1 引言

设G是一个有限群,X⊆G,定义其中o(x)表示元素x的阶.而研究ψ(X)对群G结构的影响是一件十分有趣的课题.从文献[1]可知,对于任何的n阶非循环群G,都有ψ(G)<ψ(Cn),其中Cn是n阶循环群,王华丽在文献[2]中利用群的元素阶之和及最高阶刻画了单群A5,目前对Sn已有许多刻画,例如毕建行在文献[3]中通过群的阶以及元的阶之集刻画了对称群Sn.本文利将用有限群中元素阶之和以及最高阶刻画5次对称群S5.

对于高职院校学生来讲，英语依旧是必修课程，但是非英语专业的学生在学习英语时难度相对较大，而且大多数学生会对英语产生抵触情绪。再加上现实生活中，缺乏完善的语言应用环境，学生在学习英语口语时，很容易出现错误，即少数学生的英语应试能力良好，而口语表达能力明显不足，无法用简单的英语进行交流。语言之所以存在，就是为给人际交往提供便利，如果英语学习只是单纯应对考试，那么真正价值就难以得到充分发挥。所以，英语教师通过深化改革并创新教学模式，以此提高学生的口语表达能力已经成为必然趋势。PBL教学模式以其自身的独特优势，在英语口语教学中备受青睐，其主要通过创建语言环境，设置开放式，具有现实意义的问题。

根据大量的实验可知，随着节点数目的增加，跳数在逐渐减少.由于随着节点数目的增加，可靠的下一跳节点数目也在增加，使得3种路由都选择距离目的节点最近的节点成为转发节点，减少了跳数.从图中可以明显的看出，RAR路由在节点数小于57时，其跳数远大于其他2个路由算法，而当节点数大于60时，其跳数逐渐接近于GPSR，而小于SLFB路由算法.这是由于当节点数少时，RAR路由算法寻找到的可靠下一跳节点并不是距离目的节点最近的节点，这就使得为了保证可靠性而去缩短了一跳的范围.但是随着节点数目的增加，同时节点的移动速度也比较慢，这就使得选取的下一跳节点更加容易是距离目的节点最近的节点，从而减少了跳数.

为了叙述方便,用np(G)表示有限群G中Sylow-p子群的个数,记Pn为群G的Sylow-n子群,m(G)=max{o(g)|g∈G},mt(G)表示群G中阶为t的元素的个数,πe(G)表示群G中元素阶的集合.在不引起混淆的情况下简记为np,m,mt.本文中所讨论的群都是有限群,其他符号都是标准的.

容易知道S5有25个2阶元,20个3阶元,30个4阶元,24个5阶元及20个6阶元.故ψ(S5)=471,m(S5)=6.

由于联轴器的工况复杂，运行环境比较恶劣，因此出现失效的概率比较高。联轴器的常见失效形式有频繁打滑和膜片断裂。其中，联轴器频繁打滑，超过联轴器扭矩限制器允许的打滑次数，将导致扭矩限制器失效，机组无法正常运行。联轴器膜片断裂，轻则将导致联轴器无法传递载荷，机组无法正常运行，重则导致联轴器在运行过程中甩出，损坏其它部件，造成安全事故。因此，在风电机组联轴器设计过程中，需要了解其应用环境和技术要求；在联轴器样件制造完成后，需要进行相关的测试验证；在联轴器实际运行过程中，需要重点监控可能导致联轴器失效的因素。如发现问题，需及时进行整改。

本文将证明G≅S5当且仅当ψ(G)=471,5∈πe(G),m(G)=6.

2 预备知识

设G是一个有限群,满足ψ(G)=471,m(G)=6.由于对任意的群G都有

若|N|=4,令显然由此可知群为可解群.令为群的极小正规子群.则与上面相同讨论可知的取值可能为2,3,5.

因此

1+2(|G|-1)471=ψ(G)1+6(|G|-1)

一个8m3的沼气池每年一般换料2次，共可产沼肥12m3左右。其中含氮素45kg、磷15kg、折尿素98kg、10%过磷酸钙150kg[16]。按照中国化工网报价尿素的价格为1 630元/t，普通过磷酸钙的价格为350元/t。以中国沼气农户对沼肥的利用率40%[17]计算400m3沼气发酵残余物沼渣沼液的肥料替代效益，结果如表6所示。

在康有为尊碑思想的原因方面，张日安[23]从清朝的历史背景、书学思潮及康有为的哲学观等方面进行了剖析，提出和康有为尊碑思想密切相关的有4个方面：①清朝大量碑碣的出土、佳拓的流传，清朝帖学的由盛转衰，都为康有为尊碑思想提供了良好的生长环境；②清朝其他书法家的碑学思想也直接影响康有为的尊碑思想的形成；③包世臣对康有为的尊碑思想产生了深刻影响；④虽然清代卑唐尊碑风气日盛，又有阮、包思想的影响，但最终让康有为尊碑思想发芽开花的还是其自身的哲学观在起决定性的作用。

将n2的取值依次带入可发现m3与m6无全正整数解,故此种情况不存在.

在得出主要定理之前,先给出几个引理.

引理1 设群G为有限群,若|G|=120,m(G)=6.则群G≅S5.

证明 首先证明群G为不可解群.

若群G为可解群,则令N为群G的一个极小正规子群,则由群G可解可知群N为初等交换p群.故群N的阶可能为2,3,4,5,8.下面分情况讨论.

若|N|=2,则易知N⊆Z(G),则此时G中有10阶元,与m(G)=6矛盾.

1+2(|G|-1)ψ(G)1+m(|G|-1)

若则易知群中有10阶元,可知群G中有10阶元,与m(G)=6矛盾.同理可得当或时,群G中有15阶元.

针对当前高校课程教学质量评价存在的问题，同时考虑课程教学是教师和学生信息交流的复杂过程，存在动态性、多因素性、模糊性等特征，论文提出层次分析法和模糊评价法相结合的综合评价模型，并联系实际进行实证研究。

若|N|=8,则令易知中有15阶元,故可知群G中也有15阶元,与m(G)=6矛盾.相同讨论可知:|N|=3,|N|=5的情况也不存在.因此群G为不可解群.

由群G的不可解性可知N为同构的非交换单群的直积,且由A5为最小的非交换单群可知N≅A5.则由N/C定理可知:G/CG(N)Aut(N)≅Aut(A5)≅S5.下证CG(N)=1..

若CG(N)≠1,则存在素数p||CG(N)|,且素数p可能的取值为2,3,5.令x为群CG(N)中的p阶元.若p=2,则由N≅A5及x∈CG(N)可得到群G的一个10阶元,与m(G)=6矛盾.同样考虑p=3或p=5可得到群G中含有15阶元,与m(G)=6矛盾.因此CG(N)=1.

我跟乔振宇因为这些“政见不合”的事争执过多次，他一辩不过我必然出口抱怨：“我乔振宇堂堂一个大丈夫，当初怎么就猪油蒙心找了你这个油盐不进的三等女了呢？”

综上可知对有限群G,若|G|=120,m(G)=6,则群G≅S5.

取定群G的一Sylow3-子群P3,记C=CG(P3),易知群G中与子群C共轭的子群个数记为k,则k=|G:NG(C)|,由n3=|G:NG(P3)|,P3⊆C易知kn3.而又有P3charC◁NG(C),故可知P3◁NG(C).由此可得NG(C)⊆NG(P3).因此n3=|G:NG(P3)||G:NG(C)|=k.可得n3=k.由此可知若P3i≠P3j,则CG(P3i)≠CG(P3j),P3i,P3j为不同的Sylow3-子群.下证明对任意不同的的Sylow3-子群P3i,P3j,CG(P3i)≠CG(P3j)中不含6阶元.

证明 只需证明前一部分即可,后一部分可给出类似证明:设x∈G,|x|=6,则|x2|=3,由群G的Sylow3-子群为3阶循环群可知,存在Sylow3-子群P3i=〈x2〉.x∈CG(P3i),即群G中任一6阶元必属于群G的某一Sylow3-子群的中心化子.

引理2 设群G为一有限群,且群G的Sylow3-子群为3阶循环群,若群G中有6阶元,则m3|m6.若群G为一有限群,且群G的Sylow5-子群为5阶循环群,若群G中有10阶元,则m5|m10.

若有x∈CG(P3i)≠CG(P3j),|x|=6,则由|x2|=3,可知〈x2〉=P3i,x2〉=P3j,因此有P3i=P3j.产生矛盾.

综上可知此引理成立.

3 主要结论

定理1 设G为一个有限群,若ψ(G)=471,5∈πe(G),m(G)=6.则|G|=120.

若πe(G)={1,2,3,4,5,6},则P2为4阶循环群,P3为初等交换3群,由Sylow定理以及m=6可知n5=6,n3=10,n2可能的取值为3,5,9,15,45,且此时m5=24,m4=2n2.则有

情形1:γ=2,则由G的取值范围可知,α=1,β=1,则|G|=2·3·52=150,πe(G)={1,2,3,5,6},则有m3=2n3.由Sylow定理以及m=6可知n5=1或6,且n2≠1,n3≠1,n3的可能取值为10或25.由引理2可知存在正整数k使得m6=2kn3.此时有

(1)导墙施工范围内若存在软塑土体必须进行置换，置换范围应比导墙外边宽2 m以上，采用水泥与土拌合，分层压实。

(1)

若n3=10,则可得k=1,m5=24,m2=85,而m2=n2,而此时有n2不整除150故此种情况不存在.同理可知当n3=25的情况也不存在.

情形2:γ=1,此时α,β的取值分别为α=1,β=2;α=2,β=2;α=3,β=1.

若α=1,β=2,则|G|=2·32·5=90,πe(G)={1,2,3,5,6}.由Sylow 定理以及m=6可知n5=6,即G中有24个5阶元,n3=10,n2的取值可能为3,5,9,15,45.此时m2=n2.则有

从而79<|G|236,又m=6,故可以假设|G|=2α3β5γ,其中α,β,γ是非负的整数且α,β≥1.在下文中,G,α,β,γ都表示同一意义.

(2)

根据文献[6]，球杆系统的数学模型可通过拉格朗日方程描述。其优势在于通过求解系统的总动能和总势能即可求出系统微分方程，无需对系统各子部分进行建模。为得出系统总动能，首先对小球在导轨上的复合运动进行分析。

若α=2,β=2,则有|G|=22·32·5=180.

证明 若γ≥3,考虑群G的Sylow5-子群可知ψ(G)≥620.

2013年是黄河下游防洪工程建设的高峰年，为保质保量完成任务，黄委深入开展工程质量管理年活动，加强工程建设质量隐患检查，选择25个项目进行排查，对115处质量隐患进行集中整治，对11家参建单位和22名相关人员进行了责任追究。加大建设项目督导检查力度，覆盖率达100%。加强工程实体质量检测，对重要工程及关键工序实施“飞检”555多点次。

(3)

整理得m2-n2-3m6=115,而由n2的取值可知此时m2,n2,m6无全正整数解.

若πe(G)={1,2,3,5,6},则P2为初等交换2群,P3为初等交换3群,由Sylow定理以及m=6可知n5=6,且此时m5=24,因此有

(4)

整理得4m2+3m3=580,m3+4m6=40,由Sylow定理以及m=6可知n5=6,n3=10,n2可能的取值为3,5,9,15,45,由此可得m6的可能取值为2或4.

若m6=2,则群G有正规的6阶循环子群,此时群G中有15阶元,与m=6矛盾.

若m6=4,则群G有两个6阶循环子群.设为〈x〉,〈y〉,若〈x〉,〈y〉不互为共轭子群,则易知此二子群皆为正规子群,此时与上面进行相同讨论可推出矛盾.若〈x〉,〈y〉为共轭子群,故|G:NG(〈x〉)|=2,|NG(〈x〉)|=90,由N/C定理可知|CG(〈x〉)|=90或|CG(〈x〉)|=45,而此时CG(〈x〉)中有5阶元,易知群G中有15阶元,与m=6矛盾.

综上可知,α=3,β=1,|G|=23·3·5=120.

定理2 设G是有限群,则G≅S5当且仅当ψ(G)=471,5∈πe(G),m(G)=6.

一方面，教师应当正确认识自身角色定位，充分发挥其引导作用和辅助作用，在二胡演奏教学和训练的过程中制订科学合理的训练意志目标，层层递进；另一方面，教师应当引导学生根据训练效果的反馈信息正确分辨技巧的正确有效与否，明确自己的优势及应当改进完善的缺陷，有针对性地进行训练，从而攻克一个个技术难点。

证明:必要性显然.只需证充分性.

由定理1可知当ψ(G)=471时|G|=120.再由引理1可得G≅S5.

参考文献:

[1] H.AMIRI,S.M.JAFARIAN AMIRI and I.M.IASAACS.Sums of Element Orders in Finite Groups[J].Comm.Algebra,2009,37(9):2978-2980.

[2] 王华丽,周伟,晏燕雄.单群A5的一个新刻画[J].西南大学学报,2014：47-50.

[3] 毕建行.对称群的一个特征性质[J].数学学报,1990：70-77.

[4] 黄本文.对称群S5的特征性质[J].武汉大学学报,1998：557-560.

[5] 徐明耀.有限群导引[M].北京:科学出版社,2001.