自从19世纪法国天才数学家伽罗瓦建立群论以来，群论已经发展成数学的一个比较庞大的分支，群论也被广泛地应用在数学的各个领域。谈起群论，大多数人都感觉到抽象难懂，因而对“群”敬而远之。其实，群与其他数学概念一样，都是从众多客观对象的共同特点抽象出来的。在初等数学的某些研究对象中就含有群的结构，如全体整数Z、全体有理数Q、全体实数R、全体复数C，对于普通的数的加法都分别构成一个无限交换群。而所有非零有理数Q*、所有非零实数R*、所有非零复数C*，以及所有正有理数Q+、所有正实数R+，关于数的普通乘法也都分别构成一个无限交换群。若一个群中的若干元素组成的集合关于这个群的乘法也构成一个群，则称它为原来群的一个子群；当群中的元素个数是有限的时候，这样的群称为有限群。本文介绍了初等数学中的一些有限群，并应用有限群论的有关知识，证明了初等数论中的几个定理。大学抽象代数中的其他知识，也可在初等数学中找到它们的一些应用，读者可参看参考文献[1-2]。

首先，关于平面的运动群，有下列结果：

2)截割臂回转角度β与水平回转油缸行程关系模型。掘进机回转台由1对对称布置的液压油缸来推动，油缸的两端分别与回转工作台和掘进机机架铰接。回转台工作时，当一侧的油缸伸长，则另一侧的油缸相应缩短，截割臂水平摆动机构运动分析如图4所示。

引理1[3] 设G是平面运动群的一个有限子群，则适当选择坐标系，G必是下列两种类型之一：

(a) G=Cn，由绕原点的旋转所生成的n阶群：

(b) G=Dn，由绕原点的旋转及沿x轴的翻折r所生成的阶为2n的二面体群：

下面应用有限群论的一些结论，对初等数论中的几个定理给出了新的证明。

引理2[4] 设一个有乘法的有限非空集合G，若乘法满足封闭性、结合性及消去律，则G关于这个乘法构成一个有限群。

推论2 设p是素数，则对于任何整数a，必有ap≡a(modp)

国有企业要完善内部组织架构，严格按照生产需要和发展目标明确分工，提升工作效率。同时，利用科学手段，完善内部控制管理体系，组建风险评估组和监督部门，对企业进行全面的风险评估和监督工作，实现对企业内部的有效监管，如财务管理、资金流动及财务审计等方面，进而提升国有企业内部沟通的效率[5]。通过高效沟通，不仅增强了国有企业应对风险的能力，同时也实现了企业内部控制的有效实施。

阅读推广视角下的品牌品质是指阅读推广的活动质量。品牌认知的评估首先要设计品质评估要素，比如活动设计的形式是否具有创意性、阅读内容是否吸引读者、活动是否让读者有所获等。然后通过问卷等不同的评估方式和多样的评估渠道进行读者评估。值得注意的是，会存在一些因素因读者个体的个性、爱好、自身素养程度等不同对品质的感受不同，所以品质认知评估结果只是一个方向性的评估成果。

推论1 设m是大于1的正整数，则对于任何整数a，若(a,m)=1，则必有aφ(m)≡1(modm)

证明：对于任何整数a，若(a,m)=1，则是模m的一个简化剩余类，于是，由定理1及有限群中元素的阶的性质得即aφ(m)≡1(modm)，证毕。

地下水主要来源于大气降水和地表水（如河水、湖水、海水等），这些水进入地层后与岩土产生溶滤作用、浓缩作用、脱碳酸作用、脱硫酸作用、阳离子交替吸附作用、混合作用及人类活动作用等，使地下水的化学成分进一步演变[1]。

根据引理2，容易得到下面的结果：

令则H是G的子群。取H的陪集代表为由于G是交换群，所以由引理3可知，转移映射VG→H是G到H内的同态映射。并且对于有因为当跑遍时，也跑遍由欧拉判别法[6]得：当即是模p的二次剩余；当即是模p的二次非剩余。根据勒让德符号的定义，可知就是上面定义的转移映射VG→H。

若a≢0(modp)，则由定理1知，G是一个阶为φ(p)=p-1的有限群，所以即故ap≡a(modp)，证毕。

证明：设模m的简化剩余类的全体为G，若则(n1,m)=(n2,m)=(n3,m)=(n,m)=1，从而(n1n2,m)=1，因而即乘法满足封闭性，乘法的结合律和交换律是显然成立的，即有和 又若则必有即n1≡n2(modm)，因此，由引理2知，G是一个交换群，由欧拉函数的定义得，G的阶是φ(m)。

注：推论1和2，分别是初等数论中的欧拉定理与费马定理。

定义1[5] 所谓G到H内的转移映射指的是G到H/H′内的映射VG→H，满足

定理1 设m是大于1的正整数，φ为欧拉函数，则模m的简化剩余系关于剩余类的乘法是一个阶为φ(m)的交换群。

设G是有限群，H是它的子群。令是右陪集分解式。 以P记G在H上的置换表示。设g∈G，则 假定Hxig=Hxiτ(g)，i=1,2,…,n，则τ(g)是集合 {1，2，…，n}的一个置换，而τ可看成G到对称群Sn内的同态映射。现在令xig=hi(g)xiτ(g)，hi(g)∈H，则

 

(1)

下面利用有限群的转移映射及相关结论来证明初等数论中的高斯引理，先介绍有限群的相关知识。

 

(2)

其中H′是H的换位子群。

引理3[5] (1)VG→H是G到H/H′内的同态映射；

(2)VG→H不依赖于H的陪集代表的选取。

现在设p是一个奇素数，G是模p的简化剩余类的乘法群，

 

证明：对于任何整数a，若a≡0(modp)，则ap≡a≡0(modp)，结论显然成立。

农畜产品质量安全问题一旦成为问题热点，不仅影响到一个企业、一个地方的产业，还会引发公众恐慌不满以及资本市场的波动。这方面教训不少，比如三聚氰胺、健美猪、速生鸡、草莓乙草胺、大葱替罪羊等。发展现代农牧业的核心任务是以农牧民增收为基本目标，调整优化农牧业结构，推进产业化经营，提高农牧业综合生产能力和农畜产品质量安全水平[1]。

定理2[7](高斯引理) 设p是一个奇素数，考虑模p的最小绝对剩余

学生在数学学习过程中应该熟练掌握解题方法。考验学生的综合能力，需要学生在数学课堂中能够有效率地掌握数学知识，并且在课后仍能够认真学习数学，在学习中不断回顾总结和分类整理，便于学生识记和运用数学知识，掌握之后要及时整理，通过分类归纳的方式来总结和实践，帮助学生在解题时能够迅速判断出出题人要考查的要点内容，使解题的效率大大提升。因此，教学工作者在教学过程中还需要引导学生总结经验和方法，让学生在数学学习中学会交流，学会总结，学会谦逊和进步。

不整除a，则令m是整数关于模p的最小绝对剩余中负数的个数，则

证明：令则H是G的子群。取H的陪集代表为对于任何整数a，任取如果ax关于模p的最小绝对剩余是正的，则式(1)中的因为而都是中的某一个)；如果ax关于模p的最小绝对剩余是负的，则式(1)中的因为这时是中的某一个，而都是中的某一个)，于是

我们越走越远，突然，我不走了，说：“再往前走，就是坟地了。”别呦呦说：“害怕了？”我胸膛一挺：“不怕。”别呦呦说：“那就走。”

 

因此，证毕。

参考文献：

[1]郭茜，吴桂康.环的理论在初等数论中的应用[J].玉溪师范学院学报，2018，34(4)：7-10.

[2]陶利群.抽象代数在初等数论教学中的运用[J].洛阳师范学院学报，2013，32(5)：16-19.

[3]刘绍学.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，2012：28-29.

[4]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978：39-40.

[5]徐明曜.有限群导引(上册)[M].北京：科学出版社，1999：71-74.

[6]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003：91-92.

[7]Kenneth Ireland，Michael Rosen.A Classical Introduction to Moden Number Theory[M].Berlin：Springer-Verlag，1990：49-53.