0 引言

德国数学家高斯曾说“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”［1］.初等数论是一门古老的数学基础课程，它研究数的规律，特别是整数的一些特殊规律，包括整除性、不定方程、同余理论、连分数、代数数、数论函数及素数分布等内容.一直以来，对数论问题的研究是现代数学发展的重要推动力.如费马猜想［2］的证明是20世纪数学领域最伟大的成果之一，它的证明极大推动代数数论和代数几何等数学分支的发展；又如世界三大猜想之一——哥德巴赫猜想［3］，一代又一代的数学家们还在不懈的努力，这足以看出数论在数学领域的重要作用.随着科学技术的迅猛发展，数论中的众多理论和方法也被广泛应用于代数编码、现代密码学、组合设计、代数学、信息科学以及通信等领域.同时，数论中的很多算法也可以借助计算机模拟实现，这些足以看出，数论是一门极其重要且充满活力的学科.

2)具有的GIS图形等功能,可快速查询查看省台多种海洋气象预报产品和台风数据,提供灵活多样的展示方式,基本满足预报和服务的需求。

1 课程现状

当前，我国师范院校的数学系都开设初等数论这门课程，一方面要求学生能够较好地掌握初等数论基本知识，另一方面也为国家培养出更多优秀的中小学数学老师.初等数论同时也是计算机科学等相关专业必须辅修的课程，中学生（甚至小学生）课外数学兴趣小组的许多内容也属于初等数论.随着中小学教学改革的有序推进，大学里的很多知识都被下放到中小学，如北师大版的普通高中数学课程选修教材4-6“初等数论初步”就介绍很多初等数论的基础知识，选修教材3-2“信息安全与密码”也介绍数论在密码学中的相关应用.所以师范生更应当学好初等数论这门课程，从而能够以较高的视觉和角度认识和指导今后中小学的教学工作.

对系统的优化设计,省去外部芯片,节省PCB布板空间,减少信号线之间的相互干扰问题,将并行数据的传输速率由原来的35 MHz提升到50 MHz,对相同的原始图像,在相同的压缩倍数下进行压缩后,由上位机显示的原始图像和压缩图像的对比结果图分别如图8和图9所示。

以淮北师范大学信息学院为例，初等数论课程通常安排在大三的上学期开设，总共36学时，其中整除理论12学时，同余理论14学时，不定方程4学时，数论函数6学时，内容多学时少，这无形之中增加教学难度.同时，与其他的一些数学专业课相比，初等数论课程的重要性尚未得到充分认识.大多数师范院校把初等数论列为选修课程，这导致很多学生由于自己的兴趣和学分情况而没有选修这门课程.另一当面，很多数学系的师范生会选择考研，他们从一开始就认为只要学好数学分析和高等代数就可以了，像初等数论这些课程没有得到应有的重视.孰不知考研复试的时候，很多高校都会在笔试和面试中考察初等数论的相关知识.

(3)为了能保障较高的千粒重，需要在抽穗开花期到乳熟期适当提高灌水下限。在渗漏强度比较大的地区，节水灌溉水稻对灌溉及时度的要求更高，即在土壤含水率达到下限时应及时进行灌溉，否则难以保证高产。

在山区架设公路桥梁要面临复杂的地形、恶劣的环境等众多消极因素的影响。为了更好地完成公路桥梁的建设工作，提高其安全性和实用性，工作人员必须提前做好地形地势的勘察工作，对施工场地的地质、地形、水文以及环境、交通、施工等因素进行深入了解，只有这样才能设计出最佳桥梁，保证其经济、适用、美观，从而进一步推动我国公路桥梁建设事业的发展。

在日常的教学中发现，初等数论课程的设置与教学存在一定的问题，本文结合笔者的研究方向（密码学），谈谈对于初等数论课程改革的几点思考.

2 初等数论课程教学改革的措施

2.1 改进教学方法

2.1.1 引导学生自主学习，提高学习积极性

大多数的数学课程还集中于传统的教学模式，即：教师讲授概念、定理、例题，课堂提问，学生都是被迫地跟着老师的思路走，往往导致部分同学有心无力跟不上进程，没有真正让学生作为课堂教学的主体参与进来，学生在课堂上表现出似懂非懂，在课后做题时往往一筹莫展，很多的时候无从下手，这样的教学效果是很不理想的.而初等数论这门课程却不同，很多概念在中学和高等代数中都已经讲过，可以采取让学生自主学习—课堂讲述—教师总结的模式进行教学.例如，整除理论主要包括整除的相关概念、带余数除法、辗转相除法、素数、算术基本定理等.这一章的很多内容和概念之前都已经学习过，只是在数论中把它们进一步理论化、系统化.因此，对于本章内容可以让学生先自主学习，然后在课堂上让学生走上讲台进行讲解，然后老师给出点评总结.本章的内容大概占用12个学时，应当让每个学生都参与到自主学习中来，让每个学生都能有机会走上讲台，提前感受一下当老师的感觉，也为今后从事中小学的教育打下一定的基础.实践证明，这样的教学模式很受学生欢迎，学生学习积极性明显增强.对于证明过程较长的定理，让学生直接来讲效果是不好的，也曾尝试这样的教学模式：把定理的证明分为几个问题或者步骤，让不同的学生分别负责，一步步地推出定理的结论从而完成证明过程.对于较难的知识点，教师可以事先精心设计并组织安排一些学习活动，引导学生通过自主学习、钻研探索、合作交流，自己去发现知识.例如，在同余理论这一章，有两个较难的定理［4］，探讨有理数表示成纯循环小数和混循环小数的条件，这两个定理的证明过程较为复杂，证明技巧性很强，如果详细讲解定理的证明会耗费很长的教学时间，效果也不理想.在实际教学中，通过给出一系列精心设计的例子，引导学生自己去计算，自己去探讨，进而从实例中归纳总结出结论.

初等数论课程教材的选取较为陈旧，内容枯燥乏味.以淮北师范大学信息学院为例，多年来都在使用高等教育出版社出版的由闵嗣鹤和严士健主编的《初等数论》［4］，这是一本非常经典的教材，它具有语言精练、概念明确、逻辑清晰等优点，但是内容相对陈旧，某些定理的证明过于简练，不利于学生去理解与应用；一些知识点相对抽象且枯燥，无法调动学生的学习热情；课后习题偏少且偏难，如第一章第四节的课后第一题“试造不超过100的质数表”，第二题“求82798848及81057226635000的标准分解式”，这两道习题有些难度且不能很好地巩固课堂上所学的知识，还容易导致学生产生厌学的心理.因此，教材的选取应多样化，可以考虑将闵嗣鹤、严士健的《初等数论》［4］作为基本教材，以潘承洞、潘承彪的《初等数论》［5］作为辅助教材，同时以巫玲的《信息安全数学基础》［6］和冯克勤的《数论与密码》[7]作为参考教材.潘承洞、潘承彪的《初等数论》［5］总计有674页，内容相当丰富，定理的讲解和证明非常详细，例子和习题也比较多，有难有易，适合各个层次的学生；素数一直是数论中最有趣也是最吸引人的重要研究课题，该教材用40页介绍素数分布的初等结果，有兴趣的同学可以自学这部分内容，为今后从事科学研究培养良好的习惯；该教材还从505页至518页介绍初等数论的几个应用，如循环比赛的程序表、电话电缆的铺设、筹码游戏等，在附录中用66页的版面介绍一些与数论相关的奥林匹克数学竞赛题，极其丰富课程的内容，激发学生的学习热情，也为师范生今后从事中小学数学竞赛指导工作打下良好的基础.巫玲的《信息安全数学基础》［6］和冯克勤的《数论与密码》［7］，这两本教材很好地体现数论与密码学之间的联系，内容丰富例题较多，具有很强的应用性，在课堂教学中可适当地引用其内容，对于提高学生学习数论的兴趣和理论联系实际的能力具有重要的推动作用.

［2］畅飞.费马猜想的初等证明［J］.数学学习与研究，2015（7）：101.

问题是数学这门学科的心脏，伟大的数学家和普通人的区别在于能够主动发现问题，勇于思考问题和解决问题.初等数论不同于其他数学专业课，它主要依靠初等的方法来研究大家所熟悉的整数的性质，很多概念和结论比较容易理解和接受，而且与实际生活密切相关，因此在课堂教学过程中，教师可以预先创设问题情境，采取“设置问题—摸索研究—解决问题”的教学方法.例如，在介绍同余的概念之前，首先设置这样一个问题：假设今天是星期一，那么从今天起再过101010天是星期几？这是现实生活中的一个常见问题，学生通过思考很快就能找出解决这个问题的思路，关键要算出用7去除101010的余数是多少，这是一件非常困难的事情，此时引导学生来学习同余的相关概念和结论.深刻理解并掌握概念之后，上面的问题就可以这样回答：，假设1010=4+6k，其中k为正整数，则，所以再过101010天是星期五.这样一来，问题得到解决，还加强学生对知识的理解和掌握.

（2）考卷中给出材料题，既考察学生对知识的掌握情况，也考察学生自主学习、归纳总结的能力.例如，先介绍移位密码［11］的起源和加密解密算法，然后给出问题：假设移位密码的密钥为K=11，明文为wewillmeetatmidnight，求密文是什么？

2.2 丰富教学内容

2.2.1 教材选取的多样化

引导学生自主性学习不但体现学生的主体性，还锻炼学生特别是师范生的讲课能力.这种教学方法有利于让学生重视数学知识的发生和发展过程，有利于培养学生的实践能力和逻辑推理能力，有利于激发学生的学习热情和学习积极性.

2.2.2 增加数学竞赛的内容

湾区是指由一个海湾或者相连的若干个海湾、港湾、毗邻岛屿共同组成的区域，是一个地理学的概念。它与沿海地区的区别在于，湾区由海岸线凹进陆地形成，是沿海多个城市共享的水域，是滨海城市特有的空间形态。而也正因为湾区与大陆相连，经济腹地广阔，具有广阔发展前景。在国际上，那些沿海众多港口城市组成的这样一种独特的区域经济发展模式，便是湾区经济。

初等数论与中小学数学联系紧密，因此在日常的教学中，应注重数论与中小学数学的衔接，特别是在数学竞赛的领域.国际奥林匹克数学竞赛是著名数学家罗曼在1959年发起，经过50多年的发展，它成为规模最大、多种类型、层次较高的一项学科竞赛.根据对奥林匹克数学竞赛题的统计，可直接利用数论知识解决的题目约有30%，这还不包括那些解题过程与数论相关的题目.现在很多中小学都把数学竞赛纳入常规的教学工作，也在积极培训骨干教师从事这项工作，有的学校已经将数学竞赛纳入课堂教学.提高初等数论的教学质量，丰富初等数论的教学内容，特别是在日常的教学中融入相关的数学竞赛题，这具有非常重要的意义.一方面，可以提高师范生的逻辑思维能力和解题能力，另一方面，促使师范生能够以一种“居高临下”的观点去看待中小学数学中的相关知识点，为今后更好地从事中小学教学和数学竞赛辅导工作打下良好的基础.笔者通过多年的归纳总结，整理一些与数论相关的数学竞赛题，并且在初等数论的日常教学中进行穿插讲述.例如，在整除理论这一章的习题课上，补充“第三届‘希望杯’初一二试题（例1）”、“第四届奥数题（例2）”等，在讲授同余理论时穿插讲述“2012年数学周报杯全国初中数学联赛试题（例3）”、“第六届奥数题（例4）”等，在不定方程这一章介绍诸如“2012年全国初中数学联赛试题（例5）”等相关竞赛题.

例1［8］（第三届“希望杯”初一二试题） 设a,b,c是三个两两互素的自然数，其中任意两个之和都能被第三个整除，求a3+b3+c3的值.

例2［9］（第四届奥数题） 找出具有下列性质的最小自然数n，其十进制表示法中以6结尾，如果把最后的6去掉并放在最前面所得到的数是n的4倍.

之所以需要一个玩偶，不仅因为她是女人，还因为，她也是充气娃娃。她不想让能够制造充气娃娃的真正的男人再一次进入到她的身体，于是她选择了同类。她是前夫从工厂里订制的，她的前夫，曾经是这栋豪宅的主人。前夫有很多性伴侣，可是前夫最喜欢她——因为她对他没有威胁——因为她不像别的女人那样盯着他的财产——因为她极其完美——因为她对他的服侍体贴入微，无可挑剔。

例5［10］（2012年全国初中数学联赛试题） 已知直角三角形的周长为60且各边长均为整数，求其外接圆的面积.

现代市场营销模式把消费者的利益和需求放在首要位置，这是市场营销的一场巨大变革。很多企业在企划市场营销之前，都要对消费者的消费需求和消费欲望与市场行情进行客观、详细的深入了解。其次，企业要针对自身的产品对行业内部的市场饱和程度进行调研，准确针对自身的产品进行市场定位，结合企业自身的情况和未来发展的方向，对潜在的消费者、市场、客户进行精准的定位。在完成这一系列的前期转化工作之后，企业集中所有的人力、物力、财力制定出准确的市场营销计划和方案，很好地落实到实践中去，实现社会、消费者和企业三方共赢的良好发展趋势。

例4［9］（第六届奥数题）1） 求能使2n-1被7整除的所有正整数n；2）证明：对任意正整数n来说，2n+1都不能被7整除.

例3［10］（2012年数学周报杯全国初中数学联赛试题） 假设n是整数且1≤n≤2012，求满足能被5整除的所有n的个数.

(四)王罕岭仍居住着为王氏守山的后裔。外湾村民俞金洋说：“我们祖上到王罕岭守山至今已有十多代，听老一辈讲，最早为观(新金庭观)下王家(华堂村王氏)望山的是小将曹氏人，后来是坑西吕姓人，接着是我们俞家。过去，这里的山、地、田都是观下王家的，土改时政府把土地和山林分给了我们。”

2.2.3 联系交叉学科

将CEUS分为两个过程，即增强期与消退期，以周围肌壁为参照物，若病灶达峰时间早于周围子宫肌壁，为早增强；反之，为晚增强；消退期同理判断。增强强度高于肌壁为高增强；反之为低增强。

初等数论这门课程并不是孤立的，应注意与其他学科的联系，在讲授相关知识点时要联系应用背景，强调交叉学科间的渗透，从而加强应用意识的培养.初等数论与密码学关系密切，在日常的教学中，应以启发学生思维为出发点，涉及到相关密码算法和协议时，应向学生介绍这些算法和协议，并适当举出一些实例，引导学生更好地理解算法的构成，真实体验数论与密码学的关系，从而激发学生学习数论和密码学的兴趣.例如，在讲授模运算时应介绍移位密码算法［11］，在讲授欧拉定理和大整数分解问题时应介绍RSA密码协议［11］，等等.同时还可以鼓励学生撰写一些小论文，为今后毕业论文的设计和进一步深造打下良好的基础.专著［7］是这个方面非常好的一本书籍，可以鼓励学生购买并加以阅读.

初等数论与计算机科学也紧密相连.数论中的一些算法可以解决很多实际问题，但是面对很大或者很多的数字时，通过人工直接计算的效率是很低的甚至是不可行的，而通过编程利用计算机模拟计算却能收到事半功倍的效果.在实际的教学中，可以鼓励学生学习C语言和MATLAB软件，然后设计程序并在计算机上模拟计算.例如，帮助学生编写实现辗转相除法的程序，然后让学生去求一些较大整数的最大公因数，让学生掌握数论知识点的同时能够亲身感受计算机模拟计算的优势.再比如，模乘方运算、求模乘法的逆元等都可以借助计算机模拟实现.

历史上众多数学家对数论课程的发展都做出过重大贡献，因此在实际教学过程中应当融入数学史的相关知识，讲述数论的发展历程和数学家们对数论的贡献，这不仅能够活跃课堂气氛，还可以拓展学生的知识面，进一步提升师范生的数学涵养，为今后更好地从事中小学教学做好铺垫.例如，在学习质数时，介绍哥德巴赫猜想和我国数学家在该猜想上的贡献，特别是著名数学家陈景润对该猜想的证明是当前世界上最好的结果；在学习同余方程时，介绍世界上最早提出同余方程的是我国的《孙子算经》；在学习不定方程时，介绍我国的《周髀算经》是世界上最早研究不定方程问题的著作；在整个教学过程中，还可以穿插介绍我国著名的数学家华罗庚、潘承洞、王元等人的生平事迹以及他们在数论方面所取得的卓越成就，这不仅可以培养学生的爱国情操和民族自豪感，还可以激励学生的学习热情和努力进取的求知精神.

2.3 改革考试模式

考试作为学校教学的一个重要环节，既是对学生学习能力和学习结果的检查，又是对教师教学能力和教学效果的评价.科学、规范、有序的考试，可帮助学生和教师发现课程教学过程中存在的问题，从而改进完善“教”与“学”，提升教学质量和教学效果.传统的考试模式存在着许多弊端，仅以成绩的高低评价学生的学习情况，不注重学生的数学素养和创新能力的培育，不注重引导学生如何学习和教师如何改进教学，这往往导致部分学生平时学习不努力，但考试之前通过突击记忆却可以取得不错的成绩.因此，改革现行的考试模式势在必行.目前的考试形式比较单一，主要是判断、选择、填空、计算等.改革传统的考试模式，应以促进学生综合能力和素质的提高为目标，注重考查创新能力，激励自主研究性学习.具体做法如下：

（1）采取激励措施，让学生尽可能用多种方法解答同一个题目，使学生能够从多角度去思考问题，培养学生思维的灵活性.例如，“证明，n是任何整数”，这一题的满分是10分，如果学生能够给出多种解法，可以另外给出奖励分5分.

知识来源于生活.在实际的教学过程中，提出一些与我们生活息息相关的问题，引导学生进入新的知识环节，巧妙地利用数论的知识解决问题，这可以有效激发学生的好奇心及学习新知的欲望，提升学生的学习兴趣，进一步培养学生解决问题的能力和创新能力.数论是一个特别雅致的学科，它的美妙之处不仅在于可以很好地服务于生活，它自身还蕴含着丰富的美学因素，如公式，以非常简单的形式给出最小公倍数和最大公约数的关系，体现数学的简洁美，又如费马大定理：当n＞2时方程xn+yn=zn无正整数解，体现数学的对称美.在初等数论的教学中，不仅要传授知识，还要引导学生体会和欣赏数论之美，从而陶冶情操，塑造美的灵魂.

（3）考卷中给出开放性试题，条件开放或结论开放，或两者都开放，由学生自己命题并解答，展示学生的研究性学习能力，这类题目往往具有一些挑战性.例如，让学生提出一个实际生活中的问题，然后让学生自己给出解答.老师可以根据问题的难易程度和解答的正确性来评分.

（4）考题应与其他交叉学科联系，考察学生的发散思维和创新性能力，也帮助学生拓展其知识面和兴趣爱好.例如，让学生叙述RSA公钥密码体制并推理其正确性.

（5）在课程即将结束时，可以让学生写一份课程总结或者课程论文，既检查学生对课程知识的掌握，又考察学生复习、归纳、总结的能力，同时培养学生规范的数学语言能力和数学论文的写作技巧，为学生今后的毕业论文设计打下一定的基础.这一项可以作为评价学生平时分的重要依据.

3 结束语

初等数论课程与中小学数学的联系极为紧密，所以在高等师范院校中开设这门课程显得尤为必要.当前初等数论课程的教学中还存在诸多问题，如教材陈旧、教学方法单一、内容枯燥、与实际应用脱节等.针对上述问题，文章着重从教学方法的改进、教学内容的丰富完善、考试模式的改革等方面提出具体的做法，进而提高初等数论课程的教学质量，使师范院校的毕业生能够更好地适应社会发展的需要.

参考文献：

［1］谢东.关于师范生初等数论课程教学改革的思考与实践［J］.六盘水师范学院学报，2016，28（3）：86-88.

2.1.2 创设问题情境，体验数论之美

［3］陈蓓菲.哥德巴赫猜想引思［J］.数学学习与研究，2017（18）：4-5.

［4］闵嗣鹤，严士健.初等数论［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003.

［5］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.3版.北京：北京大学出版社，2013.

［6］巫玲.信息安全数学基础［M］.北京：清华大学出版社，2016.

审计方式应当随着新型的神经网络技术的运用而作出一些调整，可以通过搭建审计数据的综合分析平台，从而建设和完善有关国家与人民的重点领域联网审计系统，对于一些半结构化、非结构化数据，我们可以通过一些专业工具的使用来对其进行处理，从而能够对一些规模较为庞大的数据信息进行高效地汇合和处理。如：在地税审计过程中，可通过地税联网审计系统，对全省得地税数据进行集中地整理分析，走出一条“数据集中采集、集中统一分析、疑点分布落实、资源充分共享”的大数据审计模式，使全省的地税联动审计得以实现。

［7］冯克勤.数论与密码［M］.北京：科学出版社，2007.

竖炉检修完毕，开炉前需预先将炉内铜原料码成圆柱状料柱直至加料口；开炉生产后，烧嘴高温火焰直接喷射至炉内铜原料，将料柱熔化成铜液；铜原料从加料口缓慢下降过程中，高温烟气在烟囱效应的作用下逆铜原料流向上升，与料柱充分换热后由炉顶排出，热量利用充分，节能降耗效果显著；烟气温度由炉底的约1 200 ℃降至加料口的约400 ℃，加料口作为补新风口，最终排烟温度降至约300 ℃[2]；通过持续预热、熔化料柱，在炉底会形成一股连续的铜液流，铜液在重力作用下，汇入炉底斜坡从出铜口流出。铜液在炉内滞留时间短，难以提温，向炉壁热传导也较少，热损失少。

［8］潘春雷.数学竞赛中的数论问题选讲［J］.时代数学学习：七年级，2000（Z1）：32-37.

［9］余红兵，单墫.IMO中的数论问题（上）［J］.中等数学，1988（2）：15-19.

［10］章国水.与数论有关的竞赛题类型探究［J］.中学教研（数学），2013（6）：5-8.

［11］STINSON D R.密码学原理与实践［M］.3版.冯登国译.北京：电子工业出版社，2009.