0 引言

0.1 分歧现象

分歧现象是一种普遍存在的自然现象和社会现象，它主要描述的是一种稳定的自然状态或社会状态当某一参数达到或超过某一临界值时跃迁至另一种截然不同的自然运动状态或社会运动状态[1]。Poincare、A.Lyapunov等人首先研究了平衡解出现分叉的现象，马天和汪守宏建立了一套创新的吸引子分歧理论和Hopf分歧理论用于研究非线性演化方程的动态分歧，本文利用这套理论研究Keynes经济模型的动态分歧[2]。

0.2 Keynes经济理论

Keynes理论从讨论人们收入、支出与储蓄行为的关系开始，建立了储蓄边际递减规律、投资边际效率递减和流动偏好三大规律，证明了不受干预的自发市场机制会导致就业水平总是处于非充分的平衡状态，从而创新性地从经济学理论上证明了国家干预经济的合理性[3]。

Keynes理论认为：当人们收入增加时，消费也增加，但人们消费支出的增加小于收入的增加；随着收入的增加，消费支出在收入中的比重越来越小，而储蓄所占的比重却越来越大；从而得到有如下经济规律：

a）储蓄边际递减规律。消费随收入的增加而增加，但在所增加的收入中用于增加消费的部分会越来越少；

b）投资边际递减规律。投资增加时预期利润率会逐步递减；

c）流动偏好规律。相比于利息收入，人们更愿意选择储存无利息的货币来保持财富的流动和灵活性[4]。

上述内容是我们建立数学模型的基础。

1 Keynes经济模型的微分方程的建立与动态分歧

1.1 Keynes经济模型的微分方程的建立

下列结论是Keynes理论的数学表达，称为Keynes经济模型：

 

这里 aλ＞0，bλ＞0，cλ＞0 是常数且连续地依赖于 λ＞0，α＞0，β＞0，η＞0，aλ代表投资意愿，bλ代表储蓄意愿。

此时方程（4）的平衡点（x0，y0）是局部渐近稳定的Reα1，2（λ）=0；

用均数±标准差的形式，表示两组受检人员的各项指标，并用t值进行检验，当研究指标存在明显差异时，检验P＜0.05。

注：社会超额需求=社会总需求—社会总收入；

社会总需求=正常消费+净投资；

社会总收入=正常消费+储蓄。

在本文，为了方便起见，不妨设正比例常数k=1，影响经济的生产技术水平参数设为λ，即：

 

其中x是社会总收入，y是社会总资本，λ为生产技术水平参数，T为投资函数，L为储蓄函数。

高中物理中的定律、概念等知识是进行物理问题解决的基础，因此想要提高解题能力，前提必须要有扎实的基本功.因此教师在进行高中物理教学时首先要求学生形成扎实的理论基础，能够将这些定律或定理很好的融入到解题中，并且将理论转化属于自身的解题方法和解题技巧.只有学生掌握了基本知识，并且也内化成了解题技巧，才能形成稳定的解题能力，才能在遇到问题的时候，能够快速准确的进行解决.

我们首先需要根据经济规律给出投资函数T和储蓄函数L的具体数学表达：

就每一螺旋的具体呈现方式而言，多个版本“平行四边形概念”在第三学段的引入素材与第二学段在生活范围上差异不大，有些版本在不同学段引入素材的选取中存在重复现象（如使用了名称相同的素材），值得商榷．对于“性质1”的发现，人教版在第二和第三学段的编写所体现的思维要求无明显差异，在八下经由对具体平行四边形图形的观察和度量发现性质，就初中生而言，思维水平要求偏低．冀教版在第一和第二学段均有“平行四边形性质1的发现”，但第一学段就编写“平行四边形的对边相等”，超出了“直观水平”的要求，与学生的实际认知水平可能存在差异．

对每一种生产技术水平参数λ，社会经济都存在一个平衡状态（x0，y0），其中x0＞0，y0＞0；这个状态连续地依赖于生产技术水平参数λ；由基本的经济规律，在平衡状态（x0，y0）的邻域内，投资函数T和储蓄函数L满足如下关系：

 

再根据Keynes理论的投资边际递减规律和储蓄边际规律，有：

与x-x0成正比，与y-y0成正比。

由这些条件可以得到，在平衡状态（x0，y0）的邻域内，投资函数T和储蓄函数L可取如下形式：

 

其中 x是国民经济收入，y是实际资本存量，k＞0 为常数，T（x，y）为净投资函数，L（x，y）为储蓄函数。

这样，Keynes模型（3）可以化为如下形式：

 

记 τλ=aλ-bλ，ξ=α+η 则上述方程可以表达为如下形式：

 

这就建立了Keynes经济模型的微分方程。

1.2 准备工作

考虑以下有限维系统的动态分歧：；其中 G（，λ）连续依赖于λ∈R，并且在 x=0 的邻域内为高阶项 G（x，λ）=o（｜x｜）；

令Aλ的所有特征值（计重数）由α1（λ），α2（λ），…，αn（λ）给出，αi（λ）是λ的连续函数。

当λ＜λ0时：

 

1) 由于气动执行机构工作压力范围在400～600 kPa，根据力与压强F=pS的关系，想要获取较大推力，则必须增加执行机构上活塞的受力面积，势必导致气缸体积巨大和笨重，给管道布置带来麻烦，不利于阀门的安装、调试、维护及下线维修。

1.3 主要定理与证明

定理1 令λ0∈R是一个临界生产技术水平参数，它满足如下条件：

 

矩阵Aλ的特征值由下式给出：

a）当 λ≤λ0时：方程（4）的平衡点（x0，y0）是局部渐近稳定的；

水肥管理是油茶苗木栽培管理中非常重要一部分，经过施肥，可以对油茶的生长具有重要作用。控制好水肥才能够更好的保证油茶更好的生长，避免因为营养不足影响苗木生长。

b）当 λ＞λ0时：方程（4）从（（x，y），λ）=（（x0，y0），λ0）处分歧出一个稳定的周期轨道。

证明如果方程（4）的线性部分的矩阵Aλ的特征值α1（λ），α2（λ）满足：

 

则对某个 λ0∈R，（4）就有可能在（（x，y），λ）=（（x0，y0），λ0）处发生分歧；

研究结果显示，高管薪酬与企业绩效并不相关，或者仅弱相关。事实上，目前我国企业高管薪酬出现了两种极端的现象：一方面是高管薪酬奇高，超过合理的价位；另一方面，企业绩效提升了，高管的激励却严重不足。激励不足和激励过当并存，十分容易混淆是非，最终造成“眉毛胡子一把抓”。

特别地，如果α1（λ），α2（λ）是一对虚数，则（4）一定在（（x，y），λ）=（（x0，y0），λ0）处发生分歧，并且分歧出一个周期轨道。

方程（4）的线性部分为：

 

对应矩阵

崖间山风呼嚎，时急时缓，二人悬在空中，被刮得飘飘晃晃。每下落一段距离，就要找好崖壁上的凸石，将绳子固定一下，否则，过长的绳子很可能被狂风鼓荡起来，进而将人的身体抛到崖壁上，即便不被撞死，怕也要断胳膊断腿，再难脱身。

令得：

则有下面的结论：

胃肠道间质瘤是一种普遍出现的间叶源性肿瘤，中老年人是多发患者，通常是胃部发病[1]。本文使用CT和MRI对胃肠道间质瘤实施诊断，诊断效果显著，报告如下。

由定理条件（5）可以得出：

引理1（Hopf分歧定理[5-6]）若特征值αi（λ）满足以下条件，存在λ0≠0，使得：

方程（1）表明，每年国民收入的增量与社会超额需求T-L成正比；方程（2）表明，每年实际资本的增量等于净投资。

通过测试、计算9个注水系统效率和注水系统效率存在问题的分析因素，确定了影响吐哈油田注水系统效率有以下六个方面问题，并针对相应的注水系统问题提出相应的节能技术措施。

当 λ=λ0时：是一对共轭虚数；

则方程从（x，λ）=（0，λ0）处分歧出一个周期轨道，这样的分歧称为 Hopf分歧。

此时方程（4）在（（x，y），λ）=（（x0，y0），λ0）处一定发生 hopf分歧。

为了证明（4）在（（x0，y0），λ0）处分歧出的周期轨道是一个吸引子，只需要验证在 λ=λ0处（x0，y0）是方程（4）的渐近稳定平衡点；这等价于证明：方程（4）的非线性项的散度在（x0，y0）的一个邻域内是非正的。

显然的：

由回归结果 （表略）可以看出，解释变量cyc、dem、goi和sca均在1%水平下显著，模型拟合效果良好。经济周期波动、市场需求以及企业规模的系数为正，表明对炼化产业的产能利用率具有正向作用；政府干预系数为负，表明对炼化产业的产能利用率具有负向作用，与理论相符。

方程（4）的非线性项部分为：

张翼等从青岛海水和武汉南湖水中筛选分离出11株小球藻和1株胶网藻[12]，黄秋婷等从吉林工学院荷花池中筛选分离出4株栅藻和1株小球藻[13]。本研究从华南理工大学校内东湖中筛选分离到6株绿藻，18S rDNA鉴定结合采样点筛选分离结果表明这6株微藻分别属于小球藻属与株栅藻，其中 DH1、DH6和DH3分别筛自采样点1表层水样和底层水养，DH4和DH2、DH5分别筛自采样点2表层和底层水养，不同取样点的筛选结果差异可能与不同藻株的生长习性有关。

 

对任何（x-x0）2+（y-y0）2＜ε，（x，y）≠（0，0）（ε＞0 充分小），均有：

从图4可以看出，矿化床对于渗沥液中的COD去除具有很好的效果，能达到90%以上的去除率。对于氨氮和总氮的去除效果没有像COD一样明显。但结合7、8月测验数据，可以看出经矿化床出水的氨氮和总氮去除均在限值以下，说明矿化床单元能够有效地处理渗沥液，几乎可以保证使其达标排放。

 

结论成立。

2 动态分歧结果对于社会经济的动态行为的解释

我们能够运用上面所得到的动态分歧结果来解释社会经济的动态行为。

要遵循教育规律和创新创业课程的教育规律，确保制定的指标体系客观准确；要确保制定的指标体系既能考虑到所有影响因素，又能确保监测与评价的方式方法具有可操作性，能顺利实施；要确保指标体系既能反映出教学质量，又便于教师自检自查，从而引导教师完善教学内容、改进教学方法、提升教学成效。

从经济学的观点来看，平衡点的邻域内的局部渐近稳定状态代表了社会经济在一个稳定点周围波动发展，而一个稳定的周期轨道代表了社会经济体系的周期性波动行为。

a）当工业技术水平参数λ≤λ0时，社会生产力水平低下，社会收入水平较低，投资利率回报也较低，因而根据Keynes经济理论，投资意愿比储蓄倾向要弱，即aλ＜bλ；在这种情况下，就像定理所表达的那样，社会经济是在稳定点周围波动发展，即是一种自给自足、平衡稳定的状态。所以，在社会生产力较低的古代社会，发展自给自足的经济模式是有数学根据的。

b）当工业技术水平参数λ＞λ0时，社会收入水平提高，新的社会生产技术也给投资带来高额利润，因而根据Keynes经济理论，社会投资意愿超过储蓄的倾向，即aλ＞bλ；在这种情况下，就像定理所表达的那样，社会经济发展方式就发生了根本的变化，从过去自给自足的稳定平衡发展跃变为周期波动的发展模式。所以，在近代到现在工业革命之后，社会生产力大幅提高，经济发展黄金期与经济危机交替出现，存在周期性，这就是我们今天看到的情况。

参考文献：

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[2]MA T，WANG S.Dynamic bifurcation of nonlinear-volution equations[J].Chin Ann Math:Ser B ，2005，26（2）：185.

[3]袁志刚，欧阳明.宏观经济学[M].上海：上海人民出版社，2004：166-170.

[4]凯恩斯.就业、利息与货币通论（重译本）[M].高鸿业，译.北京：商务印书馆，1998：204-207

[5]马天，汪守宏.非线性演化方程的稳定性与分歧[M].北京：科学出版社，2007：136-152.

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[7]CRANDALL M G，RABINOWITZ P H.Bifurcation from simple eigenvalues[J].J.Funct.Anal，1971（8）：321

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