2014年3月中华人民共和国教育部发布《关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》，该意见要求着力培养学生的核心素养[1].在基础教育阶段，应该帮助学生形成适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格和解决问题的素养与关键能力.以培养学科核心素养为中心的课程改革成为了新一轮教育改革的主方向.中学数学学习的核心素养，归根结底就是培养学生的思维能力.

1 引发思考的案例

在《整式的乘法》的教学中，对于的计算，某位学生的解答如下：于是教师问：x2是什么意义？ 答：x·x，两个x相乘.教师追问：会等于两个x相乘吗？这时他才怀疑结果的正确性，通过检查，发现并改正了错误.教师问：你为什么会产生这样的错误.他说，乘法中漏掉了x.教师又问：计算结果等于x2，你有没有感觉什么地方不对.他答道：没注意，只想早点完成练习.

阻挡风水的运势、做房起屋、修桥修路或者仅仅因为看不顺眼……人要砍一棵树的理由太多。东浒的这棵樟树，能活够一千年，能够长成如此模样，既要天照应，更需人照应呀。

教师的步步紧逼，触发了学生的思维活动，但学生一句无意轻飘的话，引起了数学教师深深的思考.（1）学生的解题是为了尽快地完成教师布置的作业，应付教师的检查，还是为了应用、巩固自己所学的知识，从而进一步发展自己的思维能力.教师布置的作业是否过量，是否挤占了学生思考、梳理、内化知识的时间.（2）教师需要不断地进行教学反思，这是教师专业成长必不可少的环节，学生在解题过程中，是否经常地、及时地怀疑、反思自己解题的正确性、合理性.教师应如何认识学生的反思对于提高学生学习能力的重要性.（3）在日常教学中如何培养学生的学习反思能力.如何指导学生解题之后从哪些方面进行有效的反思.

2 培养学生解题后的反思能力

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说过：“反思是数学思维活动的核心与动力”“没有反思，学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”[2].日常教学中，常发现已学过的内容，已做过的习题学生照样不会解答，归根到底就是学生没有进行更深入的反思，没有有效梳理、建构自己的认知体系，知识没有内化，导致所获得的知识较肤浅且容易遗忘；只有通过不断反思，才能建构简捷、合理、科学的知识体系，使知识在解题之时如打战用兵之际，召之即来，来之能战，战之能胜.在日常教学中，教师必须着力培养学生的学习反思能力，并渗透于解题的每个环节，使之养成解题后反思的良好习惯，有效地提升数学学习水平和解决问题的能力.

美国作家张纯如不这么看。张纯如26岁那年，在美国斯坦福大学，参加了一次纪念南京大屠杀遇难者的追思会。会上，张纯如被南京大屠杀血腥的历史图片震惊。那些“毫无掩饰的黑白图像：被砍下的头颅、被开膛的腹腔以及裸体的妇女，强奸她们的士兵迫使她们做出各种色情的姿势，她们的脸上则露出了令人难忘的痛苦和羞辱的表情”。这些照片，成为张纯如写作《南京暴行：被遗忘的大屠杀》的直接动因。

从哪些方面进行解题后的反思？怎样进行反思？反思的最佳手段就是追问，教师可从以下几方面进行：为什么要这么做？解法都用到了哪些知识点？关键的步骤是什么？解题过程有无漏洞？解法是否有一般性？是否还有其他解法？哪个解法更好？此题还有什么结论，还可作何种变形，条件与结论互换还成立吗？教师可通过这一系列的问题使学生的思维升华，使学生不迷恋于问题及解法的表面而能由表及里，洞察知识之间的本质联系.

2.1 反思过程 培养思维的批判性

解题后，要思考在解题过程中运用了哪些知识点、已知条件及它们之间的联系，还有哪些条件没有用过，结果与题意或实际生活是否相符.

例 1 已知关于x的一元二次方程：mx2-2（m+1）x+m-3=0有实数根，求m的取值范围.

反思 ① （ɑ+1）2的意义是什么？ 如何计算？ 有何规律？ ② 计算：（ɑ+b）2、（ɑ-b）2，两式的计算结果可以当作公式使用吗？如何记忆？③ 计算：（x+y）2、（2x-3y）2、（-2x+3y）2、（ɑ+b+c）2.④ 由公式（ɑ+b）2=ɑ2+2ɑb+b2、（ɑ-b）2=ɑ2-2ɑb+b2，可得到：ɑ2+b2=（ɑ+b）2-2ɑb=（ɑ-b）2+2ɑb；（ɑ+b）2-（ɑ-b）2=4ɑb.

解 依题意得：4（m+1）2-4m（m-3）>0，m>-2，所以当m>-2时,原方程有实数根.反思解题过程中运用了哪些知识点、还有哪些条件没有用过，解题过程有无漏洞?有此追问,则容易发现解答过程中未用到“一元二次方程”要求m≠0这一隐含的条件.

（2）、B磨分离器挡板开度为30°、40°、50°时，煤粉细度R90分别为22.8%、24.0%、24.4%，随着分离器挡板逐步开大，煤粉细度虽逐步增大，但调节范围较小，因此可见B磨分离器挡板对煤粉细度的调节能力较差；

1.建立预警教育机制。在日常的教育工作中，需要加强对学生的预警教育工作，充分发挥出学生自身的监督作用。在发现一些不良规律或者预兆时，能够及时向相关部门管理人员进行汇报，以便对该事件采取必要的防护措施，避免其发生或者降低发生带来的危害。

2.2 反思规律 培养思维的深刻性

解题后，要善于反思所运用的解题方法，认真总结规律，以达到举一反三的目的，有利于强化知识的理解和运用，提高迁移能力.建议多使用口诀的方式总结解题通法,这些口诀既朗朗上口,通俗易懂,又直抵核心,揭示本质.如证明线段（角）相等的“要相等，找全等；要全等，找条件”；强调数形结合重要性的“离开图形，神仙都不行”；概括一元二次方程知识要点的“二二四四”，即二个思想：降次、去分母；二点注意：ɑ≠0，△>0；四种解法：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法；四种关系：根与△的关系、根与系数的关系、根与方程的关系、根与因式分解的关系[3].

按照中央环保督察要求，黑龙江省印发《黑龙江省贯彻落实中央环境保护督查反馈意见整改方案》，饮用水源一级保护区内依法拆除或关闭与供水和保护水源无关的设施，积极推进齐齐哈尔市浏园水源地、佳木斯市江北水源地迁建和兴凯湖调水工程建设。大庆市政府制定《大龙虎泡水源地整治方案》，拆除大庆水库水源地一级保护区内全部违法建筑及清理所有建筑垃圾，进行人工生态恢复。

例 2 学习完全平方公式时，先请同学计算：（ɑ+1）2.有的同学的计算结果为：（ɑ+1）2=ɑ2+1、（ɑ-1）2=ɑ2-1.该结果正确吗？为什么？

如在学习“第二次世界大战”时，为了让学生感受到战争的残酷与法西斯势力的邪恶，笔者利用多媒体为学生播放了有关的战争视频活动，学生直观的感受到当时战争的惨烈，更投入到了对第二次世界大战的知识学习中，激发了学生的学习积极性的同时，有效的提高了历史课堂的教学有效性。

通过不断地追问、反思，层层递进，从特殊到一般，完成规律性的发现，使思维的深刻性不断地向前跃进，思维的品质获得升华之后，求解例3便水到渠成.

对模型进行方差分析，结果见表3。由表3可知，模型的P值<0.0001，说明该数学模型极为显著；失拟项值为0.6757，差异不显著，表明该方程对试验的拟合度较好，可用来确定羊肚菌SDF制备的最佳工艺。对表2中数据进行回归分析，建立回归方程：Y=31.77-1.60X1-1.55X2-2.06X3-0.43X4-1.06X1X2+0.18X1X3-0.83X1X4-0.17X2X3+2.44X2X4+0.25X3X4-3.18X12-1.83X22-1.47X32-0.51X42。

2.3 反思多解 培养思维的发散性

一题多解是培养学生创新思维的有效途径,鼓励学生在解题中不断追问是否还有其他解法,哪个解法更好,可以锻炼思维的发散性，促使学生提高综合运用所学知识解决问题的能力和不断创新的意识.

例 4 如图1,OA、OB是⊙O半径，OA⊥OB，P是OA上任一点，BP延长线交⊙O于Q， 过Q作⊙O的切线，交OA延长线于R，求证：RP=RQ.

例 3 已知x2+y2=8，（x+y）2=16，（1）求xy的值；（2）试比较x、y的大小，说明理由.

分析 解决关键是运用等角来证等边.

变式 5 如图8,图9的条件下，当PCB过圆心O时，新的结论是：ΔBAC为 RtΔ.

  

图1 例4的示意图

  

图2 解法一的示意图

  

图3 解法二的示意图

  

图4 解法三的示意图

  

图5 解法四的示意图

  

图6 解法五的示意图

  

图7 解法六的示意图

2.4 反思变式 培养思维的广阔性

对于一道题不局限于就题论题，而要进行适当变化引申，让学生的思维变得深刻流畅.一题变多题，有利于开阔眼界，拓宽思路，举一反三，提高应变能力.

问题是数学的“心脏”，解题是数学教学的核心.对学生而言，学数学最直接、最显著的表现就是解题.数学解题过程是个体思维能力作用于数学活动的心理过程，是一种深刻的思维活动，解题切入点不同，运用思想方法不同，就体现出不同的思维水平.解题后的反思需要对解题过程进行剖析，对解题方法进行概括，因此实际上它是学习的强化过程.

例 5 甲、乙两地相距300 km，客车速度为40 km/h，货车速度为60 km/h，客车在甲地，货车在乙地，相向而行，两车同时出发，几小时相遇？

变式1 两车同时出发后几小时相距100 km？

变式2 客车先出发1 h后货车出发，客车出发几小时后两车相遇？

走出神策门镝楼便是通往玄武门的路，这是一条坑洼不平的砖石路，仁者见仁，智者见智，有人就偏爱这种表面生硬却暗含时空更迭之意的美，也有人就偏恨这不平整而又绊脚的路。这种类似未完工的状态可能会挫伤游客的旅游兴致。

变式3 两车同时出发，同向而行，客车在前面，几小时后货车追上客车？

收敛性是思维的一个重要特性.华罗庚说过，读书分为两个层次，第一个层次是把书读厚；第二个层次是把书读薄，读薄就是要培养思维的收敛性，即类比、归类的能力，教师在教学中应予以足够的重视.

例 6 如图8,PA为⊙O切线，A为切点，PCB是⊙O割线，求证：（1）ΔPAC∽ΔPBA; （2）PA2=PC·PB.

解法一，如图2,连OQ；解法二，如图3,过点B作⊙O的切线；解法三，如图4,延长AO交⊙O于C；解法四，如图5,延长BO交⊙O于 C，连CQ；解法五，如图6,延长AO交⊙O于C，连BC、CQ；解法六，如图7,过点B作⊙O的切线交BQ的平行线于点C.以上6种方法是从不同点出发作辅助线，但都是围绕一个目的，构造基本图形，不过有些图形直观、熟悉，有些隐蔽、陌生，因此对同一问题进行不同角度的观察、思考、联想，可以得到不同的解题方法，再对各解法加以比较，找出较好解法，可以培养学生思维的发散性，从而提高学生学习的积极性.

变式 6 如图8，图10的条件下，增添∠BAC平分线AM交BP于D，则有结论：PA=PD.

变式 7 如图8，图11的条件下，增添∠APB的平分线，交AB、AC于F、E，则有结论：（1）AE=AF;（2）ΔAEP∽ΔBFP;（3）ΔPCE∽ΔPAF.

变式 8 如图8,图12的条件下，同时增添∠BAC、∠APB平分线AM、PF，则有如下结论：（1）AM⊥PF（2）FN=NE；（3）AN=ND.

  

图8 例6的示意图

  

图9 变式5的示意图

  

图10 变式6的示意图

  

图11 变式7的示意图

  

图12 变式8的示意图

在课本例题的基础上，通过变式训练，使学生掌握变式题与原题的内在联系以及本质，达到一把钥匙开多把锁的效果.这不仅能培养学生善于发现问题、分析问题和解决问题的能力，而且能训练学生的创新思维，拓展思维空间，开发学生的创新潜能.

首先，思想发动，明确认识。要让学生知道设预习笔记的目的：语文学习，最终无非是达到叶老所言“自能读书，不待老师讲；自能作文，不待老师改的境地”。而要做到这点，叶老又要求我们学生“自奋其力，自致其知”，这样获得的知识和能力才是有价值的。我以笔记的“质疑”为例，让学生认识提出一个问题其实比解决一个问题更重要的道理，爱迪生等人就是从小爱思考，爱提问后来才成为大发明家的。向学生介绍，美国的家长关心的往往就不是子女的考试分数，而是每天有无向老师提出过有价值的问题……渐渐地，学生思考问题的翅膀便飞了。

2.5 反思归类 培养思维的收敛性

解题后，回忆同类的习题，进行对比，分析其解法，找到解这一类题的技巧和方法，从而达到触类旁通的目的，久而久之便能形成技巧，大大提高解题效率.

例 7 （1）已知关于x的一元二次方程x2-2（m+1）x+m2-3=0有两相等的实数根，求m值.（2）已知二次三项式x2-2（m+1）x+m2-3是完全平方式，求m值.（3）已知二次函数y=x2-2（m+1）x+m2-3图象与X轴只有一个交点，求m值.（4）已知抛物线y=x2-2（m+1）x+m2-3的顶点在X轴上，求m值.（5）已知不等式x2-2（m+1）x+m2-3＜0无解，求m值.（6）已知方程组有两个相等的实数解，求m值.

这6个问题其实是同一个问题在不同知识背景中的描述，都可以归结为△=0，

变式4 两车同时出发，背向而行，几小时后两车相距1000 km？

2.6 反思错误 培养思维的严谨性

解题后，要思考题中易混易错之处，总结教训，提高辩析错误的能力，才能不断地完善知识体系，提高解题的正确率.

例 8 如图13，AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.

  

图13 例8的示意图

证明一 ∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.

证明二 ∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED， 在△ABD与△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，∠ADE=∠AED，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.

2018年开年之初，房地产企业陷入集体焦虑。2017年11月龙头房企万科在月度经营数据电话会议上，预计2018年将是房地产的小年，2018年房地产销售可能会出现整体性的下降，销售面积和销售金额双降。2018年将是房地产“小年”引发业内讨论。

证明三 作AH⊥DE于H，使DH=EH……

错因分析 证明一中使用了不成立的定理（ASS）；证明二中∠ADE、∠AED不是△ABD与△ACE中的角；证明三中把要证明的结论当成作图的设想.

认真反思错误的原因，才能对症下药.有的算理不明、数感薄弱，导致符号混乱，结果缪误；有的思维欠缜密、审题不周，导致答案缺漏不全；有的盲目套用、非法类比，导致知识的负迁移.鼓励同学对典型的错解进行收集成册，有针对性地纠错改偏，将大大提高复习效率.

解题后的反思能力是学生核心素养的基本要素，可以使知识产生有机联系，串线并网，融会贯通，从而优化思维品质，学习事半功倍.解题后的反思，是学生思维持续飞翔的坚实翅膀，决定了其思维飞翔的高度与飞翔的距离.教师在讲究授课技巧的同时，要更多地关注学生的思考过程，着重培养学生的思维能力，唯有这样，在学科知识的基础上发展学生的核心素养才不会是一句空话.

本课程理论内容多，理解难，为了能真正理解和掌握这门课程的知识点，应该在理论课上完后安排学生做实验，通过一些真实公司案例针对每个知识点的内容仿真给学生做，同时分小组进行，每个人不同角色，可以更好的理解这个岗位知识，我们学校去年还增设了“财务商圈”实验室，这个试验室可以提高每组学生不同的岗位对应的仿真实务，在电脑上进行账务处理的过程的。这样既可以让同学们容易理解《中级财务会计》课程的内容，也可以提高他们的实操能力，更能让学生学以致用，提高团队合作的精神。

参考文献：

坝址区覆盖层有第四系上更新统坡洪积层（Q3dpl），岩性为含碎、块石浅黄色低液限粉土，厚0～5 m；全新统洪冲积（Q4pal），岩性为卵石混合土、级配不良砾，厚0～2 m。坝址区基岩为中生界龙华河群榆林坪组（Arlny）岩层，岩性以变质二长花岗岩为主，夹有少量黑云角闪斜长片麻岩。

[1]中华人民共和国教育部.教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见[EB/OL].[2017-09-20].www.moe.edu.cn/srcsite/A26/S7054/201404/t20140408_167226.html.

[2]费赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.

[3]伍仕森.初中“代数运算”教学的困境与对策——“因式分解”的错因分析与教学思考[J].福建基础教育研究，2016（11）：32-33.