作为经典微积分的一种推广，分数阶微积分即是函数的任意阶导数与积分。由于分数阶导数算子具有记忆和遗传的特殊性质，利用分数微积分比整数阶微积分更能精准地描述动态系统的过程，目前与分数阶有关的常微分方程的研究已成为国内外学者关注的热点问题[1-5]。时滞是普遍存在的现象，时滞问题往往会影响系统的稳定程度和性能。近年来，关于时滞的分数阶微分方程的研究也取得了进展[6-7]。文献[6]利用不动点定理的方法推导出非线性分数阶泛函微分方程解的存在性条件，对整数阶常微分方程和泛函微分方程的初值问题进行了相应推广。在文献[7]中，Benchohra等讨论了下列隐式分数阶泛函微分方程可积解的存在性，

其中 0＜α＜1,f:J×B×B→R ，CDαy(t)表示 y的Caputo型α阶导数，B为拓扑空间，

受文献[6-7]的启发，本文主要讨论一类更广泛的具有无穷时滞的隐式分数阶泛函微分方程可积解的存在性问题：

其中0＜β≤α＜1，f:J×B×B→R，CDαy(t)表示y的Caputo型α阶导数，B为拓扑空间，yt(θ)=y(t+θ),θ∈(-∞,0]。方程(2)中同时具有两个不同的分数导数，运用分析技巧，分别利用Banach不动点定理和Schauder不动点定理获得可积解的存在性条件，推广了文献[7]中的相应结果。

下面介绍分数微积分的概念和引理。

定义在区间J上的所有连续函数的Banach空间记为C(J,R)且范数定义为

所有患者均符合DM诊断标准[1]：空腹血糖≥7.0mmol/L或餐后2 h血糖≥11.1 mmol/L，诊断过程中需排除肝脏疾病、慢性肾功能不全、应激状态、肢端肥大症、库欣综合征等原因导致的血糖继发性或一过性升高，排除其他继发性高血糖疾病，且年龄在50～75岁之间。其他排除标准：①合并严重心、肝、肾等脏器功能不全者；②酒精依赖或药物滥用；③受认知能力限制，无法接受健康教育者；④因精神疾患无法配合者。满足上述研究标准的100例该社区所属的糖尿病患者纳入该对照研究，入组的糖尿病患者进行均进行体检，内容包括内科、外科常规，胸片、心电图、腹部B超和生化指标检验，并建立健康档案。

令L1(J,R)记作区间在J上的Lebesgue可积函数且范数定义为‖u=∫T | u(t)|dt。0

定义1[3]设 f∈L1( )[ ]a,b,R+，对∀α∈R+称

为 f(t)的 α 阶分数积分，其中 Γ(·)为Gamma函数Γ(z)=∫0+∞e-ttz-1dt,z＞ 0 。

定义2[3]设 f∈L1([ a ,b],R+)，对∀α∈(0 ,1]称

为 f(t)的α阶Caputo型分数导数。

性质1[3]令α,β＞0，t≥0，有如下性质成立：

(1) 令Iα:L1(J , R+)→L1(J , R+)，如果 f∈L1(J ,R+)有

引理2[7]（Schauder不动点定理）设E是一个Banach空间，Q是E的一个凸子集，T:Q→Q是列紧且连续，则T在Q上至少有一个不动点。

(3)分数阶积分算子具有线性性质

引理1[8]（Banach不动点定理）设(x,ρ)是一个完备的距离空间，T是(x,ρ)到其自身的一个压缩映射，则T在x上存在唯一的不动点。

(2)如果 f∈Lp( )J,R+,1≤p≤+∞，有

(2)

引理4[7](Kolmogorov列紧准则）令Ω⊆Lp(J,R),1≤p≤+∞，如果

(1)Ω在Lp(J,R)上有界；

(2)当h→0时，uh一致收敛于u，u∈Ω，其中，则 Ω 在 Lp上是相对列紧的。

引理5[10]设0＜α＜1,y(t)∈C([ 0 , T])且f(t , y(t))∈C([ 0 , T]×C[0 ,T ] )，则y是分数积分方程

我期中考的成绩都及格，社团生活也还可以，虽然专业社长很白目，但珊珊学姐人很好，我跟其他社员的相处也算融洽。

的解，当且仅当y为分数微分方程初值问题

的解。

现在来定义方程(2)的积分等价方程。令空间

引理6满足初值问题(2)的等价分数阶积分方程为

由已知，可知该映射为压缩映射，存在唯一不动点，因而方程(2)有唯一解。

证明 显然，根据引理5，可得满足初值问题(2)的等价积分方程为

和初始条件

令 CDαyt=xt，可得

接下来计算

总之,胸、腹腔镜联合治疗食管癌患者术后并发症发生率较高,尤其以肺部感染发生率较高,加强外科基础护理并给予综合护理,能有效预防术后并发症的发生,提升患者术后生活质量。

运用性质1可得

1.4 数据提取 对符合条件的文献，由两名研究者独立提取以下内容：第一作者，出版年份，国家，纳入排除标准，研究设计与方法，临床病理因素分布，淋巴节转移，治疗干预，随访时间和完整性，分析策略（包括是否进行多因素分析）和MMR缺失与预后之间的关联，风险比（HR）及其95%可信区间（95%CI）。

运用引理3可得

这里面大部分的细节其实在写文的时候根本用不到，不过不想好这些，就不能动笔。直到全部想清楚了，这个人立起来了。好，那么可以下手了。

把(7)式和(9)式代入(6a)可得到(5a)。

在文中作(A)和(B)两项假设。

(A)假设：是函数→R的半范数空间，且满足下列基本性质[11]：

(A1)如果y:(- ∞,T ]→R且 y0∈B，则对∀t∈J满足下列条件：

(1)yt在B中，

引理3[9]如果，0＜α＜1，则

(3) ||y()t≤H‖‖ytB，

其中H≥0的常数，K:J→[0 ,+∞ )为连续函数，M:[0 ,+∞ )→[0 ,+∞ )为局部有界函数，H，K，M，不依赖于y(·)。

(A2)对于函数y(·)在(A1)上，yt是一个在J上Banach空间内的连续函数。

(A3)空间B是完备空间。

《合同法》第五十二条第(五)项规定了违法的合同无效。其中在《合同法司法解释(一)》和《合同法司法解释(二)》中对“违法”的“法”进行了进一步解释，即效力性强制规定。《合同法》属于民法，其规定多属于任意性的缺省规范，关于合同成立的一般规则自然不会被归入效力性强制规定之列，故格式条款对合同成立的时点进行变更不属于第五十二条第(五)项的违法无效。

(B)假设：f:J×B2→R，t∈J，且满足下列基本性质：

1.1 研究对象 选取自2014年1月至2016年12月辽宁中医药大学附属第二医院收治的因外伤致肩关节首次前脱位的51例患者为研究对象。其中，男性48例，女性3例；年龄16～39岁，平均(26.0±10.5)岁。本研究经医院伦理委员会批准,患者均签署知情同意书。

(B1)f:J×B2→R ，t∈J可测，在 t∈J中对任意的(u 1,u2)∈B2且对所有的(u 1,u2)∈B2连续。

(B2)存在常数k1＞0，k2＞0使得不等式

成立，其中 t∈J ，对 ∀x,xˉ,y,yˉ∈B 。还需令 Kb=sup{| k (t)|:t∈J} 。

文章选取高技术产业5大创新主体，设置医药制造业为创新主体A、航空设备制造业为创新主体B、电子通信设备制造业为创新主体C、计算机设备制造业为创新主体D和医疗仪器设备制造业为创新主体E，开展DEA效率评价研究。建立评价指标体系见表1。文章数据来源于2015版、2016版和2017版《中国科技统计年鉴》

下面介绍本文的主要结果与证明过程。

分别运用Banach和Schauder两种不动点推导方程(2)解的存在性条件。首先利用Banach不动点讨论解的存在性。

定理 1 满足假设(A1)～(A3)，(B1)，(B2)，若＜1，则初值问题(2)在区间( ]-∞,T上存在唯一解。

证明 方程(2)可转化成不动点问题。定义算子N:Ω→Ω如下

用Banach不动点定理来证明算子N有唯一不动点，令x(·):(- ∞,T ]→R定义为如下函数

随着振兴苏北战略的实施，苏北地区园林绿化发展迅速，绿化指标在同类城市中处于领先位置，如近年来，徐州以创建国家生态园林城市为抓手，大力推进城市生态园林建设，构建了功能完善、分布均衡、便民利民、管护精细的城市公园体系，继2005年获得国家园林城市称号后，2016年1月又获得首批“国家生态园林城市”称号.宿迁近几年重点建设“一山一河三路三园”，打造了一批园林亮点工程，形成以“大湖林海”为核心、外环路绿化为环、古黄河水系绿化为带、高速出入口为点、特殊区域为片的环城生态绿化格局.

则x0=φ ；对于z∈L1(J ,R)，且z(0)=0 ，定义 zˉ为

如果y()·满足分数积分方程

和初始条件y(t)=φ(t )，t∈(- ∞,0] ，则 y(t)=x(t)+zˉ(t)，t∈[0 , T]，可知对于每个t∈[0 , T ]，有 yt=xt+zˉt，则z(·)满足方程

令L0={z ∈L1(J ,R):z0=0} 和 ‖· ‖b是在L0上的半范数，定义为

L0为Banach空间其范数为‖·‖b，定义算子Q:L0→L0为

算子N有不动点就转化成了算子Q有不动点，即要证的是Q:L0→L0是压缩映射。

考察 z,z∗∈L0，对∀t∈，

和初始条件

其次用Schauder不动点来获得解的存在性结果。

定理 2 满足假设(A1)～(A3)，(B1)，(B3)，若，则满足初值问题(2)的方程至少有一个解，其中y∈L1( )J,R。

证明 令P:L0→L0为定义在(5)中的映射

(B3)存在一个非负函数a(t)∈L1(J)和常数q1＞0，q2＞0，使得下列不等式成立

基于约束‖x-s0‖≤r0,可以挖掘优化变量之间的其他内在联系。由于r0非负,在不等式约束‖x-s0‖≤r0两端同时乘上r0,得到将r0乘入范数内部得到:其等价于:

其中Mb=sup{| M (t)|:t∈J} 。

令Br={z∈L0,‖‖zb≤r}，显然Br是非空、有界、凸闭集合。只需验证算子P满足Schauder不动点定理的条件，此证明过程分为3步。

第二天，我把自己“武装”了一下：头上戴了一顶草帽，手上戴了一副破手套。我还准备了新的武器：一把镰刀，战场当然还是树林，对手也依然是马蜂。这次我是胜利者。当我用镰刀割下那马蜂窝后，转身拔腿就逃，跑出不多几步，就听见一片嗡嗡声在头顶响起，草帽上停落了好几只马蜂，但是它们对我的防御系统无可奈何……

（i）P是连续映射。

波埃修举了一个例子：看到马车夫领着车队掉头，诸如此类的事情发生时，并没有必然性迫使它们发生。当其正在发生的时候，并没有使之受迫的必然性；而这些事情在发生之前，也都属于未来，并无必然性可言。他认为这个例子一定程度上表明在排除必然性的情况下事件也可能自由发生。

令zn为L0上的zn→z的函数列，则

因为 f为连续函数，则当n→+∞时

（iii）P是列紧的。

令z∈Br。 f是一个连续函数，对于∀t∈[ ]0,T，有

可得 ‖(P z) ‖L1≤r，即 PBr⊂Br。

（ii）P是Br到其自身的映射。

PBr是相对列紧的，显然PBr在L0上是有界的，即满足Kolmogorov列紧准则中的条件(1)。下面证明有关Kolmogorov列紧准则中条件(2)。

在 L0中对∀z∈Br，有

当 z∈Br⊂L0和假设(B3)成立，即 f∈L0，通过性质1可得 Iαf∈L1(J,R)，有当h→0，t∈J时，

沿海区由于靠海，自然元素充足，阳光灿烂、沙滩平坦、风景优美都能满足游客追求放松、娱乐的条件。因此海岸线在规划之前本身就具有很强的视觉观景性，对整个岛屿经济的发展，都有着直接和间接的价值。为实现人类与生态和谐共存，应做到合理利用自然环境，坚持生态环境保护，力求在开发建设时期对当地的生态环境破坏减到最小，从而实现取之自然，还之自然的原则，共同完成沿海景观带自我发展、自我保护和自我平衡的生态景观系统。

故(P z)h一致收敛于(P z)。

根据Kolmogorov列紧准则，PBr是相对列紧。由Schauder不动点定理，可知此映射至少有一个不动点，因而满足

的方程(2)在Br中至少有一个解。

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