一维扩散方程在数学物理领域扮演着非常重要的角色.近年来，关于这类方程的一些数值模拟方法逐渐发展起来，包括有限差分法[1-2]、有限元法[3]、有限体积法[4]等.然而，由于此类方程求解的复杂性，传统的数值模拟方法很难对其进行有效模拟.

格子Boltzmann方法(Lattice Boltzmann method，LBM)不同于传统的数值方法，它是介于宏观和微观的介观方法.LBM在求解非线性偏微分方程中，特别是在流体力学的研究中取得了很大成果，这是由于LBM具有物理背景清晰、边界容易处理、编程实现简单等优点.LBM提供了联系宏观和微观的可能性和现实性，除了在一般的流体力学问题中得到了成功的验证之外，在湍流[5-6]、多相流[7]、粒子悬浮流[8]等相关领域也具有广阔的应用前景.

本文利用LBM构造了一个D1Q3模型，可用于求解一维扩散方程，且本文模型可推广到高维情形.数值模拟结果与解析解相比也十分吻合,因此具有一定的研究意义.

1 模型及方法

1.1 模型建立

考虑如下一维扩散方程：

 

(1)

其中：α为常数；代表扩散项.

将一维空间离散成均匀的线性格子，将速度离散成3个方向，每个节点与相邻的节点相连.沿每一格线运动的粒子分布函数为fi(x,t),其中离散方向速度ei(i=1,2,3)分别为

(e1,e2,e3)=(0,1,-1)，

此即LBM中的D1Q3模型.

方程(15)×ε+(16)×ε2,并根据式(5)可得

根据统计物理，选择的格子Boltzmann方程为：

fi(x+eiΔt,t+Δt)-fi(x,t)=

(2)

式中分别为分布函数和局域平衡态分布函数，Δt为空间步长，τ为弛豫时间.为满足稳定性条件，要求τ≥0.5.式(2)也称LBGK(Lattice BGK，简称LBGK)方程.

同时，由于模型需要，定义宏观量u(x,t)满足：

 

(3)

1.2 D1Q3模型

对式(2)做Taylor展开，可得

 

即：

 

(4)

采用Chapman-Enskog[9-10]多尺度展开技术，可得

 

(5)

将(5)代入(4)得

 

(6)

比较上式两端ε的同阶项，可得

ο(ε):

 

(7)

所以

 

(8)

且有

 

(9)

ο(ε2):

(1)简化各种模型假设，分析并确定出初边界问题和计算区域等，并根据不同的物理问题，选择格子模型.

 

(10)

把(8)和(9)代入(10)得

借助产业风险评估的结果，在各产业中进行信贷资源的科学配置，从理论上分析这可以降低系统性风险，有效进行风险分散。通过测量产业的方差和产业之间的相关性，来确定投放到各产业的信贷资源的最佳额度和比例，可以让不同产业的风险进行抵消和分散，实现风险最小化和收益最大化。已有国外对信用风险的产业分散化问题进行研究后证明，产业信贷结构的分散化能有效帮助进行风险的控制。

 

(11)

则方程(12)变为

 

(12)

为验证上述模型的有效性，本文将给出一维扩散方程的例子，利用所推导出的模型进行数值模拟，并与相应的解析解做比较.

 

(13)

1.3 宏观方程的恢复及平衡态分布函数的导出

令

 

(14)

对(7)求和得

=0;

(15)

方程(13)变为：

 

(16)

强化工程运行维护管理。对工程度汛安全状况进行普查，完成河道整治工程根石探测352处，对3座直管水库进行了防汛安全核查。对工程管理重点难点问题进行专项整治，督促落实治理措施，促进工程面貌持续改善。编制《黄河水闸技术管理办法》，对水闸运行管理进行规范。发挥管理先进单位的示范引领作用，山东局牡丹黄河河务局通过国家一级水管单位考评验收。

其诗题有《乡人或病予诗多道蜀中遨乐之盛，适春日游镜湖，共请赋山阴风物，遂即杯酒间作四绝句，却当持以夸西州故人也》。

 

(17)

为恢复宏观方程，令

 

则

 

由(3)和(14)可得：

 

由此便得到了平衡态分布函数的表达式.

1.4 格子Boltzmann方法的计算步骤

采用LBM求解物理问题的基本过程如以下流程[11]，如果对于一个特定的流动(换热问题与之相差不大)问题，首先采用辅助步骤：

2014年4月，七兵堂与共青团济南市委联合开展了“公益阳光护航”行动。七兵堂派出专人进入15所中小学，向学生老师讲授安全防范意识，传授防火灾、防劫持、防暴力袭击等自我保护技能。2014年至2016年12月助学助残合计10万元；2015年5月扶持退役军人创业20万元；2016年6月设置100万公益救助基金，11月设置15万元救困扶贫基金；2017年6月开展“慈心一日捐”活动捐款3万余元。

幅流风机出风口处设置有送风格栅，幅流风机向下吹风，经过格栅进行风向的分列，用来增强吹风作用效果。扇叶长1.1 m，直径为8 cm，蜗壳上部开设有进风口，下部平面处为出风口。蜗壳以扇叶圆柱中心线为轴做来回圆弧摆动，使得出风口的位置不断变化，进而形成“扫风”的过程。

(3) 当任一锅炉主要辅机跳闸时,相应DEH接收快减信号后采用关小高调门来控制主汽压力(其关键在于汽机调门关闭幅度与关闭速率),使其能够实现滑压运行。根据锅炉RB后机组蓄热释放特性、主汽压力变化速率,设置DEH以额定工况下20%/min的速率减至70%对应的总阀位指令,高调门的实际开度由总阀位指令对应的通流曲线决定。锅炉主要辅机跳闸快速减负荷控制流程如图2所示。

(2)剖分网格.

苏家门口，贴着喜字。苏婷婷搀着杰克走进新房，杰克推开苏婷婷：不用你搀我，我没醉！杰克走到床边，苏婷婷手里的包一斜，红包落到床上。杰克接着把包倾囊而倒，红包全都倒在了床上。他惊讶地：哇，这么多红包！杰克将红包打开，又惊讶地：哇，这么多钱！杰克随即将红包一个个打开，然后杰克恍然地说道：我明白了，咱爸为何举行婚礼，这是一笔赚钱的买卖！

(3)根据不同的LBM模型，离散控制方程.

下面，便开始进行模拟：

(4)给出所划分网格节点上的宏观特征量(输运系数、温度、速度、密度等等)，计算各节点上的平衡态分布函数.

(5)求解(3).

(6)处理边界格式.

(7)计算网格节点上的宏观特征量.

(8)判断是否收敛.

代谢性高血压治疗的最终目标是在降压的同时改善糖脂等代谢紊乱，实现对靶器官的保护，降低心血管疾病的发病率和死亡率。目前，代谢性高血压的治疗方式主要是药物治疗和非药物治疗2种，且都与调节胃肠激素相关。

(9)如果计算收敛，输出计算结果，反之则返回到第(5)步重新计算直至收敛.

L误差(最大绝对误差)：

奠定好管理基础，还要借助飞速发展的现代化科技力量，全面提高生产基地生产加工效率，不断突破产量、质量瓶颈，全面提升企业综合实力。

2 数值算例

对(11)求和得

为验证模型的有效性，给出如下两个误差定义:

1.4 统计学分析 所有数据使用SPSS 18.0统计软件分析。计量资料以（）表示，计量资料的组间比较采用t检验，计数资料的统计分析采用χ2检验，通过受试者工作曲线（ROC曲线）评价疤痕子宫再次妊娠阴道分娩结局的诊断效率。以P＜0.05为有统计学意义，P＜0.01为有显著统计学意义。

以此将各观察指标小于等于截点值定义为低比值组，高于截点值定义为高比值组。两组患者的临床病理资料比较见表1和表2。

L

均方根误差：

 

其中，w(xi,t)代表精确解，u(xi,t)代表数值解.

算例1 考虑下述方程：

u(t,0)=u(t,l)=0, u(0,x)=0.

该方程的解析解为：

 

在模拟中，取Δt=0.001,τ=1,t=0.5和t=1.0.在不同空间步长和不同时刻下的模拟结果如表1所列.

 

表1 算例在不同空间步长及不同时刻的误差比较

  

tΔxL¥文献[12]中L¥RMS文献[12]RMS0.50.14.1×10-31.9649×10-21.3×10-37.0650×10-30.044.8×10-31.9782×10-21.5×10-37.1213×10-30.024.9×10-31.9885×10-21.5×10-37.1303×10-31.00.16.1×10-37.9017×10-31.6×10-33.1628×10-30.047.0×10-38.5597×10-31.8×10-33.3649×10-30.027.2×10-38.7351×10-31.8×10-33.3954×10-3

从以上模拟结果可以看出：本文模型的精度比已有文献的高，且数值解与精确解十分吻合，表明本文模型是有效的.

同时，给出了本文模型在时刻t=1时的数值解与解析解的对比结果，如图1所示.

算例2 考虑下述方程：

=v,0<x<1,t>0,u(x,0)=sin(πx),0≤x≤1,u(0,t)=u(1,t)=0,t>0.

该方程的解析解为：

此外，就被拐卖的妇女、儿童的理解而言，如果被拐卖的妇女、儿童已被他人收买的，也应属于被拐卖的妇女、儿童。一方面，对被收买的妇女、儿童而言，也存在予以解救的问题;另一方面，被收买的妇女、儿童在被收买之前，自然属于被拐卖的妇女、儿童。因此，被收买的妇女、儿童可以成为不解救被拐卖、绑架妇女、儿童罪的犯罪对象。

林小敏最后回到郝桂芹福大命好上,来照应前言。你说现在的男人,成功的,有钱的,哪个不是上班工作思来想去,下班电话约来约去,晚上吃饭眉来眼去,饭后唱歌摸来摸去,夜里桑拿翻来覆去,凌晨回家骗来骗去呀？你说卢主席呢,一样不沾,百毒不侵,事业有成,家庭和睦。这样的男人大姐摊上了,你说大姐福有多大,你说大姐命有多好？！

u(x,t)=e-π2tsin(πx).

为验证模型的有效性，采用matlab软件进行模拟并与已有文献作对比，结果如表2所列.

  

图1 算例当t=1时数值解与精确解比较(Δx=0.1)

 

表2 在不同网格下的最大绝对误差分析

  

N文献[13]文献[14]本文模型52.467×10-55.758×10-62.897×10-7104.707×10-63.926×10-72.846×10-8201.080×10-62.460×10-81.410×10-9402.643×10-71.538×10-98.272×10-11806.572×10-89.611×10-115.086×10-121601.641×10-86.007×10-123.170×10-13

3 结束语

本文针对一维扩散方程构造了一个D1Q3格子Boltzmann模型，通过Taylor展开和Chapman-Enskog多尺度展开技术，将一维扩散方程从格子Boltzmann方程中得到了恢复，同时得到了平衡态分布函数的表达式，并给出了两个数值算例，用matlab进行数值模拟，模拟结果表明，本文模型的误差比已有文献小，表明本文模型是有效的.虽然本文的模型是针对一维问题的，但是也可推广到二维或者三维情况，这将是下一步研究的重点.

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