设G是一个n阶简单无向图，记其顶点集为V={v 1,v2,…,vn} ，边集 E={e 1 ,e2,···,em} 。 NG(v)表示G中与v相邻的点的集合，且记v的度数d(v)= | NG(v) |。设S⊆V，图G[S]表示以S为顶点集，以G中两端点均在S中的边为边集的图，称其为G的导出子图。若图G[S]中无边，则称S为G的独立集。G中含点数最多的独立集所含的点数称为G的独立数，记为 α(G)。记Gc=(V , Ec)为图G=(V ,E )的补图，其中

克鲁勃润滑剂为风电行业提供全面的润滑产品，涵盖发电机轴承、主轴轴承、偏航变桨轴承、开式齿轮、齿轮箱、滑环等主要部件。

图G的度矩阵记为 D(G)=diag(d(v1),d(v2),···,d(vn ) )，其中d(vi)是顶点vi的度数，i=1,2,…,n。图G的邻接矩阵为A(G)=(aij)n×n ，如果vivj∈E，则aij=1；否则aij=0。图G的无符号拉普拉斯矩阵为Q(G)=D(G)+A(G )，因为 A(G)，Q(G)是实对称矩阵，因此它们的特征值是实数，故可排序。A(G)的最小特征值称为图G的最小特征值，不妨设A(G)的n个特征值从大到小排列为 λ1(G ) ≥λ2(G ) ≥…≥λn(G )，最大特征值 λ1(G)称为图G的谱半径，记作λmax(G )；最小特征值λn(G )称为图G的最小特征值，记作λ(G )，其对应的特征向量称作G的第一特征向量。由于Q(G)是半正定的，所以Q(G)的特征值从大到小排列为q1(G ) ≥q2(G )≥···≥qn(G )≥0，其中最大特征值q1(G)称为图G的无符号拉普拉斯谱半径；最小特征值qn(G)称为图G的无符号拉普拉斯最小特征值，记作a(G)，其对应的特征向量称作G的无符号拉普拉斯第一特征向量。

近年来，无符号拉普拉斯最小特征值的问题已经越来越受到重视，其中文献[1-4]研究了一类图的极小特征值，文献[5-10]研究了某一类特殊图的最小特征值；而文献[11-15]都是从补图的结构出发，分别研究了补图是树、单圈图、连通图、2-点（边）连通图的图的最小特征值，和补图是树、单圈图的无符号拉普拉斯最小特征值。受此启发，本文研究n阶且补图为独立数n-2的双圈图的最小特征值和最小无符号拉普拉斯特征值，并刻画了此类图最小特征值和无符号拉普拉斯最小特征值达极小的图。 G=(V ,E)为n阶简单图，对于向量X∈Rn，如果存在一个从V到X中值的映射φ，使得对于任意u∈V有Xu=φ(u)，则称X定义在G上。

对于任意向量X∈Rn，有

若λ是A(G)对应于特征向量X的特征值，则由特征值的定义，当且仅当X≠0时，对于每个v∈V ，有

称（1）式为G关于X的特征等式。另外，对于任意单位向量X∈Rn，有

黎明时分，艾莉从梦里醒来。梦里的秦川变成充气娃娃，脚趾间，五个小小的淡紫色伤疤。身边不见秦川，爬起来去书房，秦川手捧一个大纸袋，看着她笑。

“……”孟导仔细想着叶总的话，越想越觉得是这么回事，老贾只在最开始事无巨细地给自己作说明，等讲完清朝那些钱。自己也就信了他七八分，接下来就随他摆布了。

进一步有

当且仅当X是G的无符号拉普拉斯第一特征向量时等号成立。

1 X3:=Xv3，X6:=Xv6，根据(3)式知 X2=X6；所有悬挂在v1上的点在X中对应的值相同，记作X4，所有悬挂在v3上的点在X中对应的值相同，记作X5；并且记

若q是Q(G)对应于特征向量X的特征值，则由特征值的定义，当且仅当X≠0时，对于每个v∈，有

引理1[15]设G是一个简单图，有

引理2[16]设A是一个实对称n×n阶邻接矩阵，邻接矩阵 B为 A的 m×m阶主子阵，且μ1(A )≥μ2(A )≥…≥μn(A),μ1(B )≥μ2(B )≥…≥μm(B)分别为A与B的特征值，则对于i=1,2,…,m，有μn-m+i(A )≤μi(B ) ≤μi(A)。

对于独立数为n-2的双圈图，它的双圈必共边，其两内圈为C3，外圈为C4，且两个内圈的公共点上分别悬挂 p个与q个悬挂点，其中p+q=n-4,p,q≥0，如图1所示，记为G(p ,q)。

图1 G(p ,q)

定理1 给定一个正整数n(n≥7)，对于任意的整数 p,q≥0且 p+q=n-4，则有

2017级各班级的参评数据见表8。对2017级班集体相关属性取值进行分析，分别选取2017tx、2017xx和2017ji1作为均衡发展、偏离发展和最差发展班级的初始聚类中心点，通过实验得到基于K-means算法的聚类结果见表9，聚类方法与传统方法的优秀班集体结果对比见表10。

当且仅当时等号成立。

证明 设G(p ,q)如图1所示，X是G(p ,q)c的第一特征向量。由于K2是2点完全图，K2⊂G(p ,q)c，且λ(K 2)=-1，根据引理2知≤-1。记X1:=Xv1，X2:=Xv2，X3:=Xv3，X6:=Xv6，根据(1)式知X2=X6；所有悬挂在v1上的点在X中对应的值相同，记作X4，所有悬挂在v3上的点在X中对应的值相同，记作X5，并且记λ:=

则有g'(x)=2x-3p-3q。

将上式转换成矩阵等式( )B-λI X'=0，其中

当且仅当G(p ,q)=G(n -4,0)时等号成立。

当前，他以“尊重教育规律，关注学生发展，选择适合学生的教育”为办学理念，指导教师把中华优秀传统文化、习惯养成教育和课堂改革有机结合起来，努力践行“教学生三年，着眼学生未来一辈子”的教育思想。通过国旗下讲话、祭孔仪式、主题班会、经典诵读、校园文化艺术节、阳光体育运动、养花育心、科技夏令营等活动对学生进行中华传统美德教育、社会主义核心价值观教育、青春励志教育和绿色环保教育，等等，让大家在这样的校园环境中受到思想的洗礼和心灵的净化。

令f1(x ;n-4,0)=det(B -xI)，可以得到

则λ为 f1(x ;n-4,0)=0的最小根。

当x=-1.8时，有

当n≥7时，有 f1(- 1.8;p,q) ＜0，从而λ＜-1.8。

（ii）若q≥1，由（1）式可以得到

将上式转换成矩阵等式(B -λI) X′=0， ，其中

麦芽酚和乙基麦芽酚作为增味剂，带有微甜味，可以修饰苦味、涩味，增加肉制品中的香甜气味，增强乳脂质的香滑口感，甚至还可以与铁离子反应变成紫红色，起到发色的作用[28]。乙基麦芽酚是麦芽酚的同系物，少量添加就可达到增味作用，增味效果是麦芽酚的4～6倍，并且1份乙基麦芽酚可以代替24份香豆素[29]。除此之外，美拉德反应香精也呈现良好增香性，利用美拉德反应制成的各类香味料具有较好的增味作用[30]。

令f2(x;p,q)=det(B -xI)，可以得到

则λ是 f2( )

x;p,q=0的最小根。

当x=-1.8时，有

当n≥7时，p+q=n-4≥3，此时f2(- 1.8;p,q) ＜0，从而λ＜-1.8。当 p≥q+2，x＜-1.8时，有

由于λ是方程 f2(x ;p,q)=0的最小根，从而有f2(λ ;p,q)=0，且 λ＜-1.8，由上式可得到f2(λ ;p-1,q+1) ＜0，这意味着

（iii）比较 λ[G ( n -4,0)c]与 λ[G ( n -5,1)c]的大小，设g(x)=f1(x ;n-4,0)(- x-1)=

则有g(x)-f2(x ;n-5,1)=(n -5)(2 x 2+3x-1)，这样，当 x＜-1.8，n≥7时，有g(x)-f2(x ;n-5,1) ＞0。由（i）（ii）知，λ[G ( n -4,0)c]＜-1.8，λ[G ( n -5,1)c]＜-1.8，即 λ[G ( n -4,0)c]＞λ[G ( n -5,1)c]，于是根据（i）（ii）（iii）知结论是成立的。

定理2给定一个正整数n(n≥7)，对于任意的整数 p≥q≥1且 p+q=n-4，有

我一直关注女画家刘曼文的油画创作。这位受过学院系统教育和有过坚实造型基础的艺术家的画风不断在变化，从传统的写实兼表现的手法到具有荒诞意味的超现实图式，她在向人们展示多种艺术才能的同时，似乎也在向人们打开她扇扇心扉，倾诉她的内心衷情，她的人生追求，她的欢乐与痛苦，她看到这世界的真善美和荒诞不经。从她的作品可以看出她富有鲜明特征的女性心理、感情，以至于绘画语言。假如有人问，这女性特征体现在何处？我的回答是：她作品中富有人性的内容与表达形式，即她对他人和自我生命状态的关注，她用隐晦而精炼的手法来表现这种感情。毋庸置疑，女性感情是人性中的最细微、柔和的表现形式。

韩俊义介绍说，“在过去，一口机井负责300亩地的灌溉，12个小时只能灌溉30亩，300亩地全部灌溉完需要5天5夜。农民需要早晚两次往施肥罐里倒颗粒肥料，完成300亩的施肥就需要起早贪黑倒肥10次。而如今，有了自动施肥机，农民就轻松多啦！现在只要一合电闸，输入几个数据，就彻底把我们从过去施肥、浇水连轴转的繁重劳动中解放出来！机械化自动化操作，既省工又省力！”“他们是改变马卜子农业历史的小分队！”刘玉感叹到。

证明 G(p ,q)如图1所示，设X是G(p ,q)c的无符号拉普拉斯第一特征向量。由引理1知， 记 X1:=Xv， X2:=，

称(3)式为G关于X的无符号拉普拉斯特征等式。另外，对于任意单位向量X∈Rn，有

由(3)式可以得到

好的作文尽量使用短句表达而少用或者不用长句。由于长句大多有较长的并列成分、修饰限制成分等，使人读来觉得繁琐、冗杂。而短句则结构简单，词语较少，使意思表达更清楚。例如长句：“现在许多国家都已经能够生产可以独立操作机床、可以在病房里细心照料病人、可以在危险区域进行作业的机器人。”有三个并列修饰“机器人”的定语，句子复杂，读来有累赘之感。可以变成这样的短句：“现在许多国家都能够生产这样的机器人：它们可以独立操作机床，可以在病房细心照料病人，可以在危险区域进行作业。”这样一改，变得清楚，简单。

将上式转换成矩阵等式( )kI-B X'=0，其中

令f3(x ;p,q)=det(x I-B )，可以得到

则k是 f3(x ;p,q)=0的最小根。

大数据时代到来，使信息变化速度不断加快，信息量日益扩充，对商业银行工作提出了更高的要求。随着国际金融监管体系日益健全，加强审计监督，建立以风险为导向的现代化审计管理体系，不断完善审计内容，健全审计指标体系，加强责任落实，重点审核金融机构在财务收支、内部控制、风险纰漏以及问责机制等方面的贯彻落实情况，是当前商业银行审计工作的重点。国家审计资源本身有限，对商业银行等金融机构不能开展连续性审计，加上对其内部经营实际情况不能全面了解，从而不利于审计职能的有效发挥。

当 p≥q≥1时 ，有 f3(x ;p+1,q-1)-f3(x ;p,q)=(1 +p-q)(p +q-x)(x 2 -3qx-3px+2q2+4pq+2p+2q+2p2)。令

（i）若q=0，由（1）式可以得到

当0＜x≤q时，观察到 g'(x)是递增的，且有g'(x)≤g'(q)=-3p-q＜0，故此时 g(x)在0＜x≤q上单调递减，即有g(x)≥g(q)=pq+2q+2p+2p2＞0。

根据引理1知，当 p≥q≥1时，，又因 为 k是 f3( )x;p,q=0的最小根，即f3(k ;p,q)=0，所以有 f3(k ;p+1,q-1)=(1 +p-q)·(p +q-k)(k 2 -3qk-3pk+2q2+4pq+2p+2q+2p2)＞0，

随着现代建筑工业技术的发展，住宅工业化是未来建筑业发展的必然趋势[1]，而发展装配式钢结构住宅能节省资源、降低能耗、缩短工期、减少建筑垃圾污染，是实现住宅工业化的关键。住宅是一个变化多端的产品，根据建筑的要求，柱网往往不规则，房内开间及进深相对较小、变化较多，因此钢结构住宅结构体系往往选择框架体系。

当且仅当X是G的第一特征向量时等号成立。

音乐作品是否能作为文本用来研究音乐？对这一问题的回答，似乎是显而易见的。然而，当我们仔细究其是否有这种可能性，亦或是追问如何有这种可能性的时候，就会陷入困境。因为，我们首先要知道音乐作品是否是文本，也就是说与文本等同？其次，文本如何能成为音乐的对象？再次，如果音乐作品作为文本，那么这样的文本是如何能与作曲家所构想的音乐获得必然的关联？

参考文献：

⑨Ahmed Elgammal;Bingchen Liu;Mohamed Elhoseiny;Marian Mazzone，CAN:Creative Adversarial Networks Generating“Art”by Learning About Styles and Deviating from Style Norms，eprint arXiv:1706．07068．06/2017．

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[2]BELL F K,CVETKOVIC D,ROWLINSON P,et al.Graph for which the least eigenvalues is minimal,II[J].Linear Algebra Appl,2008,429(8)：2168-2176.

[3]CARDOSO D M,CVETKOVIC D,ROWLINSON P,et al.A sharp lower bound for the least eigenvalue of the signless Laplacian of a non-bipartite graph[J].Linear Algebra Appl,2008,429(11-12)：2770-2780.

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