研究线性空间的子空间，经常会遇到子空间的交和子空间的和．如果V是数域F上线性空间，V1和V2是V的子空间，那么V1与V2的交V1∩V2和V1与V2的和V1+V2也是V的子空间．如果V1是由V中向量α1，α2，…，αt生成的，V2是由V中向量β1，β2，…，βs生成的，即

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)，

容易知道，V1+V2=L(α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs)．那么怎样求出V1∩V2？

目前，常用的枸杞子鲜果干燥的方法有，自然晾晒法、热风干燥法、微波干燥法、冻干法等，以去除其中所含的大量水分[8-10]。由于枸杞子含糖量高、黏性大，虽经过干燥处理，但作为对照药材粉碎时，大量的黏性粉碎颗粒黏附粉碎机的刀头，粉碎工作被迫停止[11]；即使人工加入液氮，将枸杞迅速冷冻后快速粉碎，会随着粉碎时间的延长，粉碎后的枸杞子粉末会复吸环境中的水分，发生黏附。

定理[1][2]　设α1，α2，…，αt和β1，β2，…，βs都是数域F上线性空间V中向量，

V1=L(α1，α2，…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

取V的线性无关的向量γ1，γ2，…，γn，又设

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩阵，B是n×s矩阵．作齐次线性方程组

(A，-B)X=0，

这样(5)式可以写成

如果该齐次线性方程组只有零解，那么V1∩V2={0}．

如果该齐次线性方程组有非零解，求出它的一个基础解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1，ci2,…，cit,di1,di2,…,dis)T　(i=1,2,…,k)．

以x1,x2,…，xt在每个ηi中的分量ci1,ci2,…，cit与α1,α2,…，αt作线性组合，构造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt　(i=1,2,…,k)，

或者以y1,y2,…,ys在每个ηi中的分量di1,di2,…,dis与β1,β2,…,βs作线性组合，构造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs　(i=1,2,…,k)，

那么V1∩V2=L(ξ1,ξ2,…,ξk)．

特别地，如果α1,α2,…,αt和β1,β2,…,βs都是数域F上n元数组空间Fn中向量，那么依次以α1,α2,…,αt为第1,2,…,t列作矩阵A，依次以β1,β2,…，βs为第1,2,…，s列作矩阵B即可．

当前，城市商业银行的产品开发工作，相关银行不乏产品品种，但由于许多产品的创新力度不足，达不到消费者的需求和要求。近些年来，各城市商业银行针对传统的银行业务也开发了许多新的服务项目和银行产品，但若仔细分析这些服务和产品就会发现，这些产品服务的创新度不够，具有自己银行特色的产品并不算多，许多服务和产品都是银行之间的复制和模仿，导致了银行产品内容同类化，无法形成自身的核心竞争优势。

证明　设α1,α2,…，αt和β1，β2，…，βs都是数域F上线性空间V中向量，

V1=L(α1,α2,…，αt)，V2=L(β1，β2，…，βs)．

现在求V1∩V2．

任意ξ∈V1∩V2，有ξ∈V1，ξ∈V2，设

ξ=x1α1+x2α2+…+xtαt，ξ=y1β1+y2β2+…+ysβs，

那么

x1α1+x2α2+…+xtαt-y1β1-y2β2-…-ysβs=0．

(1)

2.2.4 健康宣教 ①告诉患者和家属保持个人卫生，在治疗期间禁止性生活，不互穿内衣裤，不使用公共浴盆、浴巾。每天做好座便器的消毒，防止疾病传播和预防。②贵重物品交与家属管理，不随意打开约束器具、安全房门。③当患者有无理要求时，不要轻易答应，如出去买报纸、买彩票、要5元钱等，都会导致患者逃离病区不能按时接受治疗，而使疗程中断。

令X=(x1,x2,…，xt，y1,y2,…,ys)T，那么(1)式可以写成

(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)X=0．

(2)

取V中线性无关的向量γ1，γ2，…，γn，并求出矩阵A，B使

(α1，α2，…，αt)=(γ1，γ2，…，γn)A，(β1，β2，…，βs)=(γ1，γ2，…，γn)B，

其中A是n×t矩阵，B是n×s矩阵，就有

(-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(-B)．

于是(α1，α2，…，αt，-β1，-β2，…，-βs)=(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)，代入(2)有

(γ1，γ2，…，γn)(A，-B)X=0，

(3)

其中(A，-B)是n×(t+s)矩阵．因为γ1，γ2，…，γn线性无关，所以得齐次线性方程组

20世纪70年代，Nicodemus提出了BRDF的精确概念，并用来描述物体的各向异性[7-8]。定义BRDF为目标在某一方向(θr,φr)的反射亮度dLλ与入射方向(θi,φi)的照度dEλ的比值，其参数如图1所示。

(A，-B)X=0．

(4)

如果齐次线性方程组(4)只有零解，就说明ξ=0，即V1∩V2={0}．

如果齐次线性方程组(4)有非零解，求出它的一个基础解系η1，η2，…，ηk，其中

ηi=(ci1,ci2，…，cit,di1,di2，…,dis)T　(i=1,2,…,k),

以x1,x2,…，xt在每个ηi中的取值ci1,ci2,…，cit与α1,α2,…，αt作线性组合，构造向量

ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt　(i=1,2,…，k)，

(5)

或者以y1,y2,…,ys在每个ηi中的取值di1,di2,…，dis与β1，β2，…，βs作线性组合，构造向量

ξi=di1β1+di2β2+…+disβs　(i=1，2，…，k)．

(6)

因为ξ∈V1∩V2，所以ξ∈V1，ξ∈V2，存在c1,c2,…，ct,d1,d2,…，ds，使

ξ=c1α1+c2α2+…+ctαt，ξ=d1β1+d2β2+…+dsβs，

所以

c1α1+c2α2+…+ctαt-d1β1-d2β2-…-dsβs=0．

这说明x1=c1,x2=c2,…，xt=ct,y1=d1,y2=d2,…，ys=ds满足(1)，进而满足(2)、(3)和(4)，所以

η=(c1,c2,…,ct,d1,d2,…,ds)T

是(4)的解，可以由η1,η2,…，ηk线性表示．设

η=u1η1+u2η2+…+ukηk．

(7)

又设

房屋建筑工程水平的提升离不开技术的有效支持，对此，房屋建筑工程在使用节能技术时还应遵循“提高能源使用效率”的原则，而非仅解决当前的施工问题。使用节能技术时也应采用多种方法，全面考虑社会的现状与未来的发展战略，以有效提升能源的使用效率，保护当地的经济与社会稳定。同时，房屋建筑工程使用节能技术时还应充分考虑时间因素，我国虽然具备足够的能源，但未来消耗量较大，为了进一步提升能源的使用效率，建设企业应分阶段使用节能技术，针对地域特点设计完善的施工方案，在预测未来使用量的基础上解决资源紧缺问题。

ω=(c1,c2,…,ct)T,δ=(d1,d2,…，ds)T,

当然，在这个定理中，ξ1，ξ2，…，ξk的极大无关组即为V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)的基．

那么

其中X=(x1，x2，…，xt，y1，y2，…，ys)T．

ξi=(α1,α2,…,αt)ωi　(i=1,2,…，k)．

(7)式可以写成

（6）部分项目通过拆分，降低该工程的工程造价，使之不用招标、规避公开招标或者搞虚假招标，有些直接发包，或改为一对一议标；

可见ω=u1ω1+u2ω2+…+ukωk，于是

代入(9)有

=u1(α1,α2,…，αt)ω1+u2(α1,α2,…，αt)ω2+…+uk(α1,α2,…，αt)ωk

如果V是数域F上n维线性空间，那么在应用上述方法时可以把γ1，γ2，…，γn取为V的基．

加强农业品牌建设，有助于实现农业可持续发展。加强农业品牌建设，保证农产品品质优良、安全是农业品牌建设的核心要素。在品牌建设中突出绿色、高效、安全、质优等特征，可提升资源利用率，实现农业可持续发展。

这说明ξ∈L(ξ1,ξ2,…，ξk)．可见V1∩V2⊆L(ξ1,ξ2,…，ξk)．

反过来，对于每个ξi(i=1，2，…，k)，考虑ηi，因为

x1=ci1,x2=ci2,…，xt=cit，y1=di1，y2=di2，…，ys=dis

满足(4)，进而满足(3)，(2)和(1)．于是

每年高温季节都是鱼病的多发季节，特别是精养鱼池的病害发生率更高，轻则影响池鱼的健康生长，重则造成池鱼大批死亡，甚至发生翻塘死鱼事故。因此在高温季节，应有针对性地进行鱼病预防，采取生态防控措施，坚持以防为主、防治结合的原则，确保养殖生产安全。那么，在高温季节精养鱼池应如何进行生态防病呢？

ci1α1+ci2α2+…+citαt-di1β1-di2β2-…-disβs=0，

即

ci1α1+ci2α2+…+citαt=di1β1+di2β2+…+disβs．

而ξi=ci1α1+ci2α2+…+citαt，所以ξi=di1β1+di2β2+…+disβs．

这说明ξi∈V1，ξi∈V2，即ξi=V1∩V2．所以L(ξ1，ξ2，…，ξk)⊆V1∩V2．

这就证明了V1∩V2=L(ξ1，ξ2，…，ξk)．#

ωi=(ci1,ci2，…，cit)T,δi=(di1,di2,…,dis)T　(i=1,2,…,k),

=u1ξ1+u2ξ2…+ukξk.

五是希望国家尽快完善金融监管的各类法律与法规。要抓紧修改、整理和完善《人民银行法》《商业银行法》以及《保险法》《担保法》《证券法》等金融法规；尽早出台银行、证券和保险的监管法规和金融机构市场准入和退出等法规，从而为制度化、规范化的金融监管提供法律依据。只有这样，才能为金融监管中出现的顺周期性提供逆周期监管的科学的法律体系。

因为V1，V2都是V1+V2的子空间，所以在应用上述方法时也可以把γ1，γ2，…，γn取为V1+V2的基．例如取γ1，γ2，…，γn为α1，α2，…，αt，β1，β2，…，βs的极大无关组．

例1　对于数域F上多项式空间F[x]4中多项式

f1(x)=　-x2-x+1,f2(x)=x3+x2-2x-2,f3(x)=3x3+5x2-3x-6,

g1(x)=-x3+2x2+2x-2,g2(x)=2x3+2x2-2x-3,g3(x)=x3+x2-x-1,

g4(x)=6x3+7x2-7x-12．

术中导丝断裂，无不良并发症时不建议刻意取出，一般对愈后无明显影响。血管损伤若为导丝所致，可抗休克同时密切观察，暂停手术操作，待病情稳定后进行CT造影确定损伤部位及大小；若为螺钉所致，建议输血同时立即进行前路手术翻修［20］。术中硬膜损伤时应调整钉道后重新置入螺钉，一般能够封堵，术后注意观察伤口及颅内压变化。

令V1=L(f1,f2,f3)，V2=L(g1,g2,g3,g4),求V1∩V2并求其一个基．

解　任意h(x)∈V1∩V2，有h(x)∈V1,h(x)∈V2，设

h=x1f1+x2f2+x3f3，h=y1g1+y2g2+y3g3+y4g4，

那么

x1f1+x2f2+x3f3-y1g1-y2g2-y3g3-y4g4=0．

(8)

令X=(x1,x2，…，xt,y1,y2,…,ys)T，那么(8)式可以写成

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)X=0．

(9)

取F[x]4中线性无关的多项式x3,x2,x,1(它是F[x]4的一个基)，有

(f1,f2,f3)=(x3,x2，x,1)A，(g1,g2,g3,g4)=(x3,x2，x,1)B，

其中

由(-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3，x2,x,1)(-B)，有

(f1,f2,f3,-g1,-g2,-g3,-g4)=(x3,x2,x,1)(A,-B)

ξ　　　=(α1，α2，…，αt)ω=(α1，α2，…，αt)(u1ω1+u2ω2+…+ukωk)

(x3,x2,x,1)(A,-B)X=0，

因为x3,x2,x,1线性无关，所以得齐次线性方程组(A,-B)X=0，即

解之，得其基础解系

《化工原理》课程群基于OBE的交叉教学模式探讨 黄卫清，杨国军，李永梅，邵友元，兰善红，范洪波(108)

η1=(1，-2，2，1，0，5，0)，η2=(-2，2，-1，0，1，-3，0)，η3=(-7，8，-3，0，0，-7，1)．

令

p1(x)=g1+0g2+5g3+0g4=4x3+7x2-3x-7,

p2(x)=0g1+g2-3g3+0g4=-x3-x2+x　　,

当读者在头脑中对这首诗进行精细复述时，lover这个词在译者的先验里应该与美好的爱情有关，这就会抑制读者关于“dream”噩梦、梦魇的相关联想，只会激活其梦或者梦想的概念。“drive”可能激活开车、驾驶、驱赶、发动等动作，但与后面的“orioles”会为译者提供物体的背景情景来帮助判断所要提取的意义，在此处要选取“驱赶”之意。以此类推，根据上下文提供背景的模拟运演，本诗构建出的情景模型是一位少女正在梦中与自己的心上人约会，不料被枝头啼叫的黄鹂鸟惊醒，尽管鸟儿歌声动听，但打断了少女与情人的约会。通过这一心理过程读者理解的诗的主体是少女思念情人。

p3(x)=0g1+0g2-7g3+g4=-x3　　　　-5,

那么V1∩V2=L(p1,p2,p3)．

以国际文化活动提升艺术品格。基于国际化现代城市的建设定位和年轻多元的市民结构，以优质品牌活动打造为突破口，办好“荷兰郁金香大乐团音乐会”“亚历山大室内乐团中西室内乐作品音乐会”“卓别林电影原声音乐会”等文化演出，丰富市民的国际文化视野和时尚选择。

而(p1,p2,p3)=(x3,x2,x,1)P，其中

因为P的3个列向量线性无关(是其自身的极大无关组)，所以p1,p2,p3是其自身的极大无关组，是V1∩V2的基．

参考文献：

[1]　陈之辉，张伟伟，高瑞．高等代数[M]．保定：河北大学出版社，2012．

[2]　钱吉林．高等代数题解精粹[M]．北京：中国民族大学出版社，2010．