0 引言

耦合的Klein-Gordon系统在量子力学和数学领域有着广泛的应用,它由Segal[1]于1965年首次提出.在理论研究方面,Miranda等[2]研究了耦合的Klein-Gordon系统解的存在性,但关于耦合Klein-Gordon方程的数值研究并不多见,2016年,Xu等[3]提出了一种基于Gautschi型积分器的谱方法．对于耦合Klein-Gordon方程的紧致差分格式的研究至今未见报道．本文的目的是建立一个耦合Klein-Gordon方程的紧致差分格式,并通过理论和数值试验验证所建格式的正确性.

左达蹲下身子，拿起一扎钞票，用大拇指把钞票一头弄弯曲，然后略一松开，让钞票像被洗的扑克牌一样翻卷着，发出一阵轻微的悦耳的脆响。然后，他把跟前的百元大钞五扎一堆五扎一堆地一字排开，又一屁股坐在了脏脏的水泥屋顶上，他正要埋头签字，突然停下了，仰望着徐艺，一笑，道：“要不然，咱俩赌一把？”

考虑如下耦合的非线性Klein-Gordon方程的初边值问题:

∂ttψ-∂xxψ+a1ψ-(b1ψ2+c1φ2)ψ=0, x∈(a,b), t>0,

2）“闹”中有序，收放自如：“动”起来还要“收”回来。上文中提及的慕课、微课、翻转课堂等新型教学模式有一个共同特点：能让课堂活跃起来、热闹起来。毋庸置疑，语言学习需要长期的坚持和积累，而兴趣是最好的老师。建构主义理论强调教学情境的创设和学生知识的自主建构，这些新型模式可协助师生创造生动的英语学习情境，加强学生的自主探究、合作、交流能力。然而，在实际教学过程中，我们不能一味强调“闹”和“动”，更要保证教学活动的规范性、秩序性和系统性，要做到动静结合、“热闹”过后学有所获。

(1)

∂ttφ-∂xxφ+a2φ-(b2φ2+c2ψ2)φ=0, x∈(a,b), t>0,

并定义

(2)

ψ(a,t)=ψ(b,t)=0, φ(a,t)=φ(b,t)=0, t>0,

(3)

ψ(x,t)=ψ0(x), ∂tψ(x)=ψ1(x), x∈[a,b],

(4)

φ(x,t)=φ0(x), ∂tφ(x)=φ1(x), x∈[a,b],

(5)

其中ψ(x,t),φ(x,t)为两个实值函数,用来描述质量为a1和a2的带电介子在电磁场中运动,b1,b2,c1,c2为带电介子的相互作用常数．容易验证,初边值问题(1)～(5)具有如下的不变量:

 

(6)

1 预备知识

记tn=nτ,xj=jh,n=0,1,…,N,j=0,1,…,J,其中和分别为时间步长和空间网格步长,N,J为正整数.本文使用如下记号:

 

 

记空间⊆RJ+1,对于任意u,v∈Xh,引入如下的离散内积和范数:

 

(17)式加(16)式便得到(15)式.

Ah-+Ah-Ah((b2+c2))=0, j=1,2,…,J-1, n=1,2,…,N,

(7)

Ah-+Ah-Ah((b1+c1))=0, j=1,2,…,J-1, n=1,2,…,N,

(8)

 

(9)

φ1(xj), j=1,2,…,J-1,

(10)

利用Taylor展开,有

 

设

 

则差分格式(7)～(10)可写为如下等价的向量形式：

明尼在一管开裂的炮筒旁停下了脚步。这管炮筒曾经是一管礼炮。它曾在斯内灵堡充满青春活力时，在士兵们手持闪亮的军刀、身穿崭新的制服列队游行时鸣响！它也曾在身着绸缎和蓝色羊绒的女士和军官们在燃起烛火的舞厅中相互行礼时鸣响……“是的，夫人！斯内灵上校下了命令，要在瀑布上修建一座锯木厂。”“好极了！想想看——机器锯出来的新台面！”“是的，夫人，据说会有一艘汽船扫清障碍，从圣路易斯驶来！”“赌赢了！我是说，我断言得没错！”

 

(11)

 

(12)

 

(13)

φ1, j=1,2,…,J-1，

(14)

其中H为算子在向量形式下对应的矩阵.

2 差分格式的离散守恒律

引理1[4] 对于任意的网格函数u∈Xh,有

 

其中H=R2,R为实正定矩阵.

引理2[5] 对于任意的网格函数u∈Xh及任意给定的ε>0,都存在正常数C,使得

宅基地是在国家允许范围内进行的农村房屋建设的基础，但是随着经济发展，房屋的价格被哄抬，越来越多的人在城市郊区位置私自建设，这不仅不利于国家基础设施管理，也不利于维护城市正常秩序。针对此问题，国家应该采取制度化管理，通过政策性优惠、资源补贴来吸引农民回归正常的住宅范围，在维护正常基础设施过程中，以劝导方式作为主要手段，减少与人民群众的冲突，并解决问题。人民群众对国家的看法直接影响到国家各项建设的配合度与参与度，为了国家长久稳定应当慎重处理与农民相关的问题。

 

引理3 差分格式(7)～(10)在离散意义下保持能量守恒,即

 

(15)

证 将(11)式与作内积，得

 

(16)

将(12)式与vn+1-vn-1作内积得

 

(17)

为了便于书写,本文定义分别为(1)～(5)的精确解和数值解．C表示一般常数,在不同的地方取不同的值.本文考虑如下有限差分格式:

3 差分格式的收敛性及稳定性

定义误差函数en,ηn∈Xh为

 

定理1 假设ψ(x,t),φ(x,t)∈C3,6,则差分格式(7)～(10)的解依l∞范数收敛到初边值问题(1)～(5)的解,收敛阶为O(τ2+h4).

证 选取光滑函数ρ∈C∞([0,∞)),其定义为

 

记

焚烧炉燃烧调整相关设备全部受控于ACC系统，包括推料器速度控制、炉排速度控制、一次风配风控制、二次风配风控制等［3］。

 

φ(·,t)‖L∞}, B=(M0+1)2,

⑥施复亮：《“五四”在杭州》，方建文，张鸣《百年春秋 二十世纪大事名人自述》，经济日报出版社，1997年8月第1版第500页。

 

则可以看作是的另一个近似值．对于问题(1)～(5)的精确解ψ(x,t),φ(x,t),由fB的定义可知

|fB(s1)-fB(s2)|≤C|s1-s2|, ∀s1,s2∈[0,∞).

定义为

 

(18)

 

(19)

 

(20)

 

(21)

则fB∈C∞([0,∞)),且fB是全局Lipschitz连续的,即

 

其中

 

(22)

 

(23)

 

(24)

 

(25)

其中定义误差函数则根据函数g(·,·)的性质[6-7],有如下的估计式:

人性化的教育管理，要符合和满足人的特性发展需要。因此，建设人性化校园必然要求“以人为本”为核心。首先，教师工作环境权的确立，重视倾斜保护教师，从而实现学校、教师与学生的共同、和谐发展。还教师工作环境权，通过打造学校的校园环境、办学理念、制度建设、校风校貌等育人环境，形成“以人为本”的校园教育氛围，有效实现环境育人。其次，还教师工作环境权，经常“问需于师”，满足教师的合理需求，使教师成为和谐校园建设的中间力量。“问需于师”，通过意见沟通和信息交流，倾听教师心声，缓解教师压力，营造和谐氛围，纠正对教师管理中出现的偏差，切实解决相关教师利益的问题。

 

(26)

由fB的定义,可得到以下的估计:

在本次研究中通过分析大量资料可以发现，采取合理的、适当的、具有针对性的护理措施能够降低盆腔子宫内膜异位症腹腔镜手术治疗的并发症、提高治疗效果和患者恢复速度，最常用的护理方法是围手术期护理，围手术期进行身心等各方面的护理增强了患者治疗疗效，患者具有较高的满意度。因此在腹腔镜手术治疗盆腔子宫内膜异位症过程中采取合理的护理措施是至关重要的。

 

(27)

将(22)～(25)式与(18)～(21)式相减,得到误差方程

表4所示为各方法优化结果的比较，序列采样方法(EGRA方法、IBS方法、LAS方法和本文方法)采用样本集大小为9的继承拉丁超立方采样(以初始设计点为继承点)。可以看出，相比于一次采样方法(LHS方法)，序列采样方法所需样本点更少、求解精度更高。其中，本文方法调用样本数最少(12)，相对误差最小(4×10-4)，且最优解处的可靠度值(3.001)更接近目标可靠度(3)，从而显示了其准确性与高效性。

 

(28)

 

(29)

 

其中

 

 

 

 

由(26),(27)式,可得

 

(30)

将(28),(29)式分别与和作内积,然后相加得

 

(31)

运用柯西-施瓦兹不等式,并结合(30)式,可得

分布式光伏发电集成系统在建筑工程中的应用越来越广泛，有效解决了电力在长途运输过程中存在的损耗问题，如何实现对分布式光伏发电集成系统的有效设计和优化也引起了大量研究学者的高度重视。

 

(32)

记

 

由(31),(32)式,可得

wn-wn-1≤Cτ(wn+wn-1)+Cτ(τ2+h4)2,

于是由Gronwall不等式[5]可知,存在足够小的τ0,当τ≤τ0时,有

 

由引理2可得

根据工程实践，半湿孔钻孔作业存在以下重难点：（1）干湿交界面的确定。半湿孔作业重点是确定干湿交界面位置，钻孔时需要提前确定，交界面过高则无法体现半湿孔作业的优势，过低又易发生塌孔影响成孔稳定性。（2）泥浆的灌注。半湿孔作业泥浆的选择和使用对于成孔的质量有很大影响，泥浆的黏度和比重将直接决定钻孔的稳定性。另外，在灌浆过程中由于高程原因不能像全湿孔作业那样进行浆液循环，又不得破坏已开挖的孔壁。（3）钻孔机具的选择。半湿孔作业由于稳定性原因需要钻孔速度快，成孔质量好的钻进设备，同时，孔内出土需要靠钻机实施，泥浆自身无法带出孔内土方。

 

因为存在足够小的τ和h,使得C(τ2+h4)≤1成立,所以有

宁波北仑区实行资源统筹大管理模式 努力构建集约用地新格局（范月圆等）................................................6-29

 

由函数fB的定义可知,格式(18)～(21)即为格式(7)～(10),从而有

 

定理2 在定理1的条件下,格式(7)～(10)的数值解对初值依l∞范数无条件稳定.

4 数值试验

在问题(1)～(5)中，取a1=a2=0.5,b1=2,b2=3,c1=c2=1,-a=b=30,有如下孤波解:

 

φ

试验1：毒饵喷撒机挂接在JDT-654型拖拉机后，在发动机空载情况下，分别操纵力、位调节手柄升降毒饵喷撒机10次(升降角度范围0～36°)，试验次数2次，记下试验数据。

(33)

对于算例(33),为了验证格式的收敛阶,取τ=h2,表1中的数据验证了定理1.取h=0.1,τ=0.01,表2中的数据验证了引理3中的离散能量守恒律.

 

表1 数值解在t=1时的误差和收敛阶

 

Tab.1 Error and covergence order for different h at time t=1

  

h‖e‖∞e的收敛阶‖η‖∞η的收敛阶1/35.38×10-5—3.81×10-5—1/41.77×10-53.85951.25×10-53.85951/57.50×10-63.85795.30×10-63.85791/63.67×10-63.92412.59×10-63.92411/71.98×10-63.98811.40×10-63.9881

 

表2 离散守恒律

 

Tab.2 Discrete conservation law

  

tEntEn00.230940055917950.230940055917910.230940055917960.230940055917920.230940055917970.230940055917930.230940055917980.230940055917940.230940055917990.2309400559180

参考文献:

[1] Segal I.Nonlinear partial differential equations in quantum filed theory[J].Appl Math,1965,17:210.

[2] Miranda M,Medeiros L.On the existence of global solutions of a coupled nonlinear Klein-Gordon equation[J].Funkcial Ekvac,1987,30(1):147.

[3] Xu Zhiguo,Dong Xuanchun,Yuan Yongjun.Error estimates in the energy space for a Gautschi-type integrator spectral discretization for the coupled nonlinear Klein-Gordon equations[J].J Comput Appl Math,2016,292(C):402.

[4] Wang Tingchun,Zhao Xiaofei.Optimal l∞error estimates of finite difference methods for the coupled Gross-Pitaevskii equations in the high dimensions[J].Sci Chin Math,2014,57(10):2189.

[5] Zhou Yulin.Application of discrete functional analysis to the finite difference methods[M].Beijing:Int Acad Pub,1991.

[6] Bao Weizhu,Cai Yongyong.Uniform error estimates of finite methods for the nonlinear Schrodinger angular momentum rotation[J].Math Comput,2011,82(281):99.

[7] Bao Weizhu,Cai Yongyong.Optimal error estimates of finite methods for the Gross-Pitaevskii equations equation with wave operator[J].Siam J Numer Anal,2012,50(2):492.