在一些问题中，数列的表达式不是具体显式给出的，而是通过递推关系式给出的，也就是递推数列。当初值给定时，通过递推关系式，利用单调性，通常可以求出数列的极限。极限为零的数列称之为无穷小数列。但是如何确定它们趋于0的速度，这就要对数列进行更加细致的刻画。综合法是很多证明所采用的方法，优点是过程简洁。但是这种方法通常要对数列有个大体的预判，甚至要知道结果才行。这样很多问题的解答显得很突然，很难被读者接受与掌握，而分析的方法因过程清晰明了，容易被接受。

{n-α}(α＞0)是最简单常用的无穷小数列，规定指数α为它的阶。许多递推公式所确定的数列为无穷小数列。而很多时候仅仅知道它是无穷小是不够的，需要对它收敛到零的速度给出一个大体的界定，这就需要对an给出一个更细致的刻画。本文针对两种递推类型给出数列{an}阶的界定。

1 相关定义

定义1（无穷小数列的阶）若其中α为大于零的常数，则称无穷小数列{}an的阶为α。

注(1)若，则称数列为等价无穷小数列[1-2]；

(2) 在单一冻融下，混凝土的相对动弹性模量表现为逐渐降低；在单一硫酸盐侵蚀、冻融与硫酸盐侵蚀耦合作用下，混凝土试样的相对动弹性模量出现了开始小幅度增加之后又逐步减小的趋势。

例2 设 x1＞0,xn+1=xn(1-xn)，n=1,2,…，证明级数发散。

在陕北坡底村，知青们的插队生活完全是另外一番景象。“文革”极左思想毒害了一些当地干部，使本就贫穷的村民日子过得更加艰难。赵曙光、冯晓兰、武红兵等知青，不负老支书王大爷等老党员的信任和重托，带领群众打机井、搞副业、分钱富民、迁村避险，与淳朴善良的人民群众生死与共、命运相连。

(3)若c=0，则称an为n-α的高阶无穷小数列。与无穷小数列对应的是无穷大数列，类似于无穷小数列的阶，可以定义无穷大数列的阶。

定义2若=c(c≠0)，其中 α 为大于零的常数，则称无穷大数列{an}的阶为α。

2 形如an+1=f(an)所确定的数列

比较（7）式与（8）式，容易得到，由此解得α=。于是，an等价于，故原问题当且仅当 p＞2时，级数收敛。

其中c与α为待定常数。当n充分大时有

则可假设{}an的阶为α，即

依据状态函数g(X)的定义、表达式和可靠性设计的摄动法，利用向量值和矩阵值函数的Taylor展开式，将随机变量X和状态函数g(X)在E(X)=附近展开，并经过推导整理可得状态函数g(X)的均值和方差为：

其中，于是。 利用(1 +x)α的泰勒公式，可得

这样，比较（4）式和（5）式，可以确定c与 α。

而由（1）式可得

例1 设 0＜a1＜π ，an+1=sinan，n=1,2,… ，讨论级数的敛散性。

此题在很多参考书上都有涉及[3-4]，但是所给出的方法让人感觉不是太突兀就是太复杂。这里，我们利用分析的方法给予说明。

分析 首先，利用单调有界原理，容易判别数列{an}是收敛到0的。 设{an}的阶为 α，即（2）式成立。利用递推关系an+1=sinan,n=1,2,…及泰勒公式得到

证明 由递推关系式可知an是严格单调递增数列，且an＞0。若α＞1，则由不等式

将（2）式代入（6）式的右端，并注意到，有

由（4）式，考虑到，有

若函数 f(x)在x=0的某个领域内可以展开为带有皮亚诺型余项的泰勒公式：

(2)阶数α越大，表明an收敛于零的速度越快；

分析 类似于例1，首先利用单调有界原理容易得到。其次，假定，其中，为了方便，记为（在忽略一个高阶无穷小的意义下），其中c与α为待定常数，则， 利 用 递 推 关 系 式xn+1=xn(1-xn)，可得

而

2011年11月，天红镇正式启动新型农村社会养老保险试点工作，截至2018年8月，天红镇近19000人中，男性9794人，女性9170人，60岁以上2496人。实际参保5651人，约占总人口数的30%，其中，扣款成功的人数为3510人，预估到12月底缴费收入约756300元。近几年缴费人数和金额情况如表1所示。从表中的数据可以看出，随着新农保政策的推进，参保的人数逐年增加。

比较（9）式与（10）式，容易得到，解得α=1,c=1，于是，从而级数发散。

3 形如an+1=f(n,an)所确定的数列

这类问题，因n亦是an的函数，故 f不能单独看成an的函数而对an进行泰勒展开。这时可以利用收敛级数与数列的关系来确定an的阶。

为了准确传达国外儿童文学的内容和风格,五四时期译者多采用忠实于原著的直译法,少部分译者采取意译的办法。如郑振铎在他主持的《儿童世界》上发表的《竹公主》等30多篇童话,其中绝大部分是意译。他认为大部分儿童文学作品与其他文学作品同，他选择更加口语化通俗化的方法来翻译。但对于那些“价值甚高,含义又深,程度较高的儿童都很喜欢看”的大师创作的童话,如安徒生、王尔德等人的童话,则予以直译。(秦弓，2013)[12]

定理[2-3]数列收敛的充分必要条件是级数收敛。

例3 设，证明：当且仅当 α＞1时数列 an收敛，此时记 λ= an ，则

冲突发生后，一师校长经亨颐坚定地支持公民团的正义举动，直到省议会最后被迫取消这个自己给自己加薪的“议案”为止。姜丹书说，“一般民众敢怒而不敢言，此时一师多数学生联合他校同志，赴会旁听，意在临视，难免冲突，卒以打销，人心大快。其影响及于江苏省议会潜泯此议。……是役也，茶肆清谈，称为‘第一师范打省议会’。”在这次运动中，魏金枝是积极的参与者。

西风带又称暴风圈，位于副热带高气压带与副极地低气压带之间，即大约在南、北半球的35°～65°纬度，该地区的空气运动主要是自西向东，在对流层中上部和平流层下部[1-2]。常年西风不断，气旋频繁，平时最小风力大约7～8级，大多时候达到10～12级，船只航行极为危险，故又称为“魔鬼西风带”。西风带在南半球更为明显，为南极设置一道天然屏障，且是船只赴南极必经的最危险海域。

以及级数收敛，可知∑(an+1-an)也收敛，进而数列an 收敛。

反之，若an=λ，则

赵旭东的《中国山水画中的意义线索与民族志书写》[13]，以中国山水画中的意义线索为例，探讨了中国范式的艺术民族志应该如何书写的问题。这种艺术民族志的书写方式有别于西方人类学科学民族志的主张，是一种通过对景造意表达出来的对意义的深层次阐发，有助于我们重新认识人类学意义的写文化。同时，它为这种写文化的再创造提供了一种可以获得灵感的方法论的新资源，也为中国传统政治语境中权威体系对于自然山水的象征化命名的权力机制提供了一种真正意义上的本土理解。这一理念值得关注。

于是 (n→∞)，故级数∑(an+1-an)和同敛散。

而由数列an收敛知∑(an+1-an)收敛，从而α＞1。由知，

数码相机的缺点是拍摄到的星星实在太多，包括那些肉眼不可见的星星。Alyn使用雾化滤镜创造柔焦效果，让最亮的星星发光，同时让亮度较弱的星星不受影响，这有助于让星座在他的照片中更加明显，例如这张大北斗星的照片。Alyn正在筹备自己的星光滤镜，很快就会上市。我

从而易得

于是令k→∞可得

完成“扎赉特旗农畜产品质量安全监管信息平台”与自治区农畜产品质量安全监管追溯信息平台对接，录入完善农畜产品生产经营单位投入品、生产记录、违法案件、“三品一标”等信息。目前，全旗10家大型农资店、10家主要农畜产品生产加工企业已纳入监管平台，实现信息化管理。

注 类似的方法，可以将本例推广到an为无穷大数列的情形，结论变为：当α＜1时，

特别地，当α=0时，这时 f(n,an)可以仅作为an的函数，而易知{an}为无穷大数列，从而为无穷小数列。这样可以利用第一种类型的方法来求由an+1=f(an)所确定的无穷大数列的阶。具体过程如下。

设，其中c与α为待定常数，于是

一方面

另一方面，

比较（11）式与（12）式可得，解得，这与题注结论一致。

4 结束语

针对不容易求出通项公式的两种类型递推关系式给出的数列{an}，要判定其大致收敛速度，可以通过它们与nα或n-α进行比较，然后利用泰勒公式或者级数理论来推导出数列{an}的阶。利用分析的方法，可以将问题刻画得更加深入，并利于读者接受。

参考文献：

and we can also introduce a matrix F(gx;gy) which is written as

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001：59-64.

[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2000：98-105．

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].2版.北京：高等教育出版社，2006：69-83．

[4]朱尧辰．数学分析范例选解[M].合肥：中国科学技术大学出版社，2015：18-25．

1.3.2 生化指标测定 生化检验均按照标准采血并由医院检验科测得。生化指标由7170型日本日立株式会社自动生化分析仪测定；空腹血糖使用上海科华有限公司血糖试剂盒，氧化酶法测定；身高、体质量采用北京海波尔达科技有限公司的TCS-135-RTB型红外线身高体质量测量仪测量；血压采用日本A＆DCD.，LTD公司出产的 TM-2655P型无创电子血压测量仪测定前臂血压。