0 引言

设(S,+,·)是(2，2)-型代数,其中“+”和“·”是二元运算.称(S,+,·)是半环,若S满足：(1) (S,+)和(S,·)是半群；(2) (S,+,·)满足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z=xz+yz.从代数角度来说，半环可以看作是由分配律联系着的同一非空集合上的两个半群，这两个半群之间相互联系，相互制约.因此，从半环的加法半群或乘法半群出发是研究半环的一种思路.格林关系在半群理论发展过程中扮演着非常重要的角色，而半环的乘法半群和加法半群都有各自的格林关系，因此对半环的乘法半群和加法半群的格林关系的研究是有意义的.许多代数研究者对半群(半环)上的格林关系进行了研究.例如,文献[1]对半群上的格林关系进行了深入细致的研究，给出了一些半群上的格林关系的刻画.文献[2]对完全正则半群上的格林关系进行了研究,并从幂等元的角度对完全正则半群进行了分类.文献[3]研究了幂等元半环的乘半群上的格林D-关系，给出了格林D-关系是半环同余的充分必要条件.文献[4]主要研究了幂等元半环上的格林L关系，给出了相关关系的系列刻画.文献[5]主要对幂等元半环上的进行了刻画，给出了是同余关系的充分必要条件.文献[6-7]对加法导出是带的幂等元半环进行了深入细致的研究，文献[8-9]对一些特殊半环上由格林关系得到的同余关系进行研究，得到了一些有意义的结果.本文主要研究了加法半群是带、乘法半群是完全正则半群的半环上的格林关系，对进行了刻画，最后给出了形成的子簇所满足的等式类,并将文献[5]中的相关结论进行了推广.

1 预备知识

设S是半环,若S满足恒等式：

所谓的合作，即要求每一个参与者不能置身事外，而是要全身心地参与其中，在合作过程之中发挥自己的力量，贡献自己的智慧，以便达到小组全部成员均能够有所收益的目的。因此，初中数学教师要有意识地帮助学生养成互动学习的良好习惯.这便要求教师应当秉承科学分组的原则，确保每一个小组的成员结构合理，涵盖了不同层级的学生。同时，初中数学教师亦要教授给学生正确的意见表达方式，以便使学生能够有效地进行分析和讨论。

(1)x3≈x; (2)x+x≈x; (3)(x+y)2=x2+y2; (4)(xy)2=x2y2，

则很容易证明(S,·)是完全正则半群.将满足以上四个附加恒等式的所有半环做成的簇记为CR(3,1).下面假设S∈CR(3,1)，则由文献[1]易得(S,+)和(S,·)上的和可分别表示为：

(∀a,b∈S)⟺a+b=a,b+a=a； (∀a,b∈S)⟺ab2=a,ba2=b.

目前，国内外分析PE树脂中添加剂质量分数的方法有很多种[6-7]，其中卞丽琴等[8]通过红外光谱法快速地测定了聚乙烯中微量抗氧剂的质量分数，表明该方法能够起到定量的作用。因此本工作也通过表面红外光谱法来表征样板表面抗氧剂的析出情况。

(S,+)和(S,·)上的和可分别表示为：

(∀a,b∈S)⟺a+b+a=a,b+a+b=b； (∀a,b∈S)⟺a(ba)2=a,b(ab)2=b.

引理1[6] 设S∈CR(3,1),则是(S,+,·)上的同余关系，而和是(S,·)上的同余关系.

引理2[6] 设S∈CR(3,1)，则类是S的子半环.

2 CR(3,1)中半环上的格林关系

综上可知，⊆

证明：设S∈CR(3,1)，由文献[1]可知右端是包含在左端当中的，现在只需证明左边包含在右边即可.

为了证明⊆只需证明⊆假设∃a,b∈S,使得则∃u,v∈S,使得由于是S上的同余关系，且于是可知同理，由可知又已知是(S,·)上的右同余，故由可知同理，由是(S,·)上的右同余及其可得而因此，故

定理1 设S∈CR(3,1),则

由引理4可知，半环类}是CR(3,1)的子簇，并且将其记为并记

老K在我们四个好朋友中年龄最大。他是我们的头儿。而且，老K这家伙天生就有一种统治欲。所以我们几个都让着他。

证明：设S∈CR(3,1). 若a,b∈S，使得则由定理1可知，∃u,v∈S,使得由于且 是(S,·)上的同余关系，于是可得同理,由可知于是可得 即同理类似可得

反之，则有于是ba2(a(ba)2)=ba2(a2b2a2)=b(aba)2=babaaba=(ba)2aba=b2aba=b(ba)2=bb2a2=ba2，命题得证.

同理可得

实验B：设计拼组的背景图纸，培养学生的数形转换及推理能力，发展空间观念；根据图纸拼组胚珠，在实践中分析、探究、解决问题，发展学生的高阶思维。

(ba2+c)[a(ba)2+c]+(ba2+c)+(ba2+c) [a(ba)2+c]=(ba2+c)[a(ba)2+c]；

北京市餐饮业品质提升工作的原则是政府推动、市场引导、企业自律、社会监督，目的是全面激发餐饮企业主动提升品质、持续规范管理、不断优化服务的内在动力，形成市民充分信任阳光餐饮、市场积极选择阳光餐饮的氛围，逐步由以政府推动为主转变为市场自我发展、行业自我约束，打造餐饮业品质不断优化、健康发展的局面。

引理4 设S∈CR(3,1)且x,y∈S,则S满足当且仅当∀即S满足等式x+xy2+x≈x, xy2+x+xy2≈xy2.

定理2 设S∈CR(3,1), 则∀a,b∈S,有⟺

下面证明是CR(3,1)的子簇，只需证明其可表示成一组特定的等式类.

定理是由下列等式组构成的CR(3,1)的子簇：

通过多年的改革，本课程的教学效果得到了行业专家、教学督导和学生的一致好评。给出好评行业专家有武汉大学中南医院的主任护师、教授卢人玉，武汉大学人民医院护理部副主任、HOPE护理学院院长助理范湘鸿等；给予了赞美的教学督导有湖北省高等学校教学督导、本校教务处教学督导室主任等。

(2)(yx2+z)[x(yx)2+z]+(yx2+z)+(yx2+z) [x(yx)2+z]≈(yx2+z)[x(yx)2+z]；

(3) zyx2+zyx2zx(yx)2≈z(yx)2;

(4)zyx2zx(yx)2+zyx2+zyx2zx(yx)2≈zyx2zx(yx)2.

证明：若则且因为由定理3可知，∀a,b∈S有ρab2=ρba2，于是∀c∈S有ρab2+c=ρba2+c,ρcab2=ρcba2,由定理4可知:

(ba2+c)+(ba2+c)[a(ba)2+c]+(ba2+c)=ba2+c;

由引理3可知，半环类是CR(3,1)的子簇，并且将其记为

cba2+cba2ca(ba)2=c(ba)2;

cba2ca(ba)2+cba2+cba2ca(ba)2=cba2ca(ba)2.

人质即以人为质的制度产生于西周，这种现象最晚在春秋时已存在，如《国语·吴语》载句践嫡子赴吴，服侍夫差。至战国时发生了一些新特点，其中一点就是“国与国之间出质的主要对象是诸侯的公子”[3]，即质子。张守节《史记正义》的“国弱惧其侵伐，令子及贵臣往为质”[4]，点明出具质子一方的国家，主要是弱国。至于为何选取公子与贵臣，则主要是取其砝码贵重之义，因为他们可能是未来的国君。

由此可知,S满足(1)(2)(3)(4)式.

(1)(yx2+z)+(yx2+z)[x(yx)2+z]+(yx2+z)≈yx2+z;

反之，设S满足(1)(2)(3)(4)式.假设∀a,b∈S且由定理1可知存在c,d∈S,使得首先假设是(S，+)上的同余，即需要证明和对任意的ω∈S均成立.由可知，交换c,d可知得又已知是S上的同余关系，因此

引理3 设S∈CR(3,1)且x,y∈S,则S满足,当且仅当S满足等式xy2≈yx2, x+y≈y+x.

由定理1可知

该设计选用STM32F103RCT6作为控制核心，需要调用几个片内外设，Nokia5110显示器需要一组连续的普通GPIO口资源，驱动定时器需要定时器的PWM输出，还需要一个串口USART用来调试。外部晶振采用了8MHz的无源晶振，另外还增加了22pF的补偿电容，作为系统时钟源。STM32F103RCT6的引脚数目能够满足要求。

接下来只需证明是(S,·)上的同余关系即可，又因为是S上的同余关系，而是S上的右同余，故只需证明是S上的左同余，由(3)(4)很容易得到相应的结论.

从20世纪60年代末到90年代初，不同研究机构先后建立了Fish-Summers方程、Schmidt-Hoisapple方程、Rockwell方程、Cour-Palais方程、改进的Cour-Palais方程共5组单墙结构的弹道极限方程[31]。其中，改进的Cour-Palais方程最具代表性，工程应用最广泛。

下面将通过Mal’cev积，得到此半环簇的Mal’cev积分解.

综上所述，供给侧维度下的高职院校旅游管理专业就业教育改革对于学生的发展和社会的稳定具有重要的意义，高职院校、政府部门要对其给予足够的重视，从旅游管理专业就业指导供给侧方面进行有效优化，从而为毕业生的有效优质就业提供广泛契机，也为国家的经济文化建设创造有利条件。

定理4(Mal’cev积分解)

（2）土工织物强度要求。土工布强度可直接影响水泥稳定碎石基层收缩裂缝的防治效果。其具体抗拉强度要求如表7所示。

证明：若则显然∀u∈S有由⊆ρ及∀可知，ρab2=ρba2，即ρaρbρb=ρbρaρa,因此可知S/ρ满足等式xy2≈yx2.由⊆ρ且有ρa+b=ρb+a,因此S/ρ满足等式x+y≈y+x,故可知

3 结论

本文的主要结论可看成是对幂等元半环簇的相关结论的进一步推广，围绕本文还可以做以下相关工作.

(1)考虑等关系，给出这些关系的刻画及其是同余关系时所满足的条件；

(2)也可以对是同余关系的条件及其相关问题.

参 考 文 献

[1] HOWIE J M. Fundamentals of Semigroup Theory[M]. Oxford: Oxford Science Publication, 1995.

[2] PETRICH M, REILLY N R. Completely Regular Semigroup[M]. New York: Wiley, 1999.

[3] PASTIJN F, ZHAO X Z. Green’s D-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring[J]. Arch Math (Brno), 2000,36:77-93.

[4] ZHAO X Z, GUO Y Q, SHUM K P. D-subvarieties of the variety of idempotent semirings[J]. Algebra Colloquium, 2002,9:15-28.

[5] ZHAO X Z. Idempotent semirings with a commutative additive reduct[J]. Semigroup Forum, 2002,64(2):289-296.

[6] BURRIS S, SANKPPANAVER H P. A Course in Universal Algebra[M]. New York: Springer Verlag, 1981.

N, M, S. Congreunce openings of sdditive Green’s relations on a semiring[J].Semiring Forum, 2011,82(3), 437-454.

[8] SHAO Y, CRVENKOVIC S, MITROVIC M. The semiring variety generared by any finite number of finite fields and distributive lattices [J]. Nouvelle serie, 2015,98(112):45-51.

[9] 练利锋, 任苗苗, 陈益智.关于一类半换上的格林关系的若干研究[J]. 纯粹数学与应用数学, 2014,30(5):420-427.