了。三十万不是小数目，万一许沁跑了就惨了。玉敏说不至于吧，就算她的抛光部搬走了，她的家还能搬走？花奴早把她家的地址和门牌号弄来了。小虫说她要不想还，三个月肯定能把房卖了。至于抛光部的房子，本来就是租的，分分秒秒都能搬走。

3 定理应用举例

给出两个例子验证结果.

例1 考虑下面分数阶边值问题

 

(12)

式中： 由于|f(t,u)-f(t,v)|≤‖u-v‖,知 而且满足定理1的条件,因此,边值问题(12)在t∈[0,1]上至少有一个解.

例2 考虑下面分数阶边值问题

 

(13)

式中：2<α=2.75<3,0<λ=1.85<2,因此, 如果令则存在M>0,使得 由定理2,边值问题(13)在t∈[0,1]上至少有一个解.

《意见稿》规定，寄件人有以下情形的，智能快件箱运营企业应当不予提供寄递服务：未按照规定完成实名信息采集或未通过身份查验的；未依法提供快递运单有关信息的；未按照规定在寄递记录专用区域进行交寄操作的。

致谢：本文得到徐州工程学院培育项目(XKY2017113)的资助，在此表示感谢.

参考文献:

[1] WANG Y,LIU L,WU Y.Positive solutions for a class of fractional boundary value problem with changing sign nonlinearity [J].Nonlinear Analysis,2011,74(17):6434-6441.

[2] CABADA A,WANG G T.Positive solutions of nonlinear fractional differential equations with integral boundary value conditions [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2012,389(1):403-411.

[3] SUN Y,ZHAO M.Positive solutions for a class of fractional differential equations with integral boundary conditions [J].Applied Mathematics Letters,2014,34:17-21.

[4] ZHANG X,WANG L,SUN Q.Existence of positive solutions for a class of nonlinear fractional differential equations with integral boundary conditions and a parameter [J].Applied Mathematics and Computation,2014,226:708-718.

[5] CHEN T,LIU W,HU Z.A boundary value problem for fractional differential equation with p-Laplacian operator at resonance [J].Nonlinear Analysis,2012,75(6):3210-3217.

[6] GOODRICH S.On a fractional boundary value problem with fractional boundary conditions [J].Applied Mathematics Letters,2012,25(8):1101-1105.

[7] GRAEF R,KONG L.Positive solutions for a class of higher order boundary value problems with fractional q-derivatives [J].Applied Mathematics and Computation,2012,218 (19):9682-9689.

[8] 刘德群,徐 娜.带p-Laplacian算子的分数阶微分方程边值问题正解的存在性 [J].兰州理工大学学报,2015,41(6):161-165.

[9] KILBAS A,SRIVASTAVA H,TRUJILLO J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations [M].Elsevier：Amsterdam,2006.

[10] PODLUBNY I.Fractional differential equations [M].San Diego:Academic Press,1999.

[11] DEIMLING K.Nonlinear functional analysis [M].Berlin:Springer,1985.

[12] SMART D R.Fixed point theorems [M].Cambridge:Cambridge University Press,1980.