1 预备知识

利用迭代法求解一类非线性算子方程

x=A(x,x)

(1)

的解已经被广泛研究[1-2].文献中所得到的结论大多是在理想情况下讨论迭代序列,即迭代序列在迭代过程中没有误差存在.然而,在实际计算中,迭代过程中每一步都可能存在误差.本文证明了文献[1-2]中所构造的迭代序列可以进行非精确迭代,给出了非精确迭代误差条件,即迭代过程中误差应该满足的范围.保证了序列在迭代过程中即使每一步都有误差出现,也能收敛至方程的解.本文的结论为实现计算机上运算提供了理论基础.特别地,对算子A的连续性和紧性没有作任何假定.

设E是Banach空间,P是E中的锥,I是恒等算子，“≤”是由P导出的半序,关于半序的详细讨论见文献[3-5].称锥P是正规的,若存在常数N>0,对任给θ≤x≤y,有‖x‖≤N‖y‖.

设D是E的一个子集,称算子A:D×DE是混合单调的,若对于任给的ui,vi∈D(i=1,2),u1≤u2,v2≤v1,都有A(u1,v1)≤A(u2,v2)[6-7].

2 主要结论

定理1 设E是Banach空间,P是E中的正规锥,D=[u0,v0],A:D×DE满足：

i) u0<A(u0,v0),A(v0,u0)<v0;

存在w1>θ,w2>θ,若每次迭代精确值xn与近似值满足

混合式学习方法集传统教学与在线学习优点于一体，逐渐成为现代教育学习方式的发展趋势。那么混合式教学方法是有有利于《模拟电子技术》课堂的教学呢？将通过2016 级学生的期末考试成绩进行对照。2016 级自动化学生为混合式教学班，电子信息工程为传统教学班，同一名教师授课，两个专业学时相同，考试试题一样。

iii) 存在常数M≥0,使得对任何固定的y∈D,有

A(x2,y)-A(x1,y)≥-M(x2-x1), ∀u0≤x1≤x2≤v0;

其中常数ε0>0,则迭代序列(2)依范数收敛至x*,并且对任给的r(L)<a<1,存在n0,使以下估计式成立:

ii) 对任给固定的x∈D,A(x,y)关于y是减算子,即若x∈D,y1,y2∈D,y1≤y2,则有A(x,y1)≥A(x,y2);

A(y,x)-A(x,y)≤L(y-x), ∀u0≤x≤y≤v0，

则A在D中有唯一不动点x*.进一步地,对任给的x0∈D,对于迭代序列

 

(2)

存在w1>θ,w2>θ,若每次迭代精确值xn与近似值满足

 

(3)

iv) 存在正有界线性算子L:EE,L的谱半径r(L)<1,使得

 

(4)

其中N为正规常数,

 

(5)

证 令由条件i)～iv)容易验证B:D×DE是混合单调算子,u0<B(u0,v0),B(v0,u0)<v0.进一步可以找出w1>θ,w2>θ,使得u0+w1≤B(u0,v0),B(v0,u0)≤v0-w2,并且

B(y,x)-B(x,y)≤H(y-x), ∀u0≤x≤y≤v0,

其中也是正线性算子.

令un=B(un-1,vn-1),vn=B(vn-1,un-1), n=1,2,…,证下式成立:

屈哨兵：这个问题问得好。这也是我最近一直在思考的一个问题，就是好教育的质量观。这个问题我此前还没有做很多思考，最近稍微梳理了一下，大概有几个基本观点可以先说一下。

u0≤u1≤…≤un≤…≤vn≤…≤v1≤v0,

(6)

θ≤vn-un≤Hn(v0-u0), n=1,2,…,

(7)

 

(8)

利用归纳法,由条件i)～iii)容易证明(6)，(7)成立.下证(8)式成立.当n=1时,

 

同样易证得则

其中，i表示政策颁布的年份，y表示该年的第y项政策，N表示该年颁布的所有政策数量。PE表示一项政策的效力（Policy effectiveness），TPEi表示第i年的政策总效力，APEi表示第i年的年平均政策效力，pgy、pmy和pey分别代表该年第y项政策的政策目标（Policy goals）、政策措施（Policy means）和政策力度（Policy effects）的得分情况（蒋园园和杨秀云，2018［27］）。

设n=k时，成立.于是由(3)式知，当n=k+1时,

 

≥ε01+ε0(uk+1-uk)-(ε01+ε0)k+1w1≥(ε01+ε0)k+1(u1-u0)-(ε01+ε0)k+1w1≥θ.

H2) 对任何固定(t,x)∈I×E,f(t,x,y)关于y是减的;

The waiter did not understand. “What do you mean?” he asked.

下证{n}是基本列.任给r(L)<a<1,令α为(5)式.由谱半径公式r(L1+L2)≤r(L1)+r(L2)和可知

20例OSAHS患者的手术前后的相关数据，采用用Windows SPSS 13.0进行统计学分析，本临床实验中涉及的数据以均数±标准差形式表示，采用t检验分析手术前后相关参数变化是否具有统计学意义，本实验中t检验结果以P＜0.05认为差异具有统计学意义。

 

于是存在n0,使得

‖Hn‖<αn, n≥n0.

由(6),(8)式可知

 

(9)

由(7),(9)两式可知,对于任给n,p=1,2,…,有

θ≤-un≤vn-un≤Hn(v0-u0), θ≤-un≤vn-un≤Hn(v0-u0).

由P正规性可知

-un‖≤N‖Hn(v0-u0)‖≤Nαn‖v0-u0‖, -un‖≤N‖Hn(v0-u0)‖≤Nαn‖v0-u0‖.

对于任意自然数n≥n0,p都有

 

(10)

故是基本列.因此存在x*∈D,使得由易知

 

(11)

下面证x*是(1)的解.因un≤x*≤vn(n=1,2,…),由B的混合单调性推出

un+1=B(un,vn)≤B(x*,x*)≤B(vn,un)=vn+1, n=1,2,…,

由P的正规性及(11)式可得B(x*,x*)=x*,由B的定义可得A(x*,x*)=x*.故x*是(1)的解.

再证唯一性.设存在另一不动点x′∈D,使得A(x′,x′)=x′,由B的混合单调性及数学归纳法容易推出un≤x′≤vn, n=1,2,…,从而由(11)可知x′=x*,故x*是A在D中的唯一不动点.在(10)式中令p→∞,则得(4)式.证毕.

两组术前NIHSS评分比较差异无统计学意义（P＞0.05），术后14 d的NIHSS评分均较术前显著降低，但观察组比对照组改善更明显（P＜0.05）。见表3。

注1 在作迭代求解前,可以利用计算机比较大小,若u0=A(u0,v0)或A(v0,u0)=v0,则容易得u0或v0为不动点.即没有作迭代求解的必要.条件i)实为u0≤A(u0,v0),A(v0,u0)≤v0的情况.

注2 定理1中,在迭代过程中的每一步都假设了误差的存在,并给出误差满足的范围,保证所构造的迭代序列最终仍然依范数收敛到方程(1)的唯一解.其中w1,w2从定理的证明可以看出,利用计算机容易找出.对A没有作任何紧性和连续性方面的假设,而且讨论的算子f(x)=A(x,x)关于x既不是增的,也不是减的.当A(x,y)与y无关时,我们得到如下推论.

推论1 设E是Banach空间,P是E中的正规锥,D=[u0,v0],A:DE满足:

i) u0<Au0,Av0<v0;

ii) 存在常数M≥0,使得对于任给的u0≤x≤y≤v0,有

-M(y-x)≤Ay-Ax≤L(y-x),

其中L:EE是正有界线性算子,且谱半径r(L)<1,则A在D中有唯一不动点x*.更进一步,对任给的x0∈D,对于迭代序列

 

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(12)

其中常数ε0>0,则迭代序列(12)依范数收敛至x*,并且有估计式(4)成立.

推论2 设E是Banach空间,P是E中的正规锥,D=[u0,v0],A:D×DE满足:

i) u0<Au0,Av0<v0;

本文主要关注简单的事实性问题，即每个问题包含一个主题实体，并且用一个事实就能够回答。本文假设主题实体已经给定，给定主题实体在知识库中检索相关事实。知识库由大量关系型数据组成，通常是一组相互关联的主语—谓词—宾语(subject-property-object，SPO)形式的事实三元组。通常，问题描述了三元组的主语(如“泰戈尔”)和谓词(如“主要成就”)，答案包含了宾语部分的知识(如“诺贝尔文学奖”)。

ii) A是混合单调算子;

iii) 对于任给的u0≤x≤y≤v0,有A(y,x)-A(x,y)≤L(y-x),其中L:EE是正有界线性算子,且谱半径r(L)<1,则定理1(取M=0)的结论成立.

推论3 设E是Banach空间,P是E中的正规锥,D=[u0,v0],A:DE满足:

我小学五年级因抗战爆发、家乡沦陷、学校停办而失学，一直在老家农村种地。实际上即使我在上学的时候，也是一直跟着大人下地劳动的，农村的孩子，一般十来岁早就下地劳动了。

i) u0<Anu0,Anv0<v0;

ii) 存在常数M≥0,使得对于任给的u0≤x≤y≤v0,有

-M(y-x)≤Any-Anx≤L(y-x),

其中L:EE是正有界线性算子,谱半径r(L)<1,则定理1的结论成立.

证 仿定理1的证明，可知An在D中有唯一不动点x*,即x*=Anx*.两边同时作用A得,Ax*=An(Ax*),故Ax*是An的不动点.由唯一性知,x*=Ax*.

3 Banach空间常微分方程中的应用

设E是Banach空间,I=[0,T](T>0),在C[I,E]中定义范数在‖·‖c下为一个Banach空间.又设P是E中的一个锥,则P是E中导出的一个半序“≤”.显然,P1={u∈C[I,E]|u(t)≥θ,t∈I}是C[I,E]中一个锥,从而P1在C[I,E]中也是一个半序,仍用≤表示(参见文献[7-9]).

③术后心理干预 术后要经常探视患者,及时告知手术顺利成功,稳定患者情绪。对于手术不太顺利,或有不良情况,暂时也不要告诉患者。对于患者的切口疼痛和其他不适情况及时给予关心和同情,做好相应的解释和及时的处理。与其家属做好沟通解释工作,让家属理解帮助患者,增加患者的安全感,增强患者信心。

设f:I×E×E→E(不假设连续),对任给u,v∈C[I,E],g(t)=f(t,u(t),v(t)):I→E连续,x0∈E.考虑Banach空间一阶常微分方程初值问题

u′=f(t,u,u), u(0)=x0, t∈I.

(13)

本节使用下列假设:

H1) 存在u0,v0∈C[I,E],使u0≤v0，且

<f(t,u0,v0), t∈I, u0(0)≤x0, >f(t,v0,u0), t∈I, v0(0)≥x0;

同样可证,vk+1-k+1≥θ,即uk+1≤k+1≤vk+1，故(8)式成立.

H3) 存在常数M≥0,使得对于任给t∈I,u,v,w∈E,u≤v,都有

H4) 存在常数使对于任给t∈I,u,v∈E,u≤v,都有

f(t,v,w)-f(t,u,w)≥-M(v-u);

本文主要对高校图书馆开展“互联网+”阅读教育的理论依据和现实需求进行了分析，分析当中首先对“互联网+”阅读教育进行了概述，之后分析了相关的理论依据，主要包括习惯性理论、公共开放性理论、服务性理论3个部分。其次，针对现代学生图书馆阅读现状进行分析，了解了其中的主要问题，之后针对问题提出了现代高校图书馆开展“互联网+”阅读教育的现实需求。

 

定理2 设E是Banach空间,P是E中的正规锥,又假设H1)～H4)满足，则初始值(13)在[u0,v0]={u∈C[I,E]|u0≤u≤v0}中存在唯一解w*(t).更进一步,对任给的w0∈D,对于迭代序列

 

存在β1>θ,β2>θ,若每次迭代精确值wn与近似值满足

 

其中常数ε0>0,则迭代序列依范数一致收敛于w*(t),并且对任给的r(L)<a<1,存在n0,使得下式成立:

 

(14)

其中α同(5)式,N1为正规常数.

证 对任何固定的η1,η2∈[u0,v0],考察Banach空间一阶线性常微分方程初值问题

u′=f(t,η1,η2)-M(u-η1), u0(0)=x0, t∈I.

(15)

直接验证可知

安：我认为大部分情况下，“人声”或者“歌唱性的声音”都是有价值的，可能在普罗科菲耶夫练习曲这一类的少数作品中，我们才会说“与人声完全不同”，他所追求的是独特的、类似打击乐的声音。这样的悬殊比例得益于古代意大利的王公贵胄，即当年音乐家的赞助人，他们十分厌倦羽管键琴的单一声响，试图让演奏家在乐器上复刻人声。这样的情况下，意大利巧匠巴托罗密欧·克里斯托弗里制造了所谓“强弱琴”（Fortepiano），即我们今天所谓的“早期钢琴”，这种琴首创了弦槌击弦发声的结构，并由此开启了这种乐器在“接近人声”道路上的不懈探索。

 

是初值问题(15)的唯一解.定义A:[u0,v0]×[u0,v0]→C[I,E]如下:

本刊记者就此情况咨询法律人士，得到的答复是：罚金与缓刑无关，罚金是指强制犯罪人向国家缴纳一定数额金钱的刑罚方法。罚金作为一种财产刑，是以剥夺犯罪人金钱为内容的，这是罚金与其他刑罚方法显著区别之所在。罚金的执行当以生效判决为准，也就是说，开庭之前，在被告人仅为犯罪嫌疑人的情况下，就要求其缴纳罚金，难逃“未审先判”“以钱买刑”之嫌。而罚金也属于刑罚的一种，还没最终定罪，就急着谈刑罚，程序上似乎说不过去。

 

显然η是初值问题(13)的解,当且仅当η=A(η,η).根据假设H1)～H4),仿文献[10]可证

i) u0<A(u0,v0),A(v0,u0)<v0;

ii) A是混合单调算子,且对于任给u,v∈[u0,v0],u≤v,都有

 

由文献[1]知,线性算子(s)ds的谱半径r(L)=0.由推论2可知,定理2结论成立.

注3 定理2的结论是从数值计算的要求对以往研究结果的进一步发展,为上机计算提供了理论基础.

参考文献:

[1] 孙经先,刘立山.非线性算子方程的迭代求解及其应用[J].数学物理学报,1993,13(3):141.

[2] 张芳,王峰.Banach空间一类非线性算子方程的迭代求解及应用[J].数学的实践与认识,2010,40(8):179.

[3] 郭大钧.非线性泛函分析[M].济南:山东科学技术出版社,1985.

[4] 孙经先,徐西安.非正非线性算子方程正解的存在性及其应用[J].数学学报,2012,55(1):56.

[5] 纪宏伟,孙经先.抽象空间中非线性算子方程变号解的存在性研究[J].数学的实践与认识,2017,47(2):258.

[6] Guo Dajun,Lakshmikantham V.Coupled fixed points of nonlinear operaters with application[J].Nonl Anal,1987,11(5):623.

[7] 孙经先.非线性泛函分析及其应用[M].北京:科学出版社,2007.

[8] 张上泰.条件σ-完全的部分序线性系统中方程解的存在性和唯一性[J].数学学报,1984,27(2)：257.

[9] 孙经先.Banach空间常微分方程的解[J].数学学报,1990,33(3):374.

[10] 郭大钧,孙经先.抽象空间常微分方程[M].济南:山东科学技术出版社,1989.