电磁场的麦克斯韦理论是经典场论的典型代表，其完整描述了宏观、低能电磁场的运动规律。完整的麦克斯韦方程组描述的是电荷源和电流源激发的电磁场在时空中的运动变化规律。一般的电动力学教材[1]在分析电磁辐射的推迟势时，为了避开复杂的数学一般只采用类比的方法。实际上，严格的推迟势的求解更有利于理解电磁辐射中的一些典型的数学方法。

关于电磁辐射推迟势的推导，最有效的方法是格林函数法。其中，格林函数问题是该方法的核心。一般情况下，可以采用时间的拉普拉斯变换和空间的傅里叶变换求解无限大空间电磁辐射的格林函数问题。本工作将时间和空间统一为四维时空，采用四维傅里叶变换求解格林函数问题，有助于深刻理解推迟势的数学方法和物理含义。

1 势函数的激发规律：达朗贝尔方程

真空中电磁场的麦克斯韦方程组写为[1]

(1)

这里的四个微分方程分别给出了电场和磁场的散度和旋度。从场论的观点，该方程组完备地描述了电场和磁场的运动。(1)式无法直接得到关于电场强度或磁感应强度有意义的二阶微分方程。从数学角度可以引入两个势函数，令

 

 

(2)

第二种情况，

 

(3)

则利用(1)、(2)、(3)式，可以得到：

 

 

(4)

数学上称(4)式为达朗贝尔方程，是关于电标势或者磁矢势的非齐次的波动方程，描述了势函数的激发规律。物理上一般称(4)式中的非齐次项为源项，这里的非齐次项就是电荷源和电流源。(4)式第一个方程是电标势满足的达朗贝尔方程，是一个标量方程。第二个方程是磁矢势满足的矢量方程，实质上是三个方向的标量方程。(4)式表明：电荷(电流)密度在时空的变化激发了电标势(磁矢势)，电荷(电流)密度是电标势(磁矢势)的激发源。本工作只讨论电标势的达朗贝尔方程的求解。

2 格林函数法的一般理论形式

即

将达朗贝尔方程的定解问题写为：

式中:Mi=(αi1,αi2,αi3,…,αi25),Mi+1=(αi+11,αi+12,αi+13,…,αi+125)。

 

(5)

这里假设第一类初始条件为第二类初始条件为以及边界条件为

相应地，可以写出格林函数问题，

 

(6)

并假设第一类初始条件为第二类初始条件为以及边界条件为

注意到格林函数的对称性[2]，

试验准备阶段，需要采集离线训练所需图像，并将采集图像进行BP神经网络训练，最后将离线训练所得权值阵v、w，阈值阵θ、γ 4组数据导入在线检测程序中。离线训练中，4个位置图像及所选ROI如图7所示。4位置图像在ROI5内和6位置图像在ROI6内的特征值始终为0，且其他位置图像在此区域特征值显然不为0，故4、6位置图像可通过经验值比较直接得出铆接位置；3、5位置各选择如图7所示的2个ROI，共4个ROI。故BP神经网络模型输入节点数为4，输出节点数为2，根据式(1)，本文隐层节点个数取5个。

 

(7)

于是，根据格林公式可以得到

 

 

(8)

=Θ(-t)Cb

 

(9)

可见，只要计算出无限大空间边界条件下的格林函数即可得到(9)式的解析解。

3 阶跃函数和相关的积分公式

在计算格林函数问题之前，先讨论几个和阶跃函数Θ(t)有关的积分公式[3-5]。这几个公式会在分析格林函数问题时用到。阶跃函数Θ(t)的定义如下，

 

考虑如下积分,

现如今，旅游业已成为全球范围发展最快的产业之一，随着中国社会经济水平和旅游发展水平的提升，旅游者对旅游厕所服务的需求水平不断提高。“厕所革命”的提出促进各地政府不断加大对旅游厕所改建的投资力度，力求满足游客需求，提高游客体验。以自驾游作为出行方式的游客大多都是以家庭为单位出游，在既有老人又有孩子的情况下，父母带异性幼儿如厕变成一件尴尬的事情，行动不便的老人尤其更难适应设施简陋的服务区旅游厕所。相比A地区，我国各地区高速公路旅游厕所设施的建设和发展情况不容乐观。

 

该积分结果可以在复平面通过回路积分得到。此时奇点-iε在实轴下方，由实轴和下半圆(半径趋于无穷大)构成顺时针回路积分，因此要求被积函数的指数因子中的参数t必须大于零。根据柯西积分公式可知积分结果为1，即当t>0时，该积分结果为1；当t<0时，由于积分回路只能逆时针绕着上半平面，在回路包围区域内没有奇点，积分结果为0。综合以上两种情况可知，该积分的结果正是阶跃函数Θ(t)，即

 

(10)

该积分路径等价于沿着奇点的顺时针小圆圈作回路积分，如图1路径Cb所示。将上式记为

 

(11)

  

图1 等价积分路径示意图

如果被积函数分母的虚数前的符号为负号，则奇点出现在实轴上方，回路积分只能沿着上半平面的无限大半圆作逆时针积分。这要求t小于零，同时积分结果为-1。即

 

(12)

等价的积分路径为图1中的路径Ca。实际上，由于Ca=-Cb，习惯将上式改写为

 

原则上，格林函数法可以求解一般的边界条件下的电标势的解。特殊的，对于无限大空间边界条件，上式的后两项都为零，只有第一项有贡献，即

(13)

如果将奇点沿着实轴平移到ck-iε处，并计算如下积分，

CR=Θ(t)C++Θ(t)C-

 

再变换到空间，有

 

=Θ(t)C+

(14)

这里C+代表围绕ck点顺时针积分结果，等价路径见图2。同理，还可以得到

 

=Θ(t)C-

(15)

这里C-代表围绕-ck点顺时针积分结果，等价路径见图2。

变化处置网络化：①对照施工项目网络工期表，在变化环节管理上作出具体说明；②科队两级要详细掌握变化环节当班当日施工进度、施工中遇到的问题、采取措施是否有效等；③科室要及时对变化环节进展情况进行总结分析。

  

图2 回路积分等价回路示意图

同样还可以计算在奇点ck-iε处，并注意到(14)式的定义有

 

(16)

以及

8.学校主要是把留守儿童的父母和代理监护人视为家庭教育的范畴以内，重点是让留守儿童父母意识到法定监护职责，同时也让代理监护人意识到相关义务，稳步提升他们的家教水平。

 

(17)

4 电标势的格林函数问题分析

考虑格林函数问题(6)式，或者写为

 

简写为

 

(18)

初始条件为及边界条件

电力安全工器具就是在电力生产过程中涉及到人身安全的工器具，其在电力生产过程中发挥了重要作用。但是，随着电力生产的集中，电力安全工具存在的一些隐患日益突出，造成人员伤亡和电力设备损毁的事故经常发生，使得电力企业面临这很大的压力，在安全工器具的管理上还存在着不少的问题，这些问题都有可能导致事故发生，因此，电力企业要加强对安全工器具的管理，找出管理上存在的问题，实施有效的策略彻底的解决这些问题，促进电力企业的顺利发展。

本工作采用四维时空的傅里叶变换推导该格林函数问题。首先将(18)式的时间变量延拓到整个时间轴，就可以采用对时间的傅里叶变换，但为了保证物理要求，在计算中需要注意一个附加条件，即t>0。采用四维傅里叶变换将(18)式变换到空间有

 

(19)

格林函数法[2]求解非齐次的波动方程具有物理图像清晰的特点，在理论研究中得到了广泛使用。格林函数法求解达朗贝尔方程主要有两方面工作。第一，在和被求解方程相同的边界内，考虑一个脉冲电荷源(时间和空间的δ函数)激发电标势的规律，这称为求解格林函数问题。格林函数问题的解被称作格林函数，一般记为其中，带撇的字母标记的自变量代表源点，不带撇的字母代表场点；第二，利用格林公式，将被求电标势和格林函数联系起来，从而得到被求电标势的解。具体分析理论过程如下。

 

(20)

当t>0，则沿着下半区作顺时针积分，结果为-ie-ickt/(2ck)。当t<0，沿着上半区积分，结果为0。于是记为

 

 

(21)

(21)式的积分在实轴上存在奇点，如图3所示。

  

图3 ω实轴积分遇到两个奇点

在分母上加一个很小的虚数，这样在对角频率ω积分时，可以绕过奇点。这就将角频率沿着实轴的积分延拓到了复平面，在无穷远处画个半圆构成闭合回路，就可以利用柯西公式进行计算。

(21)式的被积函数的分母加上一个小的虚数，并做因式分解后写为

测验河段基本顺直，河床为砂砾石组成，右岸为较大砂砾石陡岸，左岸为沙砾石梯地，基本断面河床块石较多，间有粗砂。断面为单式窄深河床，一般洪水冲淤变化不大，高水时涨冲落淤，冲淤变化一般在0.5m左右。

 

该式可以有四种情况，需要根据具体的物理条件进行选择。

第一种情况，

 

这对应图4中的CR(物理上称为推迟格林函数)积分路径。

这里的代表电标势，代表磁矢势。由于(2)式只定义了的旋度，所以关于磁矢势的描述是不完备的。我们一般引入规范条件给出的散度。这里采用洛伦兹规范条件，

（1）提出了一种将电子数据存证与区块链技术相结合的系统，电子数据的存证用于对各类数据的存储和验证，区块链技术用于对获取到的电子数据进行固定保存。

 

这对应图4中的CF(物理上称为因果格林函数)积分路径。

第三种情况，

 

这对应图4中的-CF积分路径。

第四种情况，

综上所述，在我国当前的煤矿工程建设和发展中，为了将整体的煤矿生产能力提升上来，需要按照对应的煤矿生产，将轨道运输建设落实好，并且严格地按照煤矿轨道运输建设需求，将对应的智能化监控系统设计好，保障在系统的应用中，能够为煤矿生产能力提升奠定基础。通过本文的研究和分析，将煤矿轨道运输智能综合监控系统设计及应用进行了详细的阐述，按照其系统设计的需求，规划了系统应用中的对应性功能设计，比如实时定位功能、行人检测功能以及对应的通讯功能等。并且结合具体的煤矿工程建设系统应用对系统设计进行了实践，实践结果显示，借助智能综合监控系统应用提升了煤矿轨道运输管理能力，保障了煤矿运输生产能力提升。

 

这对应图4中的CA(物理上称为超前格林函数)积分路径。根据前面的分析，以上积分等价的积分路径可写为，

大年初一（Xi-nen）是新的一年的开始，清晨，家家户户燃放鞭炮、贴对联年画，清扫室内外卫生，以新的面貌迎接新年的到来。早上吃饺子前，一家人要给长辈请安磕头、祝愿长辈们在新的一年里健康、长寿、幸福。长辈们受礼的同时也要给晚辈们赐予吉祥的祝愿和积极向上的教诲话语。

酸酯类物质是白酒中重要的呈香呈味物质：酸可以调节口味使酒体醇和可口，白酒中的总酸含量应控制在合理的范围内，过高、过低对酒质都有影响；酯类物质大多数具有水果样的芳香，是形成白酒香型和构成白酒香味的主要成分[1-2]。关于白酒贮存过程中酸酯含量的变化已经有不少相关的报道[3-5]，但是对于酸酯含量变化内在的联系，它们之间变化的动态平衡却少有研究。本文从白酒贮存过程中酸酯含量的改变量入手，意在揭示其内在规律，从而提高企业产品质量。

CF=Θ(t)C+-Θ(-t)C-

CA=-Θ(-t)C+-Θ(-t)C-

可见只有第一种情况(图4中的CR积分)符合时间大于零的物理(边界条件)要求，即

充分借助大数据等计算技术，基于课程关键字、学员信息等数据的分析，为学员提供个性化资源推荐。依靠技术记录学员学习时间、终端系统等，形成用户行为数据，通过自动汇总分析系统将结果反馈给学员及干部网络教育决策人员。

(22)

  

图4 ω复平面绕过奇点的四种方式

于是，将(22)式代入积分(21)式有

 

采用球坐标对积分，

 

 

 

 

 

 

所以，

 

 

(23)

或者写为

在多元参与态势中，基于分工合作基础上的政府自上而下的主动作为和企业、民间社会力量自下而上的多领域积极参与应成为其主要特点。[9] 一方面，政府必须在整个机制中主动作为，在针对公共消防安全服务方面的政策制定、对消防中介组织的引导以及相关法律的制度保障方面给予大力支持。 政府制定政策也要因势而变，根据每个地区的不同情况，在提供公共消防安全服务的过程中发现政策的不足之处，推动政策改革从而建立更完善的公共消防安全供给体系。 同时，政府要帮助社区引入资源，搭建起消防中介组织和社区的对接桥梁，在政府的推动下，消防中介组织的资源进入也会变得更加快速和有效，能够为以后的合作打下扎实的基础。

 

(24)

这正是脉冲电荷源激发的电标势的推迟解(推迟格林函数)。其中函数的物理意义是时刻，有一个脉冲从源点传播到达场点于是，根据(9)式可以得到无限大空间下电标势的推迟解

 

(25)

5 小结

利用格林函数法对无限大空间的电磁场势函数的波动方程做了严格求解。对于经典的电磁场方程，时间演化只能是单向的，即源点的电磁波辐射对一定距离之外的场点电磁场的影响存在时间上的延迟。这一时间延迟的物理要求实际是求解格林函数问题的边界条件。采用时空统一的四维傅里叶变换必须将时间轴延拓，这势必违反了时间延迟的物理条件。所以，在傅里叶变换后的空间，对ω复平面的回路积分需要通过选择积分路径来满足时间延迟这一物理条件。这样就得到了空间的推迟格林函数解，最后给出了无限大空间电标势的推迟解形式。该工作有利于深刻理解电磁辐射推迟势求解过程中的数学方法及物理含义。

参考文献：

[1]郭硕鸿. 电动力学(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社，2008:117-118.

[2]梁昆淼.数学物理方法(第四版)[M].北京:高等教育出版社, 2010:313-316.

[3]王正行.简明量子场论[M].北京:北京大学出版社,2008:95-96.

[4]加来道雄.量子场论现代导引[M].北京:世界图书出版公司北京公司, 2012:74-75.

[5]张锡珍，张焕乔.量子场论[M].哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社, 2013:69,93.