线性空间和欧氏空间是线性代数的两个主要研究对象，本科阶段线性代数主要介绍了线性空间上的线性映射、线性变换、对称双线性函数、二次型以及欧氏空间上两种特殊的线性变换，即正交变换和对称变换[1-3]。但一般教学中没有涉及欧氏空间之间的一般线性映射，从线性代数研究的系统性来说，欧氏空间上的一般线性映射是很有必要介绍的。

由于科学公信力七个观测变量以及三个潜变量之间变化的一致性较强，两两之间的协方差均为正值，笔者采用将潜变量对应的显变量取值加总的方式，生成三个新的显变量，再对其进行描述性统计与验证性因子分析，结果如表7所示。

矩阵是研究线性空间上各种映射的最主要工具，这是因为映射的线性性或双线性性保证了它可由其在一组基向量上的作用唯一确定，由此可以通过选取线性空间的基，再用矩阵来表示整个映射。研究这些映射的“最简单”矩阵表示，即标准形理论，它是线性代数的核心内容，一般有几何方法和矩阵方法，其中几何方法是根据空间分解理论来寻找合适的基，使得这些映射在这些基下的矩阵具有最简单的形式；矩阵方法是先根据不同基下矩阵之间的等价关系寻找相应的完全不变量，再根据完全不变量直接写出相应的最简单矩阵表示。不难看出，矩阵方法都对应着一种矩阵分解理论。矩阵的分解是将一个矩阵分解为若干个满足一定条件的矩阵之和或乘积。常见的矩阵分解有等价标准形分解、Jordan标准形分解、满秩分解、极分解、正交-三角分解、奇异值分解等[4-5]，其中奇异值分解是极为重要的一类分解，它不仅有着丰富的理论意义[6]，同时在物理、计算机、电子等诸多学科中都有着重要的实际应用。本文主要研究欧氏空间上一般线性映射的标准形，并讨论这一标准形理论与矩阵奇异值分解的关系。

先回顾线性空间之间的一般线性映射及其标准形理论。设σ为线性空间V到W的线性映射，任取V的一组基ε1,ε2,… ,εn和W 的一组基，则记

其中A=(aij)为m×n矩阵，称其为σ在这两组基下的矩阵。注意选取不同的基，得到的矩阵就会不同。因此，若通过矩阵A来研究σ，自然就需要分析不同基下矩阵之间的关系。不难验证这种关系正是矩阵的等价关系（又称相抵关系），于是只有等价的矩阵所共有的性质才能作为线性映射的性质，也就是说只有矩阵的等价不变量才能用来描述线性映射，如矩阵的秩可以用来刻画线性映射。线性变换在不同基下的矩阵是相似的，故所有相似不变量，如特征值、行列式、迹、特征多项式和极小多项式等，也都可以用来描述线性变换。对称双线性函数或二次型的矩阵是对称阵，不同基下矩阵是合同的，则合同不变量，如实对称矩阵的正、负惯性指数，也就可以用来刻画实对称双线性函数和实二次型。因此，寻找各种映射的最简单矩阵表示（又称标准形问题）自然成了关键问题，该标准形一旦找到，各种不变量都将一目了然。

对于线性映射，由矩阵的初等变换得到一个最基本的矩阵分解，即对任意m×n矩阵A，总存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得

其中Ir为r阶单位阵，r为A的秩，O 为相应阶的零矩阵。由此可知，总存在V的一组基和W的一组基，使得σ在这两组基下的矩阵形如

由此可以立即求出秩、核和像。

线性变换的相似标准形与基域有很大的关系，如复数域情形有Jordan标准形，一般数域情形有有理标准形，这里仅以复线性变换的Jordan标准形为例。利用λ-矩阵理论，对任意n阶复矩阵A，总存在n阶可逆阵P，使得

定理 设φ:V→W为欧氏空间V,W之间的线性映射，则总存在V和W的标准正交基，使得φ在这两组标准正交基下的矩阵为其中 D=diag(λ1,…,λr)，λi＞0 ，i=1,…,r。

圩区退耕后的利用方向：第一，畜牧业作为替代产业，利用湖草作饲料，或引种和培育优质牧草，洪涝期过后种植黑麦草，可确保洪涝期和越冬期饲草需求。湿地畜牧业具有生产成本低而产品质量高的特点，退耕前后经济效益下降有限。第二，立体养殖业，经营对象主要有螃蟹、珍珠、四大家鱼、菱藕、养鹅业、养鸭业等。圩区退田养殖或种植高效水生作物已有历史，退耕前后经济效益有提高。更重要的是有效利用农业资源，规避了洪涝灾害。

近日，海口市琼山区法院一审以被告人程立生犯受贿罪，判处有期徒刑五年，并处罚金人民币50万元。没收赃款249.3万元，上缴国库。

定义 设A，B为m×n实矩阵，若存在m阶正交阵U1和n阶正交阵U2，使得B=U1AU2，则称A与B正交等价。

张敏,傅长松,王金芳,等.光程倍增光纤陀螺偏振误差相关抵消的研究[J].光子学报，2018，47(12)：1206004

从认知难度上看，循环小数、有限小数和分数形式的数的理解要比整数困难，但是RJ版教科书中以整数形式考查有理数的例题数目要多于分数和小数，对形式不易理解的数的举例少于易理解的数，甚至未涉及循环小数的例题，这易导致学生对难点掌握不牢固．CM教科书中以分数、有限小数形式考查有理数的例题数量要大于整数，相比RJ版教科书更遵循学生的认知难度．

双线性函数的合同标准形与基域也有关，这里仅以实线性空间为例。由对称矩阵的合同变换知，对任意n阶对称阵A，总存在n阶可逆阵P，使得

因此，任一实线性空间上的对称双线性函数或二次型，总存在一组基，使得它在该基下的矩阵形如

并由此可以看出正、负惯性指数。

下面主要讨论欧氏空间的一般线性映射。从实际几何应用的角度看，标准正交基对应着直角坐标系，因此对于欧氏空间，选取的基一般都是标准正交基。

((φ* ∘ φ)(α),α')=(φ(α),φ(α'))=(α,(φ* ∘ φ)(α'))，即φ*∘φ为欧氏空间V上的对称变换，这一点当然从 φ*∘φ 在标准正交基 ε1,ε2…,εn下的矩阵ATA为对称阵也很容易看到。进一步，再由ATA的半正定性可知，φ*∘φ有n个非负实特征值，不妨设为 λ12,…,λ2r,0,…,0，其中 λ1,…,λr＞0,0≤r≤n 。 设φ*∘φ 在V 的标准正交基 α1,α2,…,αn下的矩阵为diag(λ12,…,λ2r,0,…,0)，记 βi=φ(αi)，i=1,…,r ，则 β1,β2,…,βr为W的一个标准正交向量组。事实上，

由Jordan标准形与其对应的基可以直接看出A的特征值与特征向量、特征多项式、极小多项式、特征子空间、根子空间等。

显然正交等价也是Rm×n中的一种等价关系，即满足自反性、对称性和传递性。欧氏空间上的线性映射在不同标准正交基下的矩阵是正交等价的。下面用几何方法探寻“正交等价标准形”。

其中 J(λi,mi)（i=1,2,…,s）为对角元为 λi的 mi阶Jordan块。由此可知，对于复线性变换A，总存在一个基，使得A在该基下的矩阵形如

将军满以为对方会以拇指食指攻向己方手上穴道，因此运起横练功夫，一只手如同铜浇铁铸一般，抓着弓身岿然不动。谁知那小婢先以另外三指轻扣将军未及防备的脉门。

最后，类似讨论酉空间上的一般线性映射的标准形，用酉矩阵代替正交阵，便可得到复矩阵的奇异值分解。

考虑φ与φ*的复合映射φ*∘φ:V→V，则对任意 α,α'∈V 有

证明 设φ*:W→V为线性映射φ的伴随映射，即对任意 α∈V,β∈W ，都有

设V,W分别为n维和m维欧氏空间，ε1,ε2…,εn和 η1,η2,…,ηm 分别为 V 和 W 的标准正交基，线性映射φ:V→W在这两组基下的矩阵为 A。设 φ在V的另一组标准正交基ε'1,ε'2…,ε'n和W的另一个标准正交基η'1,η'2,…,η'm下的矩阵为 B，则 B=P-1AQ，其中 P，Q分别为从η1,η2,…,ηm 到 η'1,η'2,…,η'm 和 从 ε1,ε2…,εn 到ε'1,ε'2…,ε'n的过渡矩阵，从而 P ，Q 均为正交阵。

其中将 β1,β2,…βr扩充为W 的一组标准正交基 β1,…,βr,βr+1,…,βm，则 φ 在 V 的标准 正 交 基 α1,α2,…,αn 和 W 的 标 准 正 交 基β1,β2,…,βm下的矩阵即为

成为 φ的正交等价标准形，其中D=diag(λ1,…,λr)。

上述证明过程中，λ1,…,λr称为线性映射φ或矩阵A的奇异值。与正交等价标准形相对应的矩阵分解正是矩阵的奇异值分解，即对任意m×n实矩阵A，总存在m阶正交阵U1和n阶正交阵U2，使得

其中 D=diag(λ1,…,λr)，且 λ12,…,λ2r为ATA的所有非零特征值。上述欧氏空间上线性映射的标准形的推导本身也给出了奇异值分解的一种证明。

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推论 设A，B为m×n实矩阵，则A与B正交等价的充分必要条件是它们的奇异值对应相同。

事实上，若 φ 在V 的基 ε1,ε2…,εn和W 的基η1,η2,…,ηm下的矩阵为 A ，则不难看出 φ*在基η1,η2,…,ηm 和基 ε1,ε2…,εn下的矩阵为 AT，即 A的转置。 此时，对任意 α∈V,β∈W ，设 α 在基ε1,ε2…,εn 下 的 坐 标 为 X∈Rn ， β 在 基η1,η2,…,ηm 下的坐标为 Y∈Rm ，则 φ(α)在基η1,η2,…,ηm 下 的 坐 标 为 AX ，φ*(β) 在 基η1,η2,…,ηm下的坐标为 ATY ，则

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参考文献：

最近几年来，离开家乡外出觅食中，目前暂居于浙江温州。我觉得最理想的生活方式莫过于本人的签名：劈柴喂马，撩拨山水。一个是生活，一个是梦想，我将为此而努力。

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