0 引言

在文献［1］中，Buckley和Harary讨论了图的凸性和测地线等问题.随着国内外学者的研究不断深入，得出许多有意义的结论.在文献［2］中，Harary等提出测地数的概念，还指出确定一般图的测地数是NP-困难问题（解的正确能够被“很容易检查”的问题）.在文献［3］中，Santhakumaran和John给出图的边测地数概念，并且刻画边测地数为2的p阶连通图，给出边测地数为p和p-1的必要条件.同时在文献［4］中，Santhakumaran和John也研究图的边连通测地数，并刻画边连通测地数为特殊值的图类，给出边连通测地数为p和p-1的必要条件.文献［5-6］研究一些特殊图的笛卡尔积的测地数和边测地数并且给出了确切值，给出使等式成立的必要条件.在此基础上，研究圈与路的笛卡尔积的边测地数和边连通测地数.

1 预备知识

定义1 两个图G与H的笛卡尔积图，记为G×H，它的顶点集为

 

而且满足两个顶点相邻当且仅当u1=v1且或者u2=v2且

定义2［3］ 对于集合，若图G的每一条边都位于连接集合S中的某对顶点的一个测地线上，则称集合S是图G的一个边测地集.图G的边测地数是它的边测地集的最小值.

定义3［4］ 集合S是图G的一个边测地集，使得诱导子图是连通图，则称S是图G的一个边连通测地集.图G的一个边连通测地集的最小基数是图G的边连通测地数并且记为

引理1［3］ 连通图G的任意边测地集也是图G的测地集.

当n=2k+1时，集合是图C2k+1×Pm的一个边测地集，但是诱导子图是不连通的.令集合

 

引理3［6］ 对于连通图G和H，使得 p≥q≥2，则有

 

2 主要结论

并且是唯一的，所以我们仅考察这一情况.然而存在边，不在连接集合T′中任意一对顶点的测地线上，这与集合T′是边测地集矛盾，所以

 

证明 显然，路Pm的边测地数当n=2k时，圈C2k的边测地数由引理2和引理3可得

 

则诱导子图是连通图，并且 S⊂S1，所以 S1是图C2k+1×Pm的一个边连通测地集.因此.如果S′是任一顶点连通集且，则S′至多包含个顶点.S′包含中至多两个互为对径点的顶点u,v.令w≠v是u的另一个对径，则边vw不再连接S′中任意一对顶点的测地线上.所以S′不是图的一个边测地集.因此综上所述，结论得证.

2015年以来，公司在安徽省滁州市投资建设和运营了“中垦流通·滁州国际农产品物流园”项目，并在全国多地储备了一批农产品物流园项目。滁州项目规划总面积800亩，已拥有园区土地377亩，建成农产品交易服务、配套商业等物业10万平方米，年交易各类农产品约15万吨，是当地唯一的大型果蔬、粮油、副食品综合交易中心。此外，公司正在华南地区开拓运营智慧农贸市场、经销全国部分垦区特色农产品等业务。

 

令集合是图C2k+1×Pm的一个边测地集.假设存在集合T′并且也是一个边测地集.由引理1，T′亦是一个测地集.而图C2k+1×Pm的测地集是

据了解，这十条行为规范主要包括关注生态环境、节约能源资源、践行绿色消费、选择低碳出行、分类投放垃圾、减少污染产生、呵护自然生态、参加环保实践、参与监督举报、共建美丽中国等内容。《规范》的编制和发布旨在牢固树立社会主义生态文明观，推动形成人与自然和谐发展现代化建设新格局，强化公民生态环境意识，引导公民成为生态文明的践行者和美丽中国的建设者。

 

引理4 对于n阶非平凡圈Cn，m阶路Pm，有

定理1 对于n阶非平凡圈Cn，m阶路Pm，则有

 

则诱导子图是连通图，并且S⊂S1，所以集合S1是图C2k×Pm的一个边连通测地集.因此图Cn×Pm的结构可以看成圈Cn的拷贝按Pm连接成的.如果S′是任一顶点连通集且是圈Cn的拷贝，，则S′至多包含中k个顶点.因此S′不包含中成对的对径点u,v，所以集合S′不是图的一个边测地集.故

 

证明 当n=2k时，集合是图的一个边测地集，但是诱导子图是不连通的.令集合

 

引理2［6］ 对于连通图G和H，则有

参考文献：

 

当n=2k+1时，圈C2k+1的边测地数根据引理2和引理3，可以得到

教师从“社会责任”的角度告知学生，较多的生物学家认为，人类正处于生命史上速度最快、影响范围最广的一次灭绝中。在未来50年，如果人类不断地砍伐森林，栖息繁衍于其中、占地球半数的物种都可能会灭绝，呼吁学生要树立起保护地球环境的意识。

设计导入期的目的，一是稳定基线，二是洗脱药物。14项研究中有6项（42.86%）设计了导入期，时长1～4周。其中1周1项，2周2项，4周3项。随访目的为观察腹痛的复发率。14项研究中10项设计了4周～6个月随访。其中，4周5项（35.71%），8周3项（21.43%），12周及6月各1项（各占7.14%）。

3.异议审查的回应机制。如果说赋予公民异议审查申请的权利，但没有规定审查机关的回应义务，那么异议审查机制就只能停留在纸上，成为有异议不回答的虚置性制度。为此，要建立异议审查回应机制。明确审查机关对地方规范性文件异议的具体回应，包括合法性和合目的性的答复。对于减少政府自身职责、剥夺公民平等权和发展权内容的地方规范性文件，审查机构经同级人民政府批准可以撤销或者纠正、废止。

反应所生成的HCl气体被弹热筒内的吸收液全部吸收，通过测定吸收液中的Cl- 浓度来量化PVC中Cl的含量。由图1可知，与理论值相比，氧弹燃烧法测定PVC中的Cl含量偏低，出现该结果可能由两个原因造成：其一，PVC样品在燃烧时可能燃烧不完全，部分不溶性 Cl在高温下未全部转化成HCl气体[18]，CORTES-PENA等[19]也曾对此类问题进行过论述；其二，PVC样品燃烧所生成的HCl气体没有被弹热筒内的吸收液完全吸收，部分未被吸收的HCl气体在弹热筒放气时释放。

［1］BUCKLEY F，HARARY F.Distance in graphs［M］.Redwood：Addison-Wesley，1990.

［2］HARARY F，LOUKAKIS E，TSOUROS C.The geodetic numbers of graphs［J］.Math Comput Modeling，2002，17（1）：89-95.

［3］SANTHAKUMARAN A P，JOHN J.Edge geodetic number of a graph［J］.Journal of Discrete Mathematical Sciences and Cryptography，2007，10（3）：415-432.

通常情况下，混凝土搅拌的地方与大坝施工区域会有一定的距离，因此必须要采取科学的办法将搅拌好的混凝土运输到施工现场。在运输过程中，一方面要控制好混凝土运输的平稳性，另一方面要考虑到运输距离对混凝土的影响。目前主要是采用连续式的搅拌器进行混凝土的运输，并且要控制好运输车辆的行驶速度、减少路途中的停顿时间。

［4］SANTHAKUMARAN A P，JOHN J.The connected edge geodetic number of a graph［J］.Mathematical Sciences，2007，13（1）：107-119.

［5］ YE Y S，LYU C H，LIU Q M.The geodetic numbers of Cartesian products of graphs［J］.Mathematica Applicata，2007，20（1）：158-163.

［6］SANTHAKUMARAN A P，CHANDRAN S U V.The edge geodetic number and Cartesian product of graphs［J］.Discuss Math Graph Theory，2010，30（1）：55-73.