复变函数论是高等师范类院校数学类专业的一门专业必修课，无论从知识结构层面的承前启后，还是从数学能力和素养方面的培养来看，复变函数论的教学对师范生的培养都起着十分重要的作用。有关复变函数论的教学方法已引起了广泛的讨论[1-4]。本文通过实例，应用类比逆否、逆命题和反例等3个方面开展教学。

1 应用类比思想的教学

当复数的虚部等于零时就化为实数了，实数可以看成是复数的特例。因此在教学中要有意识地将函数在复数域与实数域内的定义、定理、公式等进行对比。事实上，不仅在实数域内的函数定义、极限、连续、导数、微分、积分以及级数等都可以类推到复数域，这些思想和方法也能类推到复数域，如复积分的参数积分法，就完全类推了第一类曲线积分中的参数积分法。当然，也要注意复数既然是实数的推广，也必然会存在一些不同之处，如实数域内成立的等式关系、代数恒等式、三角函数等式等，在复数域内仍成立，而不等式关系却不一定成立，如复数的大小关系、正余弦函数的模不再小于等于1，等等。因此，在复变函数论课程教学中，要将类比的思想贯穿始末，并从保留、失去、增加的角度把握其与实变函数的异同，指出复变函数比实变函数更复杂的特性，引导学生在学习中既要找出相似点，也要弄清不同点，有利于学生深刻理解、灵活掌握复变函数的理论和方法。

2 合理利用逆否、逆命题教学

在复变函数这门课程教学过程中发现，有部分学生在潜意识中没有原命题与逆否命题等价的概念，没有写逆否命题的习惯，也不会写定理的逆否命题，更不会想到用逆否命题去研究问题。下面通过几个实例来探讨如何运用逆否、逆命题进行教学。

例1[5](定理2.1） 设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内有定义，且在D内一点z=x+iy处可微，则（1）偏导数 ux,uy,vx,vy在点 (x,y)处存在；（2）u(x,y)，v(x,y)在点(x,y)处满足柯西-黎曼方程。

谷文达是陆俨少的学生。陆在浙美研究生班执教时已70岁，但艺术上仍求新求变，很欣赏谷的灵气，尽管对其离经叛道的做法也有自己的看法，但通常保持沉默，认为年轻人的创新精神应当支持。用谷的说法，“对于我感兴趣的前卫艺术，恩师给了我最大的包容”。

例6 在数学分析中，很难构造出处处连续又处处不可导的函数，而在复数域内却很容易找到这样的实例，如 f(z)=zˉ其对应的u(x,y)=x,v(x,y)=-y，易知这里两个二元函数u(x,y),v(x,y)均在平面内处处连续，再由复变函数连续的充要性可知，f(z)=zˉ在复平面内处处连续。但由导数定义容易判定其在复平面内处处都不可导。

同时，也要强调定理2.1的逆命题不成立。如考虑函数 f(z)= 在点z=0处的可微性，易知u(x,y)= ,v(x,y)=0。由二元函数偏导的定义，有ux,uy,vx,vy存在且满足柯西-黎曼方程。然而通过复变函数导数的定义可得函数 f(z)= 在点z=0处却不可导，从而不可微。

在复变函数论教学中运用反例来说明问题，首先要注意反例的选取，总的来说要以简单应用为准，教师在课前应该精心挑选，反复斟酌，若选取的反例晦涩难懂，会适得其反。其次，在教学中要通过创设问题的情景，激发学生兴趣，引导学生自己构造反例，从而达到教学目的。，其中C为|z|=3。有些学生没有认真分析被积函数在积分路径所围的区域内有两个奇点，直接运用柯西积分公式得到

例2 关于数项级数的敛散性，文[5]给出了如下结论：收敛级数的通项必趋于零。

由该结论的逆否命题容易得到，若级数的通项不趋于零则其必发散。可以看到该逆否命题是判断级数发散的一种直接有效的方法。在教学中，不仅要强调用该逆否命题判断级数的有效性，还要引导学生注意原结论的逆命题不成立。以经典的调和级数为例，该级数虽然通项趋于零,但它是发散的。

若直接证明该定理难度较大，而考虑其逆否问题“若解析函数 f(z)在区域D内某一点z0处有f'(z0)=0，则 f(z)在D内非单叶的”就简单多了。事实上，文[5]就是通过反证法利用儒歇定理证明了 f(z)在D内是非单叶的而得到定理6.11。

在教学中，可以先让学生独立地写该定理的逆否命题。有的学生不能正确地写出其逆否命题，问题主要体现在这里条件比较多，学生不知道该对哪些内容进行否定。所以在教学中，一定要向学生强调“函数 f(z)在|z-a|＜R内解析且a为其零点”可以看成一个大的前提条件，这里不能被否定。这样，学生就较容易写出该定理的逆否命题：若函数 f(z)在|z-a|＜R内，a为其零点，且在a的任意邻域内，f(z)都有异于a的零点，则f(z)必恒等于零。事实上，这个逆否命题就是经典的唯一性定理。在课堂上可以通过这个逆否命题完美地引出文[5]中定理4.18与后面唯一性定理的联系，让学生能同时掌握这几个定理。

例4通过证明逆否命题成立得出原命题成立，即通常所说的反证法。例如文[5]中定理6.11：若函数 f(z)在区域D内单叶解析，则在D内 f'(z)≠0。

例3[5]定理4.18若函数 f(z)在|z-a|＜R内解析且不恒等于零，a为其零点，则必有a的一个邻域，使得 f(z)在其内无异于a的零点。

通过构造反例，明确定理、公式的适用范围，加深对定理、公式的理解。

在实际的建筑工程施工过程中，一些建筑企业为了自己的经济利益，缩减管理人员编制，导致在工程管理控制过程中，往往是一人身兼数职，管理效果大打折扣，无法有效地控制施工维持在相对安全的条件下，无法监控每一个施工环节保证自身质量。而且一旦某一个环节出现问题，也比较难以追查最终责任负责人。导致公司施工管理以及质量控制工作目标不能实现。

3 通过反例进行教学

1980年美国数学家盖尔鲍姆出版了一本有关反例的经典著作《分析中的反例》。他曾说过“一个数学问题若能用一个反例予以解决，给人的刺激犹如一出好戏剧”。让学生学会构造反例不仅是培养学生数学思维的有力手段，而且也是课堂教学的基本训练内容。学生在刚开始学习某个基本概念、定理和公式的时候，通常对这些概念、定理和公式的理解不甚全面和透彻，因此在教学过程中，需要通过对命题的条件加强或减弱，对概念的内涵和外延进行讨论，反例是最好的处理方法。下面给出一些具体反例应用。

目前，众创空间的发展已进入转型升级阶段，需要将创新价值链与产业价值链内的各类要素进行高效整合。因此可以从信息、资本、市场等核心要素入手，探索众创空间的运行机制。其运行机制主要包括价值创造、资源整合以及协同创新机制。

复变函数是将函数从实数域推广到复数域，它的许多概念与数学分析有着必然的联系，有些性质甚至完全一样，但有些性质却截然不同，在教学中尤其要注意。

进入大学后，交往范围比以前有所扩大，学生渴望建立良好的人际关系，但由于缺乏应有的经验和能力，在一定程度上会有交际困难，容易产生自闭偏执等心理问题；再加上目前社会人才竞争激烈，就业市场不景气，生活节奏快，人际关系复杂等，导致许多大学生面临巨大的精神压力，缺乏安全感，精神负担加重，有的甚至会产生烦躁、恐惧、无助、焦虑、自卑等心理；另外，人格不完善导致的特定阶段心理素质的脆弱和个性缺陷是造成大学生心理亚健康的又一诱因，情绪不稳定、自制力差、对挫折和失败缺乏心理准备等使大学生陷入不良的心理状态[10]。

例5 在实数域内sinx,cosx都是有界函数，而在复数域内该性质就不再成立。如判定级数的敛散性。有学生可能这样判定：由收敛，所以原级数收敛。这里学生把cos(in)当成了实变函数中的有界函数，从而得到了错误结果。事实上，注意到

由例1可得原级数发散。

例7柯西积分定理对函数 f(z)的实部与虚部不成立。如 f(z)=z，其在复平面内处处解析，取积分路径C:|z|=1。由参数积分法，令z=eiθ,θ∈[0,2π]，分别有

由此可见，洛伦兹力的分力f2的总的合力等于安培力，那就是说洛伦兹力的分力f2的宏观表现就是导体棒上所受到的安培力。因此安培力并不是所有洛伦兹力的叠加，而是洛伦兹力的一部分分力的矢量叠加。从数学上来说二者的关系如下：若我们把安培力作为集合A，洛伦兹力的叠加作为集合B，那么就可以说是B≠A，而A∩B=A就是A⊂B，其包含关系如图3所示。

注意到，该定理的逆否命题可以简单地叙述为若条件（1）、（2）有一个不成立，则 f(z)在点z=x+iy不可微。在教学中，除了要详细地阐述该逆否命题，还要通过实例说明其是证明函数在一点处不可微的有效手段。如研究函数f(z)=x-iy在复平面内的可微性，容易看到u(x,y)=x,v(x,y)=-y。故u(x,y),v(x,y)在复平面内任意点(x,y)处都不满足柯西-黎曼方程，从而由文献[5]定理2.1的逆否命题可得 f(z)=x-iy在任意点z=x+iy处不可微。

其三，完善岗位职责，实行持证上岗制度。根据新形势下油田企业合同管理的需要，进一步制定和完善合同管理人员岗位职责，明确他们的责、权、利，建立竞争机制，对有贡献的合同管理人员给予奖励。坚持持证上岗和年检考核制度，努力做到专职合同管理人员100%持证上岗，增强合同管理人员的责任感。

因此，在教学中讲解一个定理时，根据需要尽量给出逆否命题。对一些常用的逆否命题，要求学生自己尝试写逆否命题，并逐步掌握和运用逆否命题的能力。

在课堂上，通过构造反例，既可以揭示概念的本质，又可以加深学生对概念的理解。

这样，尽管函数 f(z)沿C的积分为零，但 f(z)实部与虚部沿C的积分却都不等于零。

例8 柯西积分公式是柯西积分定理的推广，而很多学生在如何运用柯西积分定理会感到棘手。问题主要体现在没有较好地弄清楚积分的被积函数。柯西积分定理叙述如下：f(z)在以光滑曲线C为边界的区域D内解析，在C上连续，则对 z∈D，有

注意到已知条件是函数 f(z)在区域D内解析，而上式的被积函数在区域D不是解析的，而是有且

其中C为|z|=1。部分学生没有意识到被积函数在积分路径所围区域内解析，而错误的运用柯西积分公式得到I= 2 πiz|z=2=4πi。再如求积分仅有一个奇点。如求积分

而导致错误。

(4)C真空泵入口阀门内漏：在该泵备用时，空气从真空泵出口处被倒吸入运行真空泵入口，漏点性质为大漏点，泄漏原因为阀门的密封面损坏，需进行研磨处理。在2018年的C级检修中，对此阀门进行了处理，处理后漏点消失。由于此类型漏点比较隐蔽，查找时不易被发现，需重点关注。

以产业的所有岗位的紧缺度指数从大到小进行排序，同时设立高紧缺、较紧缺、一般紧缺、不紧缺四个紧缺度级别。紧缺度级别的确定标准为将紧缺度级别按照行业领域内紧缺度指数排序并做标准化处理后，大于2个标准差的视为高紧缺，1-2个标准差的视为较紧缺，0-1个标准差的视为一般紧缺，小于0个标准差的视为不紧缺。为每个紧缺岗位划分级别，建立岗位要求画像。

4 结束语

总的来说，在复变函数论课堂教学中，要根据教学内容，充分利用“类比，写逆否、逆命题，举反例”的教学方法，积极调动学生的积极性和主动性，让学生主动求和、积极思维，从而提高复变函数论课程的教学质量。

参考文献：

[1]张庆.复变函数论课程教学改革的探索与实践[J].唐山师范学院学报,2017,39(2)：121-122.

[2]伍代勇.复变函数教学中的几点体会[J].安庆师范学院学报(自然科学版),2012,18(3)：92-94.

当然，我党所提出的以人为本理念，一方面借鉴了“近代西方人本主义反对迷信、崇尚科学，反对专制、崇尚自由，反对神性、张扬人性”［5］等进步内容，另一方面也剥离并抛弃了其“抽象的、永恒不变的人性观”［5］。但二者的共性却是一致地尊重人的主体地位及其在社会发展中的作用，同样找不到统治阶级以及其代言人——国家的地位。

[3]王言芹.关于不同专业《复变函数》教学的体会[J].兰州文理学院学报,2015,29(3)：102-105.

[4]刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学,2012,28(2)：155-158.

[5]钟玉泉.复变函数论[M].4版.北京：高等教学出版社,2013：53,172,269.