0 引言

图的控制及其相关问题是近年来图论中一个比较活跃的研究领域,研究它不仅具有重要的理论意义,而且具有重要的现实意义[1-4].随着人们对控制数理论越来越重视,一些学者开始关注不同类型控制数之间的关系[5-9].本文在文献[6]的基础上,刻画了一类双圈图的连通控制数与全控制数相等的充分必要条件.

设G=(V,E)表示一个图,图G的一个点集S称为控制集,如果V-S中的每个点都与S中的某个点相邻.G的控制数γ(G)是G的最小控制集的基数.基数是γ(G)的最小的控制集称为γ集.图G的一个点集S称为连通控制集,如果S是控制集并且S的导出子图是连通的.G的连通控制数γc(G)是G的最小连通控制集的基数.基数是γc(G)的最小的控制集称为γc集.G的一个CDS表示G的一个连通控制集.如果G中每个点都至少与S中的一个点相邻,则称S是G的全控制集.图G的全控制集中最小的基数称作全控制数,记作 γt(G).基数是γt(G)的最小的控制集称为γt集.G的一个TDS表示G的一个全控制集.

在图G中,1度点称为叶点,与1度点相邻的点称为茎点,大于1度的点称为内点.设L(G),S(G)和I(G)分别表示叶点、茎点和内点的集合,C(G)={v|v∈I(G)-S(G),且G-{v}中至少存在一分支Gi，使得|V(Gi)∩I(G)|=1}.对于连通图G,顶点v称为G的割点,如果G-{v}是不连通的.G称为单圈图,如果G恰好包含一个圈.图G称为双圈图,如果G恰好包含两个圈.

1 主要引理

引理1[6] 设T是|I(T)|≥2的树,则γc(G)=γt (G)当且仅当I(G)=S(G)∪C(G).

地下水主要来源于大气降水和地表水（如河水、湖水、海水等），这些水进入地层后与岩土产生溶滤作用、浓缩作用、脱碳酸作用、脱硫酸作用、阳离子交替吸附作用、混合作用及人类活动作用等，使地下水的化学成分进一步演变[1]。

清华大学图书馆微电影获奖是一个里程碑意义的事件，在国内图书馆界掀起了微电影创作与营销的热潮，微电影数量迅速增加、题材也不断丰富。之后，北京大学图书馆推出的微电影《天堂图书馆》以及上海交通大学图书馆推出的微电影因为其充实的内容成为其中的佼佼者。北大图书馆的微电影是为纪念北大图书馆建馆110周年而策划，富含文化底蕴，朱强馆长也亲情出演，讲述了祖孙两代人与北大图书馆的不解情缘，温暖了万千观众，并获得全国大学生微电影创作大赛最美奖。上海交通大学图书馆的微电影是与校相声社团合作的，笑果十足，包袱不断，让人在欢笑中记住了与图书馆相关的知识。

本文中,设X代表圈C上所有2度点的集合.

要更好的避免羊链球菌病的发生，首先需要提升放牧管理，通过防风保暖等工作更好的提升羊群的放牧环境，并且合理进行羊舍分配，避免出现羊群密度过大的情况。

引理2[6] 设G 是包含圈Cm的单圈图,若5≤|X|≤m-2,则γc(G)≠γt (G).

设η代表一个图集，其中的每个图都是对C6中的顶点v1和v3均至少附着一个叶点而得到的.

引理3[6] 设G 是包含圈Cm且|X|≤m-2的单圈图,则γc(G)=γt (G)⟺G同构于图集η中的一个,或者下列条件中的一个成立:

1) 若|X|=0,则 I(G)=S(G)∪C(G).

2) 若t=1且1≤|X|≤3,记G′=G-{v1},则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

3) 若t=2且3≤|X|≤4,记G′=G-{v1,v2},则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

4) 若t=|X|>1,记G′=G-{v1}.① 若|X|=2,则I(G′)=S(G′)∪C(G′)∪{vm};② 若3≤|X|≤4,则I(G)=S(G)∪C(G).

引理4[6] 设G 是包含圈Cm且|X|=m-1的单圈图,若Δ(G)≤n-2,则γc(G)=γt (G)⟺下述条件成立:

第二，推进思想政治工作要灵活且具有针对性。时代在不断的改变，医改就是时代改变下的结果。因此，工会在开展工作的过程中，要灵活运用现代科技，与时俱进；此外，针对具体的指示，要进行针对性的工作，比如，针对具体的某一类职工开展工作；只有这样，才能保证医院能够正常运行，保证医院职工的利益，从而形成良性循环，辅助国家完成发展计划[2] 。

1) 3≤m≤6.

2) 假定d(vm)≥3,记G′=G-{v1},则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

引理5[6] 设Cm是阶数为m的圈,则γc(G)=γt (G)⟺m=4,5,6.

2 主要结果与证明

在本节中,除非特殊说明的情况下,图G是指包含圈Cm和Cn且V(Cm)∩V(Cn)=∅的双圈图,X1，X2分别代表Cm，Cn中所有2度点的集合.不失一般性,假定,,…，和分别是G[X1]和G[X2]中的最长路.记

若公共路上存在2度点,则只有当圈为3圈(除了公共路,该圈没有悬挂分支),且与3圈相邻的顶点为2度点时(不妨记该2度点为v0),有γc(G)=γt(G).

下面说明其他情况下γc(G)≠γt(G).

设图G的γc集为S，若与2度点相邻的圈阶数为n(n≥4),则S-{v0}为图G的全控制集,故γc(G)≠γt(G).若公共路上的2度点(不妨记该2度点为)不与圈相邻,则S-{}为图G的全控制集,故γc(G)≠γt(G).

下文中假定:连结两圈的公共路上不存在2度点.为了讨论方便,假定t1≤t2.

定理1 设G是包含圈Cm,Cn的双圈图,若|Χ1|=m-1且|Χ2|=n-1,则γc(G)=γt (G) ⟺下列条件成立:

i) 3≤n≤5,3≤m≤5.

遥想当年离家读书住寝室的年代，一把椅子可谓承担着日常起居的多重功能——休息、搭衣服，还多次临时充当过简易的餐桌。或许在那时，我们在潜意识中就已经知道，椅子绝不仅仅是用来坐的，只要加点创意，它就能花式出现在需要的岗位，给人意料之外的惊喜。

ii) 当d(vm)≥3,d(vn)≥3时,记则 I(G′)=S(G′)∪C(G′).

证 充分性.由引理1,γc(G′)=γt (G′).又易知γc(G′)=γc (G),从而γt(G′)=γc (G).因此只需证γt(G)=γt (G′).

情况是G的TDS.于是γt(G)≤γt(G′)<γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况2 m=4,n=3.

设S是G的满足S∩L(G)=∅的γt集.对于任意顶点v∈I(G)-V(Cm)-V(Cn),有v∈S(G′)∪C(G′),故也有v∈{S(G)∪C(G)}∩S.又由于|S∩V(Cm)|≥m-2,且|S∩V(Cn)|≥n-2,则有|S|≥I(G)-4=γc(G),即γc(G)≤γt (G)成立,从而γc(G)=γt (G).

用类似的方法可证下述的情况3,4成立.

情况3 m=5,n=3,4,5或{(m,n)|3≤n<m,m=4,5}.

情况4 m=4,n=4.

必要性.设γc(G)=γt (G),由引理4,5知,当m=6或n=6时,只有该圈上顶点vm,vn的悬挂分支为悬挂边时成立,双圈图不可能出现这种情况,所以3≤n≤5或3≤m≤5.此种情况下易知γc(G′)=γc(G)=I(G′).设S是G′的满足S∩L(G′)=∅的γt集,因此S⊆I(G′).下面分情况讨论.

3)对疫苗中没有失效的信息，求Ln的并集与交集(i取值不含信息已失效的位置)。如果集合L∪个体数少于k/2，表示优异种群对应位置信息有效；否则计算li=Li-L∩，最后求集合(li)中最大集合，记为lm，表示该位置信息有一定指导意义。

情况1 vm,vn∈S.

用反证法.如果存在顶点v∈I(G′)-S(G′)∪C(G′),则由引理1知γt(G′)<γc (G′).又易知S是G的TDS.所以,γt(G)≤γt(G′)<γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况2 vm,vn∉S.

注意到都不是支点,且

情况都不是∅.存在某顶点va,vb∈S满足va,vb分别控制且满足因而就是G的一个TDS且基数不大于γt(G′).又由γt(G′)<γc(G′),则有γt(G)≤γt(G′)<γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况 中有且仅有一个为∅.

不失一般性,假设N()∩(S-{})≠∅,则|S|≤γc(G′)-3且是G的TDS,从而有γt(G)≤γt(G′)+1<γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况 都是∅.

从被访者的薪酬福利来看，对于当前大专学历毕业生而言，殡葬行业工作稳定，工资较高，有的殡仪馆甚至将大学生当做人才引进，给予较高经济待遇，并提供培训学习的平台以及较好的住宿条件等。目前我国大部分殡仪馆的硬件设施都比较先进，软件正处于建设发展中，急需具有专业学历的人员加入。因此，绝大部分被访者认为薪酬福利满意度高于其他职业选择，一进入工作单位，往往成为业务骨干，因此目前尚无职业竞争压力。他们的压力一般来自于职业声誉压力。

显然|S|≤γc(G′)-4,且是G的TDS,所以γt(G)≤γt(G′)+2<γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况中仅有一个不属于S.

不妨设∉∉S时的情况类似可得.此种情况下,易知不是支点且m=5.

情况3.1 N()∩(S-{})≠∅.

房间隔缺损是常见的先天性心脏病，随着疾病的进展，容易合并肺动脉高压。房间隔缺损并重度肺动脉高压是否能介入封堵目前仍存在争议。本文报道1例靶向药物治疗联合介入封堵房间隔缺损并重度肺动脉高压治疗体会。

存在某点va能控制且满足va∈N()∩(S-{}),所以(S-{})∪{}是G的TDS且基数γt(G)≤γt(G′)≤γc(G′)=γc(G),矛盾.

情况3.2 N()∩(S-{})=∅.

《下辈子，无论念与不念，都不会相见》很适合亲子共读。沈从文、梁实秋、梁漱溟、林海音、舒婷、史铁生、丁立梅……这些名家的散文充满童趣又富含哲理，有些话，似乎正是我们要讲给孩子的，却又不知道如何讲；有些经历，似乎正是我们的经历，却还没有跟孩子分享。所以暖阳里、灯光下，打开这本书，时光漫漫、暖意融融，与孩子一起享受经典带来的温暖与成长。

引理6 设G是包含圈Cm,Cn且V(Cm)∩V(Cn)=∅的双圈图,若5≤|Χ1|≤m-2或5≤|Χ2|≤n-2,则γt (G)<γc(G).

证 不失一般性,假设5≤|Χ1|≤m-2.考虑G[X1]中的最长路.用引理2中的方法,不难得出引理6成立.

下面只须考虑圈上2度点的个数不大于4的情况.

引理7 设G是包含圈Cm,Cn且|X1|=|X2|=0的双圈图,则γt(G)=γc(G)⟺I(G)=S(G)∪C(G).

冰温贮藏是指将食品贮藏在0℃以下至冰点以上的温度范围内，属于非冻结贮藏。在冰温条件下贮藏的果蔬不仅不破坏果蔬细胞结构，还可以显著提高果蔬的生理品质，抑制病原菌的生长[7]。研究发现，冰温条件下贮藏杨梅果实，可以明显提高贮藏期间的好果率，并在色、香、味等方面都优于冷藏[8]。

证 由|X1|=|X2|=0知,I(G)是G唯一的CDS.

必要性.设γt(G)=γc(G),分两种情况考虑.

引理9 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=1,且1≤|X1|≤3,1≤|X2|≤3时，设则γt(G)=γc(G) ⟺I(G′)=S(G′)∪C(G′).

情况2 当I(G)-S(G)≠∅时，对于∀vi∈I(G)-S(G),设G1,G2,…Gd(vi)代表G-{vi}的各个分支.若G-{vi}的每一分支Gj满足V(Gj)∩I(G)≥2,则I(G)-{vi}是G的一基数为γt(G)-1的TDS,矛盾.故G-{vi}的分支中至少有一分支满足V(Gi)∩I(G)=1,即vi∈C(G),所以I(G)=S(G)∪C(G).

充分性.设S是G的满足S∩L(G)=∅且S(G)⊆S的γt集.对于∀vi∈C(G),由C(G)的定义知,vi∈S,即有C(G)⊆S.因为I(G)=S(G)∪C(G),有I(G)⊆S,即有γt(G)≥γc(G),所以γt(G)=γc(G).

N()∩(S-{})中不存在点能控制点,则|S|≤γc(G′)-2,所以S∪{}是G的TDS,且基数γt(G)≤γt(G′)+1<γc(G′)=γc(G),矛盾.

引理8 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=1时,若|X1|=4或|X2|=4,则γt(G)<γc(G).

证 不失一般性,假定|X1|=4.设S是G的不包含点的γc集.由|X1|=4,至少存在3个顶点∈X1∩S,这里2<i<m.假定是在路,,…,上的第2个2度点，显然S-{}是G的TDS,所以γt(G)<γc(G).

情况1 当I(G)-S(G)=∅时，显然I(G)=S(G)∪C(G)成立.

引理10 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=2,|X1|=|X2|=2时，若则γt(G)=γc(G) ⟺I(G′)=S(G′)

证 显然,γc(G)=γc(G′)=I(G)-4=I(G′).

其次，早期的区块链应用记录的是源于母体的数字货币，区块链自产自销的是原生虚拟资产。这是一个封闭的数字价值世界，不需要与物理世界打交道就可以运转，匿名也是完全可行的。但到了区块链的2.0时代（具备智能合约和平台化等），区块链上记录和交易的不再来自区块链，而是来自物理世界的股权、版权和产权等。如果区块链上所映射的是匿名资产，从法律意义上就是无效合同。

必要性.设γt(G)=γc(G).假定存在一点由定理1,则有γt(G′)<γc(G′),且存在G′的全控制集S满足S⊆I(G′)-{vi}.

情况1 m=n=3.显然,γt(G)=γt (G′)成立.

情况∉S，则|S|≤I(G′)-3且是G的TDS,于是γt(G)≤I(G′)-1<γc(G),矛盾.

情况3 当且仅当中的一元素不属于S.

不失一般性,假定∉S,则|S|≤I(G′)-2且S∪{}是G的TDS，于是有γt(G)≤I(G′)-1<γc(G).

充分性.设

情况

γt(G′)=γc(G′)=γc(G),于是I(G′)是G′的γt(G′)集.若γt(G)<γt(G′),则至少存在一点v∈I(G′),且满足I(G′)-{v}是G的TDS，易知则I(G′)-{v}也是G′的TDS,矛盾.

情况∉S(G′)∪C(G′).

是G′的γt(G′)集,即有γt(G′)=γc(G′)-2,亦即有γt(G)=γt(G′)+2=γc(G′)-2+2=γc(G′)=γc(G).

情况中当且仅当存在一点不属于S(G′)∪C(G′).类似于情况2的方法易证.

2.4 SBP预后多因素Logistic回归分析 将经过单因素分析发现的SBP易感因素纳入到好转组和死亡组中进行Logistic回归分析，得出失代偿期肝硬化合并SBP预后有显著性影响危险因素：上消化道出血、血清ALB、血Na+、肝肾综合征，见表4。其中上消化道出血、肝肾综合征是患者短期内死亡高危因素（P＜0.05），而血清ALB、血Na+水平则是降低患者病死率的保护因素（P＞0.05）。

引理11 设G是包含圈Cm,Cn,且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,若t1=t2=2,(|X1|,|X2|)∈{(4,4),(3,4),(2,4),(4,2),(4,3)},则γt(G)<γc(G).

引理12 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=2,(|X1|,|X2|)=(3,3)时,若则γt(G)=γc(G)⟺I(G′)=S(G′)∪C(G′).

证 先证|X1|≤|X2|的情况.显然,γc(G)=γc(G′)=I(G)-4=I(G′).为了方便,记

在路上选择离最近的2度点记为易知就是G的TDS,故有γt(G)<γc(G).根据对称性,(|X1|,|X2|)∈{(4,2),(4,3)}的情况类似可证.

本研究采用了前后测、五篇作文三稿数据跟踪、问卷调查及访谈来验证研究假设。所有数据用SPSS19.0软件进行了分析。

引理13 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=2,(|X1|,|X2|)=(2,3)时,若则γt(G)=γc(G)⟺I(G′)=S(G′)∪C(G′)∪{}.

引理14 设G是包含圈Cm，Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=2，(|X1|,|X2|)=(3,2)时,若则γt(G)=γc(G)⟺I(G′)=S(G′)

引理15 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,若t1=t2=3且(|X1|,|X2|)={(3,4),(4,4),(4,3)},则γt(G)<γc(G).

证 仅证|X2|=4的情况,其他情况类似.如果m=6,显然γt(G)<γc(G).如果m≥7,则每一个γc集都至少包含V(Cm)-{,,}中的4个顶点.不失一般性,假设∈X1,且S是G的不含,的γc集.显然S-{}是G的γc集,所以γt(G)<γc(G).

引理16 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,当t1=t2=|X1|=|X2|=3或t1=t2=|X1|=|X2|=4时,若则γt(G)=γc(G)⟺I(G′)=S(G′)∪C(G′).

由引理6～16,可以得到定理2.

定理2 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,若t1=t2,则γt(G)=γc(G)当且仅当下面的条件中的一个成立:

1) 当|X1|=|X2|=0时,I(G)=S(G)∪C(G).

2) 当t1=1,且1≤|X1|≤3,1≤|X2|≤3时,若则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

3) 当t1=|X1|=|X2|=2时,若则

4) 当t1=2,(|X1|,|X2|)={(2,3),(3,3)}时,若其中i=|X1|,则

γt(G)=γc(G)⟺I(G′)

5) 当 t1=|X1|=|X2|=3,4时,若则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

用类似于定理2的方法,可得下面的定理3，4成立.

定理3 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|≤n-2的双圈图,若t1≠t2,则γt(G)=γc(G)当且仅当下面的条件中的一个成立:

1) 当t1=0,t2=1,且1≤|X2|≤3时,若则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

2) 当t1=0,t2=2,且|X2|=2时,若则

3) 当t1=0,t2=2,|X2|=3时,若则γt(G)=γc(G)⟺I(G′)=S(G′)∪C(G′).

4) 当 t1=0,t2=|X2|=3,4时,若则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

5) 当t1=1,1≤|X1|≤3,t2=|X2|=2时,若则

6) 当t1=1,t2=2,1≤|X1|≤3,|X2|=3时,若则 I(G′)=S(G′)∪C(G′).

7) 当t1=1,1≤|X1|≤3,且t2=|X2|=3,4时,若则 I(G′)=S(G′)∪C(G′).

8) 当t1=2,2≤|X1|≤3,且t2=|X2|=3,4时,若其中

 

则

 

9) 当t1=|X1|=3,t2=|X2|=4时,若则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

当两圈中的其中一个圈上的2度点个数至少比该圈的阶数少2且另一个圈上有且仅有一个2度点时,有定理4成立.上述两圈不妨分别记为Cm,Cn.

定理4 设G是包含圈Cm,Cn且|Χ1|≤m-2,|Χ2|=n-1的双圈图,则γt(G)=γc(G)当且仅当3≤n≤5和下面的条件中的一个成立:

1) 当 t1=1,且1≤|X1|≤3时,若d(vn)≥3,记则 I(G′)=S(G′)∪C(G′).

2) 当t1=|X1|=2时,若d(vn)≥3,记则 I(G′)=S(G′)∪C(G′)∪{}.

3) 当t1=2,|X1|=3或4时,若d(vn)≥3,记则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

4) 当t1=|X1|=3,4时,若d(vn)≥3,记则I(G′)=S(G′)∪C(G′).

综合定理1～4,得到一类双圈图G的γt(G)=γc(G)的充分必要条件.

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