0 引言

设C是Hilbert空间中的一个非空子集,映射T:C→C,若存在数列{kn}⊂及k∈[0,1),对任意的x,y∈C,n∈N,有

 

则称映射T:C→C是渐近k严格伪压缩映射.

对于非扩张映射下的Ishikawa迭代算法,学者们得到了收敛性结果[1],并研究了渐近非扩张映射下该算法的收敛性[2].本文给出修正后的渐近k严格伪压缩映射的Ishikawa算法,得到迭代序列的弱收敛结果;推广了文献[2]中的迭代算法,并给出了该迭代序列的强收敛结果.

1 预备知识

引理1[3] 设{αn}是非负序列,满足条件

αn+1≤(1+γn)αn, n∈N,

其中{γn}是非负序列,并且则数列{αn}收敛.

引理2[3] 设C是Hilbert空间H中的闭凸集,T:C→C是渐近k严格伪压缩映射，则

所谓的强夯技术，具体的操作是运用重锤的自由落体规律，通过一定的高度自由下降，从而使路基得到加固，增强路基的承重能力。原来的软土路基由于重锤不断增加其受重力，所以会在重力的作用下改变先前软土路基构造，然后相关的施工人员再对其进行处理加固，从而增强路基的承重能力。

1) ‖Tnx-Tny‖≤Ln‖x-y‖, ∀

2) 如果{xn}⊂那么(1-T)x0=0.特别地,如果xn→x0,(1-T)xn→0,那么(1-T)x0=0.

3) 符号F(T)代表不动点集合,即{x∈C:Tx=x},由条件可得F(T)是闭凸集,且投影PF(T(x))有定义.

The voltage balance equation of the brushless DC motor is

引理3[3] 设{xn}是Hilbert空间H中的序列,K⊂H是闭凸集,u∈H,令q=PKu.假设{xn}满足

‖xn-u‖≤‖u-q‖, ∀n∈N,

则有

引理4[4] 设C是Hilbert空间H中的一个闭凸子集,点x,y,z∈H,a∈R,则集合D={v∈C:‖y-v‖2≤‖x-v‖2+〈z,v〉+a}是闭凸的.

引理5[4] 如果H是实Hilbert空间,那么

1) ‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2-2〈x-y,y〉, ∀x,y∈H.

2) ‖tx-(1-t)y‖2=t‖x‖2+(1-t)‖y‖2-t(1-t)‖x+y‖2, ∀t∈[0,1], ∀x,y∈H.

4) 人机界面友好。实时数据显示、历史数据查询、历史报警查询、参数变化查询、报告查询、仪表参数设置、运行数据分析、实时趋势、历史趋势、仪表高级诊断功能、运行诊断、零点验证、零点标定、智能仪表自校验(SMV)、大数据全生命周期诊断、安全管理、设备管理等。

3) 若{xn}是Hilbert空间H中的序列,并且弱收敛到z,那么

 

∀y∈H.

引理6[4] 设K是Hilbert空间H中的一个闭凸子集,点x,y,z∈H,那么z=PKx,当且仅当〈x-z,y-z〉≥0,∀y∈K.

引理7[5] 在自反空间中,弱紧集和有界闭凸集是等价的.

实例一:If people were always kind and obedient to those who are crueland unjust,the wicked people would have it all their own way,they would never feelafraid,and so they would never alter,but would worse and worse.

2 主要结论

设C是Hilbert空间H中的闭凸子集,T:C→C是渐近k严格伪压缩映射，序列{xn}定义为

 

(1)

则有下面的结果.

定理1 设 由(1)式迭代生成.若∑αn收敛,且存在δ>0,δ<βn<1-δ,则{xn}弱收敛到T的不动点.

=(1-αn)‖xn-p‖2+αn ‖zn-p‖2-αn(1-αn)‖xn-Tnzn‖2

‖xn+1-p‖2 =‖(1-αn)(xn-p)+αn(Tnyn-p)‖2

德国莱尔浩福二合公司位于德国慕尼黑近郊卡尔斯菲尔德。该公司自1987年起开始致力于开发和生产用于动力总成的噪声检测系统，并一直活跃在面向动力总成的声学早期故障检测和下线质量控制领域中。为了更好地向中国客户提供支持，该公司于2007年在中国上海成立了代表处。

≤(1-αn)‖xn-p‖2+αn‖Tnyn-p‖2

HC-SR501人体红外感应模块工作电压DC5V至20V，电平输出3.3V/0V，感应范围7米内。传感器的两个反向串联热释电元件的电极化方向相反，产生的释电效应相互抵消，无信号输出；当人进入探测区域，红外辐射通过部分镜面聚焦，被热释电元接收，两片热释电元接收的热量不同，热释电不同，产生差值，经信号处理而输出。

 

(2)

因为因此{Ln}是有界的.由于∑αn收敛,并且an非负,又因为δ>0,δ<βn<1-δ,故∑αnβn≤∑(1-δ)αn,由正项级数判定定理可得,∑αnβn也是收敛的,所以可得是收敛的.

注1 定理1推广了文献[3,6-8]中的相关迭代算法.

0 ≤‖Tnxn-xn‖2≤

“Caucus”在美国政治中，该词被用来指代若干种不同类型的会议，通常是一伙人私下里举行的会议（克劳瑟，2007）。[13]吴钧陶在此处保留了原文中的词义，并且用注释加以进一步说明。这个词在18世纪初出现于美国波士顿，指美国政党的一种特殊形式的会议。18世纪末，英国开始使用，也叫作“政党干部会议”，这种会议的作用是操纵选举和控制选举人。本书作者用在这里，含有讽刺意味。注释的添加，使儿童读者不仅可以更容易理解原文意思，同时还可以增加他们对欧美文化有更广泛的认识，激发儿童的学习兴趣。

因此,有

≤((1-αn)‖xn-p‖2+αn ((1-βn)‖xn-p‖2+βn ‖xn-p‖2)-‖xn+1-p‖2).

(3)

因为是收敛的,所以的极限存在.由(3)式,可得

sup‖xn-Tnxn‖2≤ sup((αn ((1-βn)+βn)-αn+1)‖xn-p‖2-‖xn+1-p‖2)=0,

所以

在徐静波看来，导致关西机场撤离事件最终成为自媒体时代舆论传播的“经典反面案例”的不外乎两个原因：第一，未到第一线、没掌握全部实情。第二，一些媒体太想把一次艰难的救助行动，描述成“厉害了，我的国”。

我看到一个忙碌的身影，抵达古樟后，他就和几位摄影家一起，一直在顺光与逆光等诸多因素中纠结，想要为这次诗会找一个最佳的背景。

接下来证明由‖xn-yn‖=‖xn-(1-βn)xn-βnTnxn‖=βn‖xn-Tnxn‖→0(n→∞),得

‖yn-Tnyn‖ =‖yn-xn+xn-Tnxn+Tnxn-Tnyn‖

≤‖yn-xn‖+‖xn-Tnxn‖+Ln‖xn-yn‖→0, n→∞,

‖xn-xn+1‖ =αn‖xn-Tnyn‖=αn‖xn-yn+yn-Tnyn‖

=(1-αn)‖xn-p‖2+αn‖Tnyn-p‖2-αn(1-αn)‖Tnyn-xn‖2

≤αn(‖xn-yn‖+‖yn-Tnyn‖)→0, n→∞,

‖xn-Txn‖ =‖xn-xn+1+xn+1-Tn+1xn+1+Tn+1xn+1-Txn‖

≤‖xn-xn+1‖+‖xn+1-Tn+1xn+1‖+‖Tn+1xn+1-Txn‖

轻钢-混凝土组合结构具有轻钢结构的优点，同时由于混凝土的存在而提高了结构的刚度和稳定性，并增强了结构的防火性能。

≤(1+L1Ln)‖xn-xn+1‖+‖xn+1-Tn+1xn+1‖+L1‖Tnxn-xn‖→0, n→∞,

‖yn-p‖2 =‖(1-αn)xn+αnTnzn-p‖2

从而可知‖xn-Txn‖→0(n→∞).因为{xn}有界,由引理7易知{xn}的弱紧性.

要证明{xn}的弱收敛性,令数列{xni},{xmi}是{xn}的两个子序列,{xni}→p,{xmi}→q,因为(∀z∈F(T))存在,由引理5中3),可得

sup‖xn-p‖2 = sup‖xmi-p‖2= sup‖xmj-q‖2+‖q-p‖2

 

故q=p,即得{xn}的弱收敛性.由引理2和‖xn-Txn‖→0(n→∞),可知{xn}弱收敛到T的不动点.

实际上,当n充分大时,有这说明了级数的非负性,由引理1可知{‖xn-p‖2}的极限存在,{‖xn-p‖}的极限也存在.因此{xn}有界,由(2)式,有

设C是Hilbert空间H中的一个闭凸子集,T:C→C是渐近的k严格伪压缩映射,k∈(0,1).设{xn}是由以下条件生成的序列:

 

(4)

 

则有以下收敛结果.

定理2 设 是由迭代序列(4)生成的子序列,令F(T)≠0,若∑αn是收敛的,且存在δ>0,δ<βn<1-δ,那么{xn}强收敛到T的不动点.

证 1) 证明F(T)满足Cn,Qn的约束条件.由引理2中的2),可得T有不动点.再由引理4,可知Cn是闭凸的.

接下来证明F(T)⊂Cn.对∀n∈N, p∈F(T),

2017年，石柱县石家乡引导全乡有发展意愿的36个贫困户成立了“梦里荷塘”乡村旅游专业合作社，每户向县扶贫办申请3万元乡村旅游发展基金，由县扶贫办统一注入资金108万元，合作社按照“司法公正、资产抵押、有偿借用”的原则，将政府提供的乡村旅游发展引导基金借给龙头企业石龙山庄，山庄则采取订单收购、劳务用工、股金分红方式带动贫困户脱贫致富。

硬膜外麻醉比全麻更加安全可靠主要是因为:①全麻的作用时间长,麻醉见效时间长,对手术进行不利。除此之外,患者的苏醒时间比较长,全麻对患者的作用时间过长,导致了患者的生命安全受到威胁。使用硬膜外麻醉的药物作用时间比较短,药物见效的时间也比较短,患者苏醒快,能够保证患者的生命安全,防止风险事故发生,促进手术效果提升[5]。②硬膜外麻醉的镇痛效果突出,患者术后的恢复情况比较理想,因此临床中使用硬膜外麻醉的优势十分明显,能够让患者的手术安全性极大的提升,患者身体受到的影响非常小[6]。

=‖(1-αn)(xn-p)+αn(Tnzn-p)‖2

证 因为F(T)≠0,选择p∈F(T),可知p是T的不动点,则对任意n∈N,有Tnp=p.又因为T:C→C是渐近的k严格伪压缩映射,由引理2中的1)及引理5)中的2),有

 

由引理2和引理5可得

‖zn-p‖2 =‖(1-βn)xn+βnTnxn-p‖2

≤(1-βn)‖xn-p‖2+βn ‖xn-p‖2-βn(1-βn)‖Tnxn-xn‖2

 

-‖xn+1-p‖2)

‖yn-p‖2 ≤‖xn-p‖2+αn( ‖xn-p‖2+βn(-1)‖xn-p‖2)-‖xn-p‖2)

-βn(1-βn)‖Tnxn-xn‖2

 

≤‖xn-p‖2+θn,

(5)

从而可得p∈Cn,即F(T)⊂Cn.

2) 证明F(T)⊂Qn,∀n∈N.由数学归纳法,当n=0时,F(T)⊂C=Q0.假设F(T)⊂Qn.因为xn+1是x0到Cn∩Qn的投影,由引理6,可得〈xn+1-z,x0-xn+1〉≥0, ∀z∈Cn∩Qn.又因为F(T)⊂Cn∩Qn,所以有〈xn+1-z,x0-xn+1〉≥0, ∀z∈F(T),因此F(T)⊂Qn+1,所以∀n∈N,F(T)⊂Qn.接下来证明{xn}强收敛到PF(T)x0.由Qn的定义易知xn+1=PCn∩Qnx0,又因为F(T)⊂Qn,所以‖xn+1-x0‖≤‖p-x0‖,∀p∈F(T).因此{xn}有界.特别地,由xn+1∈Qn,〈xn+1-xn,xn-x0〉≥0,再由引理5中的1),可得

‖xn+1-xn‖2=‖xn+1-x0-(xn-x0)‖2≤‖xn+1-x0‖2-‖xn-x0‖2,

(6)

由(6)式可知{‖xn-x0‖}是递增的数列.由{xn}的有界性，可知{‖xn-x0‖}也是有界的,因此可得存在,由(6)可得

这一句意蕴丰富的语句：首先，苏比把“白吃”这件事情看得太重了。他以为处理这样的事情只有警察出面才能摆平，可是，对于那些有钱人而言，这只是小事一桩。于是，两个普通的侍者就把他平安地弄倒在大街上了。其次，再看后边那半句“别让大爷久等”，更具讽刺性。使苏比作为一位好吃懒做的形象被表现得淋漓尽致。对此，有研究者结合其他语境，还对苏比形象的意蕴进行过这样的分析：

3) 证明和首先证明因为xn+1=PCn∩Qnx0,那么xn+1满足Cn,即‖yn-xn+1‖2≤‖xn-xn+1‖2+θn.由θn→0(n→∞),‖xn+1-xn‖→0(n→∞),易知‖yn-xn+1‖→0(n→∞),‖yn-xn‖≤‖yn-xn+1‖+‖xn+1-xn‖→0(n→∞),由(3)式可得

0 ≤‖xn-Txn‖2≤((αn ((1-βn)+βn)+(1-αn))‖xn-p‖2-‖yn-p‖2)

 

因为θn→0(n→∞),由引理5和‖yn-xn‖→0(n→∞)可得

 

即‖Tnxn-xn‖→0(n→∞),

‖Txn-xn‖ ≤‖Txn-Tn+1xn‖+‖Tn+1xn-Tn+1xn+1‖+‖Tn+1xn+1-xn+1‖+‖xn+1-xn‖

≤L1‖xn-Tnxn‖+Ln+1‖xn+1-xn‖+‖Tn+1xn+1-xn+1‖+‖xn+1-xn‖→0, n→∞.

因为{xn}有界,由引理7知,{xn}是弱紧的.再由引理2中的2),‖Txn-xn‖→0(n→∞),可得序列{xn}的子集弱收敛到的T不动点.又因为‖xn-x0‖≤‖p-x0‖,∀p∈F(T),由引理3可知{xn}强收敛到q=PF(T).

注2 定理2可视为文献[2]的直接推广,同时,文献[8-11]中的相关迭代算法也可由定理2推得.

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