0 引言

分数阶微积分(Fractional Calculus)是一种关于牛顿-莱布尼兹整数阶微积分的数学推广,它是关于任意阶次微分与积分的理论,是数学分析的一个重要分支.近年来,分数阶微分方程已经在自动控制力学、生物数学、物理学、力学等学科领域得到广泛而成功的应用.目前,国内外对分数阶微分方程边值问题的研究已经有了非常丰富的结果,可参考文献[1-7].

随着微积分理论的不断发展和完善,带脉冲的分数阶微分方程也逐渐引起了数学工作者的重视.脉冲现象是一种瞬时的、突然变化的现象,其数学模型往往可以归结为脉冲微分方程边值问题.脉冲微分系统的最大特点是能考虑到突变对状态带来的影响,能够更加简明清晰地看到事物的变化规律,这类系统在化学、控制理论、人口动力学、物理学、生物学、经济学等多个学科中都有非常广泛的应用,可参考文献[8-12].

随着分数阶微分方程的快速发展,在对人体注射药物的背景下,非瞬时脉冲微分方程在近几年被提出,非瞬时脉冲与瞬时脉冲是不同的,非瞬时脉冲开始于某一定点ti,并且此过程在一个有限区间[ti,si]上是连续的.随着非瞬时微分方程的发展，非瞬时脉冲的分数阶微分方程被广泛应用到机械工程、医学等领域，可参考文献[13-20].

据我们所知，目前还没有学者考虑半线性的非瞬时脉冲的分数阶微分方程,受文献[8,13,14]的启发,我们讨论下列半线性的非瞬时脉冲分数阶微分方程边值问题：

 

(1)

这是Caputo型分数阶微分,1<q<2,λ≥0;a,d>0；b，c≥0；J=[0,T],把J划分为

0=s0<t1<s1<…<tm<sm<tm+1=T(T>0),

函数gi,hi∶(ti,si]×R→R,i=1,…,m是连续函数,函数f∶C((si,ti+1]×R×R×R,R),i=0,1,…,m;并且函数I1,I2:PC(J,R)→R是连续的.这里

(Ku)(t)=k(t,s)u(s)ds,t∈J;(Hu)(t)=h(t,s)u(s)ds,t∈J

是积分核k,h的积分算子,其中

k∈C(D,R+),D={(t,s):0≤s≤t≤T};h∈C(D0,R+),D0={(t,s):0≤s,t≤T};R+=[0,+).

令

 

1 预备知识和主要引理

假设PC(J,R)={u∶J→R∶u∈C((tk,tk+1],R),k=0,1,…,m,并且u(tk-),u(tk+)存在，

k=1,…,m,u(tk-)=u(tk)}，

定义范数

PC1(J,R)={u∈PC(J,R),u′∈PC(J,R)}

和范数

 

则空间(PC(J,R)，‖·‖PC)和空间(PC1(J,R)，‖·‖PC1)都是Banach空间.

定义1[7] (Riemann-Liouville型分数阶积分)函数h∈L1([a,b],R+)的r∈R+阶Riemann-Liouville型分数阶积分定义如下：

 

(H2)存在函数Lfi∈L1([0,T];R+),i=1,2,3,使得对∀t∈J,∀有

在专题复习课中，学生只需要记载相互联系的知识与概念，而不必记载教师呈现的概念图或知识网络图。例如，在“蛋白质”一节的专题复习课中，学生的笔记内容应是教师呈现的一些相关知识： 蛋白质的基本组成单位，蛋白质合成场所与过程，蛋白质分泌过程，蛋白质的鉴定，转录、翻译和蛋白质功能等。如果学生还能联系教师所没有呈现的知识，则可以在第二次笔记中补充。至于对这些相互联系的知识则可在第三次笔记时建构。

定义2[21] (Caputo型分数阶导数)对区间[a,b]上给定的函数h,函数h的r(r>0)阶Caputo型分数阶导数定义如下：

即证得对∀都有

 

其中，n=[r]+1；[r]表示r的整数部分.

引理1[22] 令α>0,假设h(t)∈C(0,1)∩L1(0,1),则分数阶微分方程cDαh(t)=0有解

h(t)=c0+c1t+c2t2+…+cn-1tn-1,

其中，

ci∈R,i=0,1,2,…,n-1;n=[α]+1.

引理2[22] 假设h(t)∈C(0,1)∩L1(0,1),且具有α>0阶分数阶微分,则有

 

其中

di∈R,i=0,1,2,…,n-1;n=[α]+1.

引理3 假设函数h(t)∈C([0,T]),已知函数gi(t),hi(t)∈C([ti,si];R),函数u(t)∈PC1(J,R)是下列分数阶微分方程的解

 

(2)

当且仅当u(t)是下列积分方程的解.

 

(3)

这里i=1,2,…,m.

采用SPSS 18.0进行统计分析，负性情绪、生活质量及疾病不确定感得分均采用均数±标准差表示，组间比较采用t检验，以P<0.05为差异有统计学意义。

证明 把区间J划分为0=s0<t1<s1<…<tm<sm<tm+1=T,如果u(t)满足方程(2),由引理2可以得到：首先,当t∈[0,t1]时,有

此方法虽解决了板式换热器的堵塞问题，但却引发了地下水的水温优势无法得以充分利用、机组能效与经济性下降以及系统控制复杂等一系列问题。结合南昌某别墅家用小型地下水源热泵系统加装中间换热器的工程实例，从能效比与经济性等角度进行对比分析。

 

(4)

 

(5)

(i)由函数u,f的连续性,可知算子Q是连续的.

u(0)=b0，u′(0)=c0.

(6)

其次，当t∈(ti,si],i=1,2,…,m时,有

灵山岛尖生态景观超级堤乃该区域开发建设一大亮点，其设计考虑了防洪安全、城市景观、休闲和生态等多功能要求，使堤防成为融文化、休闲、驿站乃至商业体验等多方面功能的城市景观带，并与城市道路有机结合，营造水城融合的亲水环境，具有显著的防洪效益、环境效益及社会效益。本文结合灵山岛尖生态景观超级堤工程实践，提炼出建设理念、设计思维和营造手法，分析了堤顶高程及护坡结构确定的工程要点，并阐述了公园景观设计创意及河滩湿地保护思路，以期为类似工程提供参考。

u(t)=gi(t),u′(t)=hi(t).

(7)

最后，当t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m时,由引理2,有

教师引导学生合作学习，第一环节，独立思考七巧板的组成。第二环节，和同桌讨论七巧板中的秘密。第三环节，在小组中操作讨论七巧板怎样拼摆？教师引导学生遵循“独立思考-讨论-交流”和“意见分歧-争议-辩论”的合作流程，对学生出现的闪光点和问题及时给予激励、支持或启发、点拨，提高了合作学习的成效。

 

(8)

 

(9)

将式(7)和u(si)=gi(si),u′(si)=hi(si)代入式(8)和式(9),计算可得

 

解得

 

从而,对∀t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m,有

 

代入边界条件au′(0)-bu(T)=I1(u),cu′(T)+du(0)=I2(u),可得

 

 

(10)

由式(4),(7),(8),(10)可得到式(3).

引理4[15] (Banach压缩映像原理)设E是Banach空间X的一个非空闭子集,映射T是E到它自身的映射,且映射T在E内满足Lipschitz条件,则∀x,y∈E,都有|Tx-Ty|≤∧|x-y|.其中0<∧<1,那么一定会存在一个惟一的不动点x∈E,使得Tx=x,即T在E上有惟一的不动点.

引理5[15] (Krasnosellskii不动点定理)设D是Banach空间X中的一个非空有界凸子集.如果映射P,Q∶D→X满足:(1)对任意的x,y∈D，都有Px+Qy∈D;(2)P是全连续的；(3)Q是压缩映射.那么必存在z∈D,使得z=Pz+Qz.

2 主要结论

首先,定义算子F∶PC(J,R)→PC(J,R)如下：

(Fu)(t)=

(11)

为了叙述方便,我们给出以下条件：

(H1)函数f∈C(J×R×R×R;R);gk,hk∈C([ti,si]×R;R),i=1,2,…,m.

其中Γ(r)是伽马函数.

 

记

‖Lf‖=‖Lfi‖L1[0,T],i=1,2,3.

(H3)存在两个函数Lgi,Lhi∈C([ti,si];R+),i=1,2,…,m,使得对∀t∈J,∀有

 

记

‖Lg‖=‖Lgi‖L1[0,T],‖Lh‖=‖Lhi‖L1[0,T],i=1,2,…,m.

(H4)存在函数mf∈L1([0,T];R+)和一个不减函数ωf∈C([0,);R+)使得对所有的(t,u,Ku,Hu)∈J×R×R×R都有

作品参加第九、十一、十二届全国美术作品展览；第三、四届全国青年美术作品展；第六届全国工笔画大展等重要展览，并多次获奖。

‖f(t,u(t),(Ku)(t),(Hu)(t))‖≤mf(t)ω(‖u‖+‖Ku‖+‖Hu‖).

(H6)I1、I2是连续函数且存在正常数γ1,γ2,使得对∀有

|gi(t,u)|≤φi(t)ξ(‖u‖PC),|hi(t,u)|≤ψi(t)η(‖u‖PC).

(H5)存在两个函数φi,ψi∈L1([ti,si];R+),i=1,2,…,m,和两个单调函数ξ,η∈L1(R+;R+)使得对任意的t∈(ti,si],i=1,2,…,m;u∈R,有下列不等式成立：

 

(H7)存在正常数M1,M2,使得对∀u∈PC(J,R)有|I1(u)|≤M1,|I2(u)|≤M2.

定理1 如果假设条件(H1)、(H2)、(H3)和(H6)成立,并且

汕头海岸电台发信台现位于汕头保税区，主要设备有3台1Kw中/高频发射机，承担海岸电台中/高频电报和电话的发射任务，用电功率较大。汕头保税区远离中心城区，地理位置比较偏僻，经济发展相对滞后，导致保税区内市电供应不稳，停电时有发生，并且电压波动较大。发型台目前主要由市电供电，同时辅以一台30kW柴油发电机组以及低压配电柜1台，当应急发电机检测市电断电时，立即启动发电，通过稳压器进行送电。由于汕头由于应急发电机属于内燃机发电，一旦市电断电而发电机突发故障无法及时启动，会导致发信机无法工作，使整个汕头搜救区的DSC报警系统瘫痪，后果不堪设想。

 

那么问题(1)在J上存在惟一的解.

证明 显然,算子F是映u∈PC(J,R)到PC(J,R)的映射.现在我们仅需证明算子F是一个压缩映射.

首先,对于每一个t∈(si,ti+1],∀可得

 

考虑到非线性瞬时脉冲扰动的影响,我们分三种情况：

(1)当t∈[0,t1]时,对∀可得

 

(2)当t∈(ti,si],i=1,2,…,m时,我们有

 

(3)当t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m时,可得

 

由已知∧<1,则算子F是一个压缩映射,借助引理4可知,算子F存在惟一的不动点,即边值问题(1)存在惟一解.

定理2 若假设条件(H1)、(H3)、(H4)、(H5)和(H7)成立,且

 

则问题(1)在J上有解.

证明 令

Br={u∈PC(J,R)∶‖u‖PC<r},(b+2q)T-(2q+1)a>0,

这里

 

其中

2.积压物资责任划分不明确。一直以来物资积压的主体由物资供应部门负责，计划提报部门、审核部门、设计部门等都不承担积压的责任，而物资积压的源头却是来自于这些部门，因为积压考核与计划提报脱钩使得计划申报不准确得不到约束，导致需求计划提报随意性较大。供应部门为了防止及处理积压采取过很多的手段和方法，如制定最低储备定额、厂家回购、利库代用、ABC库存管理，有一定的效果，但无法从根本上减少物资的积压。而且大部分方法都是事后处理，工作的重点放在了处理积压上，年年处理年年增加，无法从根本上解决积压的形成。

 

记

 

在PC(J,R)→PC(J,R)上分别定义算子P、Q为：

(Qu)(t)=

其中i=1,2,…,m.

我们将证明分为三个步骤,由于非瞬时脉冲扰动的影响,每个步骤分为三种情况.

首先,对任意的我们下面证明

(i)对∀可得

 

(ii)对∀所有的t∈(ti,ti+1],i=1,2,…,m,有

 

(iii)对∀所有的t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m,有

|gi(si,u(si))+hi(si,u(si))si+hi(si,u(si))t+

由表3可见，A1组低温保存绵羊精液，在第9 d人工授精112只，有72只妊娠，受胎率达到64. 30%；C组第9 d人工授精122只，有80只妊娠，受胎率为65. 60%。由此可以确定，大豆卵磷脂稀释液与卵黄稀释液保存至第9 d的精液受胎率相近(P﹥0. 05)。

其次,证明P是Br上的一个压缩映射.

(i)对∀可得

为了解决欧洲委员会认定的竞争担忧，尼得科提交了承诺。在与市场参与者一起检查过尼得科提交的承诺后，欧洲委员会认为这些材料不足以消除其担忧。

 

(ii)对∀所有的t∈(ti,ti+1],i=1,2,…,m,有

实际上，烧秸秆带来的大气污染在全部污染中有占很小的份额，并且是季节性的，而工业污染、汽车和其它交通工具的污染是大气污染，尤其是构成雾霾的持续的主要部分。但我们的政策并没有限制汽车等交通工具的使用，也没有限制工业生产。即使搬迁了一些工业企业，其目的也不是为了减少废气排放总量，而是为了地区性环保目的。而在所有这些相关人群中，显然农村居民是收入最低且政治最弱势的群体。

 

(iii)对∀所有的t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m,有

 

因为所以P是Br上的压缩映射.

“‘乾隆通宝’？这个倒是好找，不过这个和我买的不可同日而语啊。”陆教授说着从钱盒子取出几枚钱放在柜台上。“我从老贾那里买的古币基本都是‘五十珍’里面的名品，和常见的康、乾通宝不是一个层次的东西。特别是他手里这些钱保养的好，没有损耗。我买回去仔细清洗之后，就跟新品一样，都赶上博物馆里的展品了。”

我们赶回河浦时天刚擦黑。路边田里姜月娥在割稻子，她冲我喊道，腊枝你快点儿回去！你伢儿病得么事样的，把百福寺的先生都接来了！我听了心里一紧，拔腿就跑，匆忙赶回屋里。大梁蹲在摇篮边，抬起紧锁的眉头，求救似的望着我。我跑过去，双手扒着摇篮，见大女儿小脸儿潮红，紫色的小嘴儿开张着，透亮的鼻翼费力地翕动，呼呼地直喘气。我把大女儿抱起喂奶，她小脸儿贴在我胸前，嘴巴一动不动！我慌了神，把奶头儿硬往她口里塞。她就那样懒洋洋地噙着，像是噙着一粒石子、一颗土块，无动于衷！

最后,证明Q在Br上是全连续的.

其中b0,c0是常数.则

(ii)接着证明Q在Br上是一致有界的.

第一步:对∀t∈[0,t1],∀u∈Br,可得

|(Qu)(t)|≤

第二步:对∀u∈Br,所有的t∈(ti,ti+1],i=1,2,…,m,有

 

第三步:对∀u∈Br,所有的t∈(si,ti+1],i=1,2,…,m,有

|(Qu)(t)|≤

从而可知,对∀t∈J,u∈Br,都有即Q在Br上一致有界.

(iii)∀u∈Br，下证Q在Br上等度连续.

第一步:对∀不妨设

 

第二步:∀且可得

 

第三步:∀且有

 

综上所述,当时,显然有即Q在Br上是等度连续的.

综合以上的证明,并借助引理5可知,算子F在Br上有不动点,即边值问题(1)有解.

3 例子

例1 考虑下列分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性.

 

(12)

证明 由题意知,

 

显然∀可得

 

则

 

此时

 

于是,根据定理1,问题(12)有惟一解.

例2 考虑下列分数阶脉冲微分方程边值问题解的存在性.

 

(13)

证明 由题意知,

 

显然对∀可得

 

则

 

此时

max{0.473，0.29}<1,

于是,根据定理2,问题(13)有解.

参考文献：

[1] BENCHOHRA M, HAMANI S, NTOUYAS S K. Boundary value problems for differential equations with fractional order and nonlocal conditions[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications,2009,71(7-8):2391-2396.

[2] ZHONG Wen-yong, LIN Wei. Nonlocal and multiple-point boundary value problem for fractional differential equations [J]. Computers Mathematics with Applications,2010,59(3):1345-1351.

[3] ZHAO Yi-ge, SUN Shu-rong, HAN Zhen-lai, et al. Positive solutions for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation,2011,217(16):6950-6958.

[4] 蔡宁宁,苏新卫,张淑琴.一类分数阶微分方程边值问题解的存在性[J].郑州大学学报:理学版,2017,49(2):7-12.

[5] QIAO Yan, ZHOU Zong-fu. Existence and uniqueness of positive solutions for a fractional differential equation with integral boundary conditions [J]. Advances in Difference Equations,2016,(106):1-8.

[6] EDUARDO HERNANDEZ, DONAL O’REGAN, KRISHNAN BALACHANDRAN. On recent developments in the theory of abstract differential equations with fractional derivatives[J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications,2010,73(10):3462-3471.

[7] KILBAS A A, SRIVASTAVA H M, TRUJILLO J J. Theory and Applicational of Fractional Differential Equations[M]. Amsterdam: Elsevier Science,2006.

[8] ZHOU Wen-xue, LIU Xu, ZHANG Jian-gang. Some new existence and uniqueness results of solutions to semilinear impulsive fractional integro-differential equations[J]. Advances in Difference Equations,2015,(38):1-16.

[9] 张爱华,胡卫敏.一类分数阶脉冲微分方程边值问题的多重正解[J].东北师大学报:自然科学版,2015,47(3):12-18.

[10] AHMAD BASHIR, WANG Guo-tao. A study of an impulsive four-point nonlocal boundary value problem of nonlinear fractional differential equations[J]. Computers Mathematics with Applications,2011,62(3):1341-1349.

[11] ZHOU Wen-xue, LIU Xu. Existence of solution to a class of boundary value problem for impulsive fractional differential equations[J]. Advances in Difference Equations,2014,(12):1-12.

[12] ZHOU Wen-xue, ZHANG Jian-gang, LI Jie-mei. Existence of multiple positive solutions for singular boundary value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Advances in Difference Equations,2014,(97):1-16.

[13] EDUARDO HERNANDEZ, DONAL O’REGAN. On a new class of abstract impulsive differential equations[J]. Proceedings of the American Mathematical Society,2013,141(5):1641-1649.

[14] YANG Dan, WANG Jin-rong. Integral boundary value problems for nonlinear non-Instantaneous impulsive differential equations[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing,2017,55(1-2):59-78.

[15] 霍正燕.几类分数阶脉冲微分方程的边值问题[D]:昆明：昆明理工大学,2016.

[16] MICHELLE PIERRI, DONAL O’Re-gan, VANESSA ROLNIK. Existence of solutions for semi-linear abstract differential equations with not-instantaneous impulses[J]. Applied Mathematics and Computation,2013,219(12):6743-6749.

[17] LIN Zeng, WANG Jin-rong, WEI Wei. Multipoint BVPs for generalized impulsive fractional differential equations[J]. Applied Mathematics and Computation,2015,258(1):608-616.

[18] RAVI AGARWAL, HRISTOVA S, O’REGAN D. Noninstantaneous impulses in Caputo fractional differential equations and practical stability via Lyapunov functions[J]. Journal of the Franklin Institute,2017,354(7):3097-3119.

[19] WANG Jin-rong, LI Zhu-xue. Periodic BVP for integer/fractional order nonlinear differential equations with non-instantaneous impulses[J]. Journal of Applied Mathematics and Computing,2014,46(1):321-334.

[20] ANGURAJ A, KANJANADEVI S. Existence of mild solutions of abstract fractional differential equations with non-instantaneous impulsive conditions[J]. Journal of Statistical Science and Application,2016,4(1-2):53-64.

[21] PODLUBNY I. Fractional Differential Equation[M]. San Diego: Academic Press,1999.

[22] ZHANG Shu-qin. Positive solutions for boundary-value problems of nonlinear fractional differential equations[J]. Electronic Journal of Differential Equations,2006,2006(36):1-12.