0 预备知识

本文中，所提到的空间均为T1空间，用N表示正整数集.

设f为空间X上的实值函数，若对任意实数r，集合{x∈X:f(x)＞r}（{x∈X:f(x)＜r}）为X的开集，则称 f为空间X上的下半连续（上半连续）函数.

用L(X)(U(X))表示所有从空间X到单位闭区间I=[0,1]的下半（上半）连续函数的集合.C(X)为从X到I的所有连续函数的集合.

对空间X，用τ表示X上的拓扑.对X的子集A，用Aˉ表示A在X中的闭包.同时，用χA表示A的特征函数.显然，若 A是X的闭子集(A∈τ)，则 χA∈U(X)(χA∈L(X)).

表2的数据说明38%的英语四级分数大于等于500分的学生会在阅读附录后再查词，而英语四级分数小于500分的学生只有14%会去阅读词典附录。但在是否阅读词典使用说明这方面两组学生就不存在很大差别，只是英语四级分数大于等于500分的学生稍微多2个百分点。总之，绝大部分学生在查词之前并不阅读词典附录和词典使用说明，这一点说明学生在词典使用技巧方面仍存在着一定的欠缺。

(五)坚持“管长远、管根本”，进一步健全长效机制。制度建设更具有根本性和长远性[4]31。坚持发展“枫桥经验”，必须从建立健全长效机制着手，使预防和化解矛盾、平安建设、维护稳定等工作走上规范化、制度化、法制化轨道。要建立健全源头预防矛盾机制，推广“村级民主程序”，推进重大决策社会稳定风险评估机制，坚持和完善社会稳定“三色”预警机制，从源头遏制矛盾的发生。要建立健全矛盾摸排机制，定期分析社会稳定形势，定期排查矛盾隐患；深化“大调解”体系，健全完善专业调解、行业调解，实现矛盾化解全覆盖。要建立健全应急处置机制，完善预案，加强演练，有效预防处置群体性突发事件。

很多空间类，如正规空间，单调可数仿紧空间，完备正规空间，层空间，k-半层空间都可以用满足一定条件的实值函数刻画［1-4］.考虑下述完备正规空间的实值函数刻画.

②局部性病变。主要包括：复杂的尿道和阴茎病变导致无法置入电切镜的患者；无法采用截石位的患者；合并巨大膀胱憩室，需开放手术一并处理者。合并体积较大的膀胱肿瘤,不宜与前列腺同时处理，应先切除肿瘤后再考虑TUPKP手术。PSA异常、MRI或肛门指检异常，怀疑前列腺癌的患者，应首先通过前列腺穿刺活检排除肿瘤；对于有神经系统疾病、脊髓外伤等相关病史的患者应进行尿动力学检查以排除神经源性膀胱。

定理A［5］X为完备正规空间当且仅当存在映射φ:L(X)→C(X)使得对每一h∈L(X)，φ(h)≤h且当h(x)＞0时，0＜φ(h)(x)＜h(x).

定理B［6］X为完备正规空间当且仅当存在映射φ1:L(X)→L(X)，φ2:L(X)→U(X)使得对每一h∈L(X)，φ1(h)≤φ2(h)≤h且若 h(x)＞0，则0＜φ1(h)(x)≤φ2(h)(x)＜h(x).

本文中将利用实值函数给出完备正规空间的其他一些等价刻画.这些结果改善上述结论及文献中的某些已知结果.

1 主要结论

由完备空间的定义及正规空间的一个等价刻画［7］，引理1.5［3］易得下述对完备空间的等价刻画.

引理1 X为完备正规空间当且仅当存在映射 ρ:N×τ→τ,使得对每

不失一般性，可设引理1中的映射 ρ关于n单调递增，即对每一n∈N，ρ(n,U)⊂ρ(n+1,U).

引理2［2］X为正规空间当且仅当存在算子Λ，使得对每一对函数(f,g)，其中f上半连续，g下半连续且 f≤g，存在连续函数 Λ(f,g)，使得 f≤Λ(f,g)≤g.

首先，证明定理A中的连续函数φ(h)具有某些较强的性质，同时定理3中条件（C）是定理A中条件的变形形式.在证明(c)⇒(a)时，不需要定理A中条件：当h(x)＞0，φ(h)(x)＜h(x).

定理3 对空间X，下列等价

（a）X为完备正规空间.

（b）存在映射Φ:L(X)→C(X)，使得对每一h∈L(X)，Φ(h)≤h，且若h(x)＞0，则存在点x的开邻域Ox及r＞0使得对任意 x′∈Ox，有Φ(h)(x′)≥r.

（c）存在映射Φ:L(X)→C(X)，使得对每一 h∈L(X)，有Φ(h)≤h，且若h(x)＞0，则Φ(h)(x)＞0.

临床上，鱼腥草常被用于治疗猪、马、牛等动物的急性胃肠炎、阑尾炎、胃炎等消化系统类的疾病。当天气变化多端、气候环境比较恶劣的情况下，动物患大肠杆菌引起的痢疾病较为常见，虽然该病造成动物死亡的几率不高，但是会对动物的生长起到抑制的作用，同时长期不治愈还会诱发动物患有其他的疾病，而在临床上使用鱼腥草喂食动物当天会看到显著的效果，通常3 d能治愈[4]。

2.2.1 文献资料法 通过中国知网、Proquest教育数据库查阅与大中小（幼）一体化体育课程体系建设相关的研究文献60余篇，把握研究进展和特点，为本研究提供了重要的理论参考。

 

则对每一n∈N，α(n,h)∈U(X)，β(n,h)∈L(X)且 α(n,h)≤β(n,h).设 Λ为引理2中的算子，对每一n∈N，令φn(h)=Λ(α(n,h),β(n,h))，再令，则Φ(h)∈C(X).

设 x∈X.若 h(x)=0，则对每一 n∈N,x∉U(n,h)，若 β(n,h)(x)=0，从而 φn(h)(x)=0,于是得Φ(h)(x)=0.若 h(x)＞0 ，则存在 n∈N,使得 x∈U(n,h). 令 k=min{ }n∈N:x∈U(n,h) ，则 x∈U(k,h)且对每一 n＜k，x∉U(n,h).则对每一n＜k，φn(h)(x)=0，从而

 

若 h(x)＞0，则存在m∈N，使得 x∈U(m,h).故存在i∈N，使得 x∈ρ(i,U(m,h)).令Ox=ρ(i,U(m,h))，则为点x的开邻域. 对每一，由此可得

下述结果表明命题5（c）中的连续函数列可以替换为两个半连续函数列.

(c)⇒(a)对每一U∈τ及 n∈N ，令，则 ρ(n,U)为X的开集.对每一n∈N，若，则，故 x∈U ，因此.若 x∈U ，则 χu(x)=1＞0，故存在n∈N，使得，从而x∈ρ(n,U)，这表明由引理1，X为完备正规空间.

证明 (a)⇒(b) 设 ρ为引理1中的映射，对每一h∈L(X)及n∈N，令，则U(n,h)为X的开集.令

下述定理改进定理B，它可以看作定理3的推论，在不利用引理2的情况下，给出它的如下直接证明.

定理4 对空间X，下列等价

(a)X为完备正规空间.

(b)存在映射：Ψ:L(X)→L(X);Φ:L(X)→U(X)使得对每一 h∈L(X)，有Ψ(h)≤Φ(h)≤h，且若 h(x)＞0，则存在点 x的开邻域Ox及 r＞0，使得对任意 x′∈Ox，有Ψ(h)(x′)≥r.

(c)存在映射：Ψ:L(X)→L(X)，Φ:L(X)→U(X)，使得对任意 h∈L(X)，有Ψ(h)≤Φ(h)≤h且若 h(x)＞0，则Ψ(h)(x)＞0.

证明 (a)⇒(b) 设 ρ为引理1中映射.对每一h∈L(X)及n∈N，令，则U(n,h)是X的开集.

对每一 n∈N，令 . 再令则Ψ(h)∈L(X)，Φ(h)∈U(X)且Ψ(h)≤Φ(h).

阿司匹林具有不可逆作用，其可以抑制血栓素，并且可以将抗血栓功效充分发挥出来，实现血小板聚焦的抑制，单一采用阿司匹林无法避免心血管事件的发生，同时也会产生血小板聚集。

(c)⇒(a)对每一 n∈N 及 U∈τ，令由于，故 ρ(n,U)为开集，F(n,U)为闭集. 由 Ψ(χU)≤Φ(χU)可得 ρ(n,U)⊂F(n,U)，故

青岛世界园艺博览会房地产效益评价 ……………………… 晁艺璇，王崇锋，巩 杰，郭文婷，颜潇雨（4．32）

令，则 x∈U(k,h)且对每一n＜k，x∉U(k,h)，则对每一n＜k，φn(h)(x)=0，于是

 

若h(x)＞0，则存在m∈N，使得 x∈U(m,h).故存在i∈N，使得 x∈ρ(i,U(m,h)).令Ox=ρ(i,U(m,h))，则Ox是点 x的开邻域. 对每一

(b)⇒(c)显然.

敦礼一向是喝蓝山的，牙买加风味的蓝山。至于摩卡，他总觉得那浓郁的果香有些腻腻的，不怎么清爽。不过，如果是那种极品水洗豆呢，据说是有着微微的酒香的。

如：浙教版八上《2.7探索勾股定理》。在学习单的最后，可以向 A班学生介绍历史上不同的勾股定理证明方法：达芬奇证明法、赵爽证明法、美国总统证明法、欧几里得证明法、反证法证明法等等。并且以几何原本中欧几里得的证明方法为例，要求学生去课后探索如何求证，不仅增加了学生对数学的兴趣，也开拓了他们的数学视野。

类黑精是一类结构复杂、聚合度不等的混合大分子物质,亲水性极强,有易溶于水不溶于有机溶剂的特性。基于此,目前主要的提取方法包括水浸提法、沉淀法、大孔树脂吸附法、乙醇水溶液浸提法、酶解法等。由于类黑精是一种大分子物质,因此在提取食品中的类黑精之后,一般先用2 mol/L NaCl对其进行解离去除绿原酸等物质,再结合超滤技术、分子排阻色谱法等方法分离纯化,以水提法为例,如图2所示。

设 x∈X.若 h(x)=0，则对每一n∈N，x∉U(n,h)，故对每一，从而对每一n∈N ，φn(h)(x)=0，此时 Φ(h)(x)=0=h(x).若 h(x)＞0，则存在 n∈N ，使得 x∈U(n,h)，故存在 i∈N 使得x∈ρ(i,U(n,h))，由此可得 ψn(h)(x)＞0，故Ψ(h)(x)＞0.

对每一n∈N，若，则，由此知 x∈U ，所以.同理可得，所以X是完备正规空间.

设{fn:n∈N}为空间X上的实值函数列，若对每一x∈X及ε＞0，存在点x的开邻域U及m∈N，使得对每一n≥m及y∈U均有，则称函数列在空间X上弱局部一致收敛于 f［8］.

命题5 对空间X，下列等价，

(a)X为完备正规空间.

(c)对每一U∈τ，存在递增函数列，使得在X上，

(b)对每一U∈τ，存在递增函数列{φ(n,U)∈C(X):n∈N}，使得在U上弱局部一致收敛于χU且在

证明(a)⇒(b)设 Φ 为定理3中的映射.对每一 n∈N及U∈τ，令 φ(n,U)=min{ }1,nΦ(χU) ，则φ(n,U)∈C(X)且对每一n∈N，φ(n,U)≤φ(n+1,U).

设U∈τ且ε＞0，对每一x∈U,χU(x)=1.由定理3知，存在点 x的开邻域Ox及m∈N，使得对每一y∈Ox有 mΦ(χU)(y)＞1.令Ux=Ox⋂U ，则Ux为 x在U 中的开邻域，对每一n≥m及 y∈Ux，nφ(χU)(y)＞1，由此可得φ(n,U)(y)=1，故这表明在U上弱局部一致收敛于χU.若x∈XU ，则Φ(χU)(x)≤χU(x)=0，故对每一n∈N，φ(n,U)(x)=0从而得

(b)⇒(c) 显然.

“近年来，在中央及地方的大力推动下，各地乡村旅游获得了长足发展。”周玲强说，一些先进地区涌现了度假、休闲、康养等业态，乡村旅游进入新的发展阶段；一些后发地区，通过发展乡村旅游实现了人居环境改善、生活品质提升，并逐步推动乡村旅游提质升级。

(c)⇒(a) 对每一 n∈N 及 U∈τ ，令 由可得 ρ(n,U)∈τ，且对每一

设U∈τ，x∈X.若，则对每一 n∈N，从而，这表明若，则存在m∈N使得对每一

故，从而x∈U.这说明故X为完备正规空间.

(b)⇒(c)显然.

命题6 X为完备正规空间当且仅当存在映射：φ:N×τ→L(X)及φ:N×τ→U(X)，使得

(1)对每一U∈τ及n∈N，φ(n,U)≤φ(n+1,U)且φ(n,U)≤φ(n,U)，

(2)对每一U∈τ，

证明 设ρ为引理1中映射且ρ关于n递增.

从驱动电机输出的旋转动力，经花键套直接输出到减速器的中间轴，经这个轴承输出机械动力。驱动电机最大输出动力为160kW，最高转速可达12 000r/min，由此看出，这个轴承需要承受很大的转矩和功率。但可惜的是比亚迪公司的配套供应商，没有采用质量上乘的重型轴承，而用了承载能力较低的普通“6208”滚珠轴承，经不起重负荷的承载，十分不耐用。由于“6208”滚珠轴承的提前损坏，维修中加重了车主的负担，即使损坏的轴承只有20元人民币的价值，但却可能造成数万元驱动系的整体更换。

对 每 一 U∈τ及 n∈N ，令，则 φ(n,U)∈L(X) ，φ(n,U)∈U(X) 且φ(n,U)≤φ(n,U)，故（1）成立.令U∈τ，x∈X.若 χU(x)=1，则 x∈U ，故存在m∈N使得对每一n≥m，有x∈ρ(n,U)，由此可得. 若 χU(x)=0，则 x∉U ，故对每一 n∈N ，，由此可得

反之，对每一 n∈N 及U∈τ，令.由（1）知，由命题5的证明知X为完备正规空间.

同命题5类似地可以证明，在命题6中，对每一U∈τ，函数列在U上弱局部一致收敛于χU.事实上，对每一 ε＞0，x∈U ，存在m∈N，使得对任一n≥m，x∈ρ(n,U).记Ux=ρ(m,U)，则Ux位 x在U中的开邻域.对每一n≥m及. 这表明在U上弱局部一致收敛于χU.

参考文献：

［1］GOOD C，KNIGHT R W，STARES I S.Monotone countable paracompactness［J］.Top Appl，2000,101：281-298.

［2］TONG H.Some characterizations of normal and perfectly normal spaces［J］.Duke math J，1952,19：289-292.

［3］LANE E，NYIKOS P，PAN C.Continuous function characterizations of stratifiable spaces［J］.Acta Math Hungar，2001,92：219-231.

［4］YAN P，YANG E.Semi-stratifiablespaces and the insertion of semi-continuous functions［J］.J Math Anal Appl，2007,38：429-437.

坡度空间数据由DEM数据在ArcGIS 9.3中，通过Slope功能生成。曼宁系数空间数据利用ArcGIS 9.3将查阅文献获得的曼宁系数属性数据（表1）与土地覆盖类型空间数据相关联生成。土壤饱和导水率与土壤储水能力，通过结合土壤类型组成及其土壤剖面等属性数据，借助于土壤水分运动参数模型RETC推导获得，空间数据在ArcGIS 9.3下通过建立土壤水分运动参数与土壤类型空间数据之间的关联生成。

［5］MICHAEL E.Continuous selections I［J］.Ann of Math，1956，63：361-382.

［6］XIE L.Semi-continuous function versions of Urysohn Lemma［J］.Filomat，2012，26（6）：1115-1121.

［7］ENGELKIN R.General topology［M］.Warszawa:Polish Scientific Publishers，1997.

［8］YANG Erguang.Properties defined with semi-continuous functions and some related spaces［J］.Houston J Math，2015,41：1097-1106..