1 引言及主要引理

近年来，对Taylor公式的推广及其余项“中间点”的渐近性的研究有了一些进展，也得到了一些成果.其中，文献[1]对广义泰勒中值定理“中间点"的渐近估计式进行了讨论，文献[2]对Taylor公式“中间点函数”的可微性进行了研究，文献[3]进一步推广了这一结果，讨论了广义Taylor中值定理“中间点函数”的性质.本文通过构造辅助函数，对Taylor公式做了进一步的推广，得到了一个更具一般性的余项形式.通过讨论该余项“中间点”的渐近性，得到了一个具有一般性的结论，推广了渐近性已有的一些结论，可作为对已有结论的补充.

在保持总体的位置形状不变[10]情况下，开运算能够去除孤立的小点、小桥和毛刺，可以利用开运算的作用来避免眼睛与睫毛或眼角阴影粘连，使表征人眼瞳孔的连通域能够更好地独立出来。处理效果如图7所示。

引理1[4] 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，函数g(x)在U(a)内存在m+1阶导数，且∀x∈U(a)，g(m+1)(x)≠0，则至少存在一点ξ∈U(a)，使得

 

(1)

引理2[5] 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，且存在实数α≥0，对∀有

 

则

根据公式(2)、(3)，计算得土壤指标的权重分别为:pH,0.129 4;有机质,0.247 1;有效镁,0.230 9;水溶性氯,0.392 5。

(2)

其中， Γ(α)=xα-1e-xdx是Gamma函数.

引理3 若函数φ(x)在a的邻域U(a)内连续，且存在实数β≥0，对∀ 有

定理1 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，函数φ(x)在U(a)内连续，且∀则对于∀m∈N且m≤n，∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

 

则

(3)

其中， B(p,q)=xp-1(1-x)q-1dx是Beta函数.

范坚强说：“你以为把圆形玻璃缸换成方形的，金鱼就能看到真实的世界吗？你怎么知道它不喜欢圆形鱼缸呢？你又怎么就知道我们无怨无仇？”

2 主要结果

2) 集渣计时器归零，渣锁斗开始通过高压循环水管线进行冲压，当渣锁斗压力与气化炉压力之差小于1.0 MPa时，XV-0201和XV-0202依次打开，被破渣机粉碎后的煤渣与水的混合废料开始排入渣锁斗中，集渣计时器开始计时。

 

(4)

证明:对于∀m∈N且m≤n，∀(不妨设x>a，对于x<a的情形同理可证)，构造函数G(x)=(x-t)mφ(t)dt，

这是一个具有一般性的余项形式，注意到m和函数φ(x)的任意性，便有如下推论.

工业大数据平台打通从供应链、生产制造、营销和销售，到售后服务等产品全生命周期的数据流。基于这些整合的数据，通过大数据技术，对海量的数据进行深层次的分析，根据不同的业务需要进行业务数据建模，从而实现工业大数据的业务价值。

 

m(x-t)m-1φ(t)dt,

 

一般地,有

G(k)(x)=m(m-1)…(m-k+1)(x-t)m-kφ(t)dt, k=1,2,…，m,

G(m+1)(x)=m!φ(x).

于是，G(k)(a)=m(m-1)…(m-k+1)(a-t)m-kφ(t)dt=0, k=1,2,…，m,

代入引理1的(1)，便有

整理

(5)

推论5 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀m∈N且m≤n，∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

SEC分析的主要指导思想是建立描述内容的同一语言(二维矩阵框架)，从而使一致性分析成为可能，对于标准和评价是分别独立按照二维内容矩阵编码的，任何给定的文件，只要二维矩阵框架是确定的且框架中的分类在标准与评价中存在，就可以编码，包容性更强，使得它的研究范围扩大，比韦伯给出的模式更具操作性，还能够给出定量的分析结果[5].

由于函数φ(x)在U(a)连续，所以函数G(x)在U(a)存在m+1阶导数，由积分上限函数的导数和含参积分的求导公式，

推论1 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀m∈N,且m≤n，∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

传统语文作业的内容只局限于本学科，与其它学科之间缺乏联系和渗透，使学生形成狭隘封闭的知识观。新课程理念下的初中语文作业设计要淡化学科间界限，把语文学科同其他学科在知识上相关或思考方法上相似的内容综合在一起设计作业，使学生认识到语文学习不仅包括单纯的语文知识的掌握和运用，还有语文学科与其他学科知识进行渗透。

 

(6)

这里，

证明:在(5)式中取φ(x)≡1，则

 

 

所以(6)式成立.

推论2 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

餐厨垃圾主要品种是蔬菜、瓜果、肉品等下脚料、剩饭剩菜等食品加工、餐饮服务、集体供餐产生的食物残余和废弃食用油脂。在物质不断丰富的当下，生活水平极大的改善，城市餐厨垃圾的产生量也日越增多，约占城市生活垃圾总量的30%-40%。同时易滋长寄生虫、卵及病原微生物和霉菌毒素等有害物质，给人们的生活带来诸多烦恼和困扰，严重的影响着人们的生活环境和身心健康。

 

(7)

这里，是Lagrange余项.

证明:在(6)式中取m=n，可得(7).

定理2 若函数f(x)在a的某邻域U(a)内存在n+1阶导数，函数φ(x)在U(a)内连续，∀且存在实数α≥0，β≥0，对∀有 和则对于∀m∈N且m≤n，由(4)式所确定的“中间点”ξ满足

 

(8)

这里，是Cauchy余项.

证明:在(6)式中取m=0，可得(8).

推论4 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀p∈[0,+∞)且p≤n，∀，至少存在一点ξ在a与x之间， 有

在坡顶打入木桩或钢钎，作为锚桩用，两锚之间为每块模袋混凝土的浇筑范围，模袋上端穿插钢管，每边外露约25cm，钢管端部焊系环，用5／8钢丝扣串5T葫芦系在陆上锚桩上，钢丝扣长度事先按现浇混凝土护坡的斜长计算好，5T葫芦用来调节模袋上沿的位置，宜与现浇边坡下沿重叠0.5m。模袋下端穿插钢管，外露25cm，由潜水员向下将模袋理平，直至下沿钢管，用绳扎牢。

 

(9)

这里，是Schlomilch-Roche余项.

证明:在(6)式中取m=p-1，可得(9).

这里余项

 

(10)

这里，这是广义积分余项.

档案资料主要包括水库水位、水雨情测报、安全监测等观测数据，安全专项检查、日常巡查等巡视检查资料，水库除险加固、维修养护、大坝安全鉴定等工程建设资料，以及水库防汛应急预案、控运计划等。所有水库档案资料整编完成后及时移交管理单位妥善保管并报水库主管部门备案。

证明:在(6)式中取φ(x)=f(n+1)(x)，可得(10).

推论6 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

 

(11)

这里，这是积分型余项.

证明:在(10)式中取m=n，可得(11).

综上所述，余项是Taylor公式余项的一个推广，是一个更具一般性的余项形式.

在取水头进水口四周按间距1m预埋M24地脚拉杆和圆台螺母，钢封门通过M24对锁螺杆锁紧，钢封门与取水头混凝土面之间满铺垫25mm厚，80mm宽的止水橡胶板，防止海水渗漏。预制时在出水口孔洞内侧预埋12mm厚钢板，钢结构封门通过L160×100×10固定角钢与预埋钢板四周满焊，达到封闭的效果；20cm直径加氯管口采用定制法兰封口板+橡胶垫封闭。取水头密封效果见图3。

推论3 若函数f(x)在a的邻域U(a)内存在n+1阶导数，则对于∀至少存在一点ξ在a与x之间， 有

下面讨论，由公式(4)中余项Rn(x)所确定的“中间点”ξ 的渐近性.

 

(12)

证明:由于函数f(x)在U(a)内存在n+1阶导数，对于实数α≥0和∀构造函数

 

则一方面，由引理2

摘 要：在大众创业、万众创新的大背景下，高职学生的创业热情日益高涨，但有些学校对创业教育重视不够，这严重影响创业教育的实际效果。从人才培养模式、课程体系改革、师资素质提升等方面，讨论如何改革高职学生的创业教育，可以为相关院校开展创业教育提供参考。

 

(13)

另一方面，由定理1(注意到x→a时ξ→a)

 

 

 

 

(14)

综合(13)(14)，就有

注意到Γ(n+1)=n!和则有

身为太医院的头号人物，院使的工资才不过一个月六百元。御医的月薪，四百元。至于助理，那就更抱歉了，一个月三百元。试想，能入太医院的，首先得学医多年，摸爬滚打后，终于磨炼出杰出的医术，然后，积累了丰富的经验，此时，差不多也发须皆白了，才有希望进入太医院。几十年的奋斗，最后的工资，竟然只有区区几百元！

 

所以，

这是一个非常简明的结果，与文献[6]的结果保持了一致，这是两个不同的问题，但其渐近性的结果却一致，这恰恰表明这一结果具有一般性和广泛性.

当m、α和β的取值不同时，就有一些特殊结论，这里仅举一例.

推论7 若函数f(x)在a的某邻域U(a)内存在n+1阶导数，且存在实数α≥0，对∀有则由推论2的(7)式所确定的“中间点”ξ满足

 

(15)

这是文献[6]中的定理2.

以上定理的结论，基本涵盖了近几年关于中值定理“中间点”渐近性方面的一些研究结果，更多结果可以参考文献[1-8].

参 考 文 献

[1] 林媛，张树义．广义泰勒中值定理“中间点”当x→+∞时更广泛的渐近估计式[J]．南阳师范学院学报,2016,15(3):1-5.

[2] 李丹，张树义．关于泰勒公式中间点函数的可微性[J]．井冈山大学学报,2016，37(6):11-14．

[3] 赵美娜，张树义，郑晓迪. 广义Taylor 中值定理“中间点函数”的性质[J]. 南通大学学报,2016，15(3)：80-85.

[4] 杜争光．微积分中值定理的统一及推广[J]．荆楚理工学院学报,2011，26(2)：34-37．

[5] 杜争光．广义Cauchy中值定理“中间点”的渐近性[J]．数学的实践与认识,2015，45(13)：268-272．

[6] 杜争光．微积分中值定理“中间点”的渐近性的统一[J]．湖南工程学院学报,2012，22(3)：60-62．

[7] 李丹，张树义，郑晓迪．Cauchy中值定理“中间点函数”的一个注记[J]．南阳师范学院学报,2016, 15(12)：5-11.

[8] 刘冬红，张树义，郑晓迪．第二积分中值定理“中间点函数”的可微性[J]．南阳师范学院学报,2017, 16(6):5-8.