0 引言

流密码（即序列密码）和分组密码是密码体制实现的两种最基本的方式，布尔函数是实现密码体制的一个重要工具，且在密码学系统的设计中也有着重要的应用［1-2］.由于布尔函数的密码学性质（如相关免疫性、代数次数、代数免疫度等）在一定程度上决定了一些密码系统的安全性.因此，研究布尔函数的某些密码学性质以及构造密码学性质较好的布尔函数，长期以来一直是密码学中的重要研究方向，国内外有众多的爱好者在这些方面做了很多研究工作［3-6］，其中，相关免疫函数的提出是为了防止密码攻击者对流密码系统进行相关攻击而由Siegenthaler最先提出的.代数免疫度的提出与代数攻击相关［7-8］，代数免疫度的概念是Meier等［9］提出的，并且在文中证明了对于n元布尔函数，它的代数免疫度的值能达到的上界值，并且把达到此上界的布尔函数称为代数免疫度最优的布尔函数，而将其代数免疫度的值达到的布尔函数称为代数免疫度次优的布尔函数.自从代数免疫度的定义被提出，关于具有最优代数免疫度的布尔函数的构造问题便引起了广泛关注［10-12］.代数免疫度可以在一定程度上衡量所使用布尔函数抵抗代数攻击的能力.

Dalai等人曾采用递归构造的方法，给出了代数免疫最优布尔函数的一种构造，该构造方法利用一个n元布尔函数得到一个n+2元布尔函数［10］.但是，在已经知道的构造布尔函数的方法中，级联构造属于一种常用的、重要的构造方法.如h(x,xn+1)=f‖ g=xn+1f(x)⊕(1+xn+1)g(x)的布尔函数就是其中最常见的一种级联布尔函数的构造，通过分析 f(x)与g(x)的性质，可以得到h(x,xn+1)的密码学性质.除此之外，还有其他一些研究者通过级联方法，利用已有的布尔函数构造新的布尔函数，例如文献［13-14］等都是用级联方法构造布尔函数，并从不同方面讨论所构造级联布尔函数的性质.本文也利用级联方法构造一类特殊的级联布尔函数，给出它的Walsh谱与其基函数关系的表达式.并借助这种关系，进而探讨该类级联布尔函数的相关免疫性，代数免疫度.

如果函数在［a，b］上连续，它的最大值和最小值分别是M和m，那么函数的值域是〔m，M〕〔4〕142。若函数y=f（x）在闭区间［a，b］上可导，最大值和最小值可从驻点的函数值及f（a）、f（b）中寻求。

1 预备知识

以下是本文写作过程中所用要到的一些重要定义，记作符号说明及定理.

（1）研究布尔函数密码学性质的重要数学工具之一布尔函数的Walsh变换，也称Walsh谱.布尔函数f的Walsh谱是定义在上GFn(2)的一个实值函数，即：

 

注1 这里的“⋅”表示两个n维向量的点积，即

 

其中，x=(x1,x2,…,xn)，ω=(ω1,ω2,…,ωn).

（2）布尔函数的表示方法有多种，如：真值表表示，小项表示，多项式表示等.这里我们仅仅介绍布尔函数的多项式表示——函数的代数正规型(ANF)表示：

 

注2 这里 a0,a1,aij,…,a1…n∈GF(2).布尔函数 f的代数正规型中系数非零项所含有最多变元的个数称为它的代数次数，记为：deg f.

（3）相关免疫函数的提出是为了防止密码攻击者对流密码系统进行相关攻击而提出的.这个概念首先由Siegenthaler提出.相关免疫函数的定义有多种等价形式，本文参考的定义如下：

推荐理由:古希腊人的历史是世界史中最不可能成功的成功史，希腊文明是一个奇迹。希腊奇迹的产生有着厚实的观念基础，希腊人先于其他古老民族抢占第一个科学制高点，是在认识论领域，而不是像许多学者认定的那样在自然哲学领域。浸淫希腊古典学问三十年、两度翻译荷马史诗的陈中梅先生，深入现代文明的西方源头，探索希腊奇迹成因。

同样地，如果 (1+f)⋅f′=0,即：

注3 相关免疫函数有许多等价描述，其中Xiao-Massey定理是最简单的、最常用的方法.

由此得W(f1)(0)=W(f2)(0)=0.反之，显然也成立.证毕 .

国内市场：近期国内氯化钾市场价格小幅上涨。协会监测数据显示，国产氯化钾各地批发价格方面，福建、山东、陕西、广东价格相比前周分别上涨200元/吨、50元/吨、50元/吨、20元/吨，其他地区价格保持稳定；进口氯化钾各地批发价格方面，福建、湖北、山东、广东价格相比前周分别上涨83.4元/吨、32.7元/吨、30元/吨、20元/吨，江西价格相比前周下跌50元/吨，其他地区价格保持稳定。

（4）代数免疫度的提出与代数攻击相关，它是2004年Meier等提出的，它可以在一定程度上衡量使用的布尔函数作为组件的流密码抵抗代数攻击的能力.它的提出也为布尔函数提供了一个新的密码学指标.为此，先引入布尔函数的零化子定义：

设 f∈Bn，f的零化子是指满足 f⋅g=0的布尔函数g∈Bn，将布尔函数 f的全体零化子的集合记为：ANn(f).

布尔函数的代数免疫度ANn(f)定义为使 f⋅g=0或者(1+f)⋅g=0成立的非零布尔函数g的最小代数次数，即：

 

注4 因为 f(1+f)=f+f2=0，所以对每一个非零函数 f(x)∈Bn，AIn(f)≤deg(f).

2 主要结果

首先，本文讨论了级联布尔函数与基函数 f1，f2的Walsh谱之间的关系，给出下面的命题.

②如果 f2⋅f′2=0 ，那么 f′=xn+1xn+2f′2∈AN(f)；

 

 

证明 （1）由Walsh循环谱公式：，所以

 

用类似于第一个等式的证明过程，可以证明（2）（3）（4）也成立.证毕.

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命题2 设 f1，f2都是GFn(2)上的m阶相关免疫函数，则n+2元布尔函数是m阶相关免疫函数的充要条件是

1）因大数据时代城乡规划学走向计量化中涉及的数据是开放的，可能会使政府在城乡规划决策制定及实施方面受到一定的影响，从而影响城乡规划学走向计量化工作的落实效果；

一般而言，学习动力决定了一个学生能走多远，学习意愿强的中职生无疑是会在专业课上下功夫，然而对于包括语文在内的公共基础课大部分学生都缺乏学习动力，毕竟职业教育是面向市场需求的，这类人文素养教育在他们心中无法和处于核心主线地位的职业教育相比。

证明 假设是m阶相关免疫函数，则由其定义可知，对于1≤wt(ω)≤m的ω都有W(f1)(ω)=W(f2)(ω)=0 成立，因此1≤wt(ω,ω1,ω2)≤m ，其中 ω∈GFn(2)，ω1,ω2∈GF(2)，有 0≤wt(ω)≤m ，因此当wt(ω)=0时，结合命题1得：

 

引理［1］（Xiao-Massey定理） 设任意n元布尔函数 f(x)，α∈GFn(2)，1≤t≤n，f(x)是t阶相关免疫函数，当且仅当对任意满足1≤wt(α)≤t的 α,W(f)(α)=0都成立.

注5 由m阶弹性函数的定义即设 f(x)是一个n元布尔函数，若 f(x)既是m阶相关免疫函数，又是平衡函数，则称 f(x)是m阶弹性函数，（布尔函数是平衡函数当且仅当W(f)(0)=0），很容易证明级联函数是平衡函数，可参见文献［13］的证明，而且由此可以得出以下推论：

推论1 设 f1，f2是GFn(2)上的m阶弹性函数，则n+2元布尔函数也是m阶弹性函数.

最后，探讨所构造级联函数的代数免疫性.为此，首先给出一个符号说明：设 f为任意n元布尔函数，而LDAn(f)表示所有函数 f′∈Bn（Bn表示所有n元布尔函数）的集合.其中 f′是满足等式 f⋅f′=0 或者 (1+f)⋅f′=0 的最低可能次数的函数.

命题3 设函数，且，则有下面结论成立：

（1）如果d1≠d2，那么 AIn+2(f)=min{d1,d2}+2；

（2）如果d1=d2=d，那么d≤AIn+2(f)≤d+2.

证明 （1）首先，我们设 f′i∈LDAn(fi)，i=1,2，则有

①如果 f1⋅f′1=0 ，那么 f′=(1+xn+1+xn+2+xn+1xn+2)f′1∈AN(f)；

如果 (1+f)1⋅f′1=0 ，那么 f′=(1+xn+1+xn+2+xn+1xn+2)f′1∈AN(1+f).

命题1 设 f1，f2是GFn(2)上的布尔函数，ω∈GFn(2)，记，则有以下等式成立：

如果 (1+f2)⋅f′2=0 ，那么 f′=xn+1xn+2f′2∈AN(1+f).

因此，AIn+2(f)≤min{AIn(f1),AIn(f2)}+2.

一是“好教育进行时”促进了各区、各校对好教育的思考，各区、各校、个人都对好教育有自己的理解和追求，对好学校、好校长、好教师、好学生也有了更新、更深的思考，这种教育观、学校观、教师观、学生观、质量观的更新，对教育的改革创新意义重大。

其次，设函数 f′=(x,xn+1,xn+2)是达到 f(x,xn+1,xn+2)的代数免疫阶的布尔函数，则 f′(x,xn+1,xn+2)可以表示为4个布尔函数的级联即：

 

如果 f⋅f′=0 ，即：

 

因此，有

 

设对任意n元布尔函数 f(x)，x1,x2,…,xn是GF(2)上独立的，均匀分布的随机变量，如果对于任意的 (a1,a2,…,am)∈GFm(2)，(m≤n)和 b∈GF(2)，都有成立，那么就称 f(x)与变元xi1,xi2,…,xim统计无关，如果 f(x)与x1,x2,…,xn中任意m个变元都统计无关，那么就称f(x)是m阶相关免疫的.

 

因此

 

故当 f1，f2的代数免疫度不相同时,有

 

而

(3)温度指示剂：温度指示剂采用一个最大量程为1MA的直流电流表，且满刻度表示 50℃的最大体温。温度传感器与电子温度传感装置紧密相连，可实现温度与数据的实时快速转化。

 

因此当 f1，f2的代数免疫度不相等时，有

 

而

依据《江苏省耕地质量监测管理办法》，按照“统一性、均匀性、连续性”的原则，根据不同生态环境、作物布局、耕作制度、土壤类型，组织专家反复论证，最终确定24个耕地质量监测点具体位置，并由区耕地质量保护站落实到具体田块，进行GPS定位。

 

且 f1的任意两个不同的零化子和1+f1的任意两个不同的零化子都无相同的最高单项式，故

 

（c）同样的方法，可以证明当 f′1，f′2，f′3，f′4中有2个为0、3个为0时的情形也有下式成立

 

故结论（1）成立.

上述各层需要两个领域将其垂直打通，在打通以后，可以进行从整体上来把握。一方面是编程以及管理工具，其方向体现在通过学习的方式，机器实现自动最优化、尽可能地不需要编程、不需要相对复杂的配置。另一方面则是确保数据安全，该领域贯穿于整体的技术体系之中。

 

显然，deg(f′)≥d，又因为deg(f′1)≥d，所以，d≤AIn+2(f)≤d+2，故命题3的结论成立.证毕

3 总结

本文通过级联方法构造了一类特殊的布尔函数，然后分析了它的Walsh谱与其基函数关系的表达式.并借助这种关系，进一步分析本文所构造的这种类型布尔函数的相关免疫性，代数免疫性.通过证明得出文中命题的合理性，而且还能得出，如果构造中所使用的布尔函数的密码学性质较好，那么所构造级联函数的密码学性质也就越好.只是使用级联方法构造布尔函数也有一个弱点：那就是这种方法构造出的新函数中的变元个数大于基础函数中的变元个数.因此，如何构造变元个数不变的布尔函数是今后布尔函数研究者们值得研究的问题.另外，本文所构造的布尔函数的其他性质如：扩散性、平衡性等也可以继续探讨.

下面证明（2）也成立.令

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20世纪70年代和80年代，翻译学界转向从功能和交际的角度对翻译进行研究。凯瑟琳娜·赖斯（Katharina Reiss）以对等理念为基础提出了她的理论。赖斯的文本类型理论关注的不是单词或句子层面，而是文本层面，讨论在这一层面如何达成交际，事先对等（Reiss 1977/1989:113-114）。

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