风险价值(Value at Risk，VaR)以单一数字概括投资组合的全部风险，被巴塞尔委员会确认为市场风险的标准测量工具[1]，是目前市场风险度量的主流方法与核心手段[2]，在银行、保险、证券等金融行业有着广泛应用[3-7]。

VaR表示“有X%的把握在今后N天内损失不会大于V”，因此，VaR是时间展望期(N天)和置信度(X%)两个参数的函数。VaR的研究有两个方向[8]，一是有关VaR的的理论研究，包括对VaR的修正而提出的CVaR方法；二是有关VaR的计算方法的研究[9]。VaR的计算有两种主要方法：历史模拟法和模型构建法。模型构建法计算速度快，但是需要做出较多的假设，如假设市场变量服从多元正态分布等；历史模拟法是计算VaR的一种流行方法，它直接使用历史数据来预测将来可能发生的不同情形，不需要作出过多假设，但是计算速度慢，而且不容易给出最优的投资组合[10-11]。本文分析历史模拟法计算过程，建立两类混合整数规划模型，实现投资组合优化的求解，最后借助一个经典算例对混合整数规划模型进行验证。

2) 判断塞规直径是否在激光测径仪量程内，如果不在，抬升塞规。抬升的高度根据塞规的直径进行调整，使塞规的轮廓最低点处于激光测径仪的测量范围内；

1 VaR的历史模拟法

假设有m个市场变量n+1天的历史数据，将历史数据开始的第1天记为第0天，数据开始的第2天记为第1天，依此类推。定义vij(i=0,1,…，n;j=1,…,m)为市场变量j在第i天的取值，并假设今天是第n天。由历史数据可以给出从今天到明天市场变量可能发生的n种变化情形，在情形i下，市场变量j在明天(第n+1天)的取值为

 

(1)

假设第n天时总投资为P，总投资在市场变量j上的投资比例为xj(j=1,…,m)，那么在情形i下，投资组合的价值yi为

目标函数V是1天X%的VaR值，规划问题寻求投资组合xj(j=1,…,m)使得VaR值V极小化。第一个约束条件来自式(2)，是情形i下，投资组合的价值；第二个约束条件是可行的投资分配条件；第三和第四个约束条件要求超过V的投资损失有n-I-1次；第五和第六个约束条件要求不超过V的投资损失有I+1次；第三、四、五、六约束条件使得V值介于降序排序的投资损失的第n-I-1个和第n-I个之间，而V值的极小化使得V将恰好位于降序排序中第n-I个最坏的结果Ln-I。αi与βi都是0-1变量；模型中M表示足够大的数值，可根据具体问题选取。规划模型是混合整数规划，本质上是线性规划模型。

 

(2)

根据核算结果，其吨镍直接加工成本约58 698.37元，相较传统工艺电炉法和高炉法具有较大的成本优势，并提供了一种处理含镍低于1.4%红土镍矿先进的、经济的火法冶炼工艺。

NA培养基：蛋白胨1%，牛肉膏0. 3%，NaCl 0. 5%，琼脂1. 5%，pH 7. 2～7. 4。

N天内X%的VaR等于

模型一：若nX%为整数，表示为I，

将n个L(i)按降序排序，排序结果为L1,…,Ln。若nX%为整数，表示为I，则1天X%的VaR值V对应于降序排序中第n-I个最坏的结果Ln-I；若nX%不为整数，则nX%的整数部分表示为I，非整数部分表示为λ，则1天X%的VaR值V对应于降序排序中第n-I个最坏的结果Ln-I和第n-I-1个最坏的结果Ln-I-1之间的线性插值λLn-I+(1-λ)Ln-I-1。

2 历史模拟法的混合整数规划模型

VaR的历史模拟法实现了对风险的预测，然而却没有解决这样的问题：什么样的投资比例xj(j=1,…,m)会给出尽可能小的VaR亏损值V或？也就是说历史模拟法没有给出最优的投资组合，以下沿用历史模拟法的符号表示及相关假设，通过建立两类混合整数规划模型解决这一问题。

Min V

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临床检查能够提示我们犬可能患有前列腺脓肿，X光检查在一定的程度上能确诊前列腺脓肿，但是最好能够采用B超和腹腔探查进行确诊。根据犬只主人不同情况，提供不同的治疗方案。前期可以采用药物治疗，后期则要采用手术治疗。要求手术经济方便的，采用去势术；要求手术完全美观的，采用常规犬前列腺切除术；要求手术完全安全的，采用电脑型高频电刀切除犬前列腺。对于这种老年疾病，要做好平时的预防工作。坚持“预防为主，防治结合”观念，才能比较彻底治疗这个疾病。

s.t.

投资组合的亏损为L(i)=P-yi(i=1,…,n)，若L(i)为正，表示亏损，若L(i)为负，表示负亏损，即收益。

对馆藏资源的开发和利用是第三代图书馆服务平台的发展趋势，为此在第三代图书馆服务平台中将实现馆藏资源数字化到语义知识的提升，通过对各种形式馆藏资源的语义提取，实现对馆藏资源语义知识的获取与利用。通过建立时、地、人、事等基本知识库，支撑对馆藏资源的深度利用。

模型二：nX%不为整数，nX%的整数部分表示为I，非整数部分表示为λ，

Min (1-λ)V+λV′

s.t.

目标函数依然表示1天X%的VaR值，由于nX%不为整数，目标函数相当于降序排序中第n-I个最坏的结果Ln-I和第n-I-1个最坏的结果Ln-I-1之间的线性插值λLn-I+(1-λ)Ln-I-1的极小化。第一和第二个约束条件的含义同模型一；第三、四、五、六约束条件使得V值介于降序排序的投资损失的第n-I-1个和第n-I个之间，而(1-λ)V值的极小化使得(1-λ)V将恰好位于降序排序中第n-I个最坏的结果Ln-I；第七、八、九、十约束条件使得V′值介于降序排序的投资损失的第n-I-2个和第n-I-1个之间，而λV′值的极小化使得λV′将恰好位于降序排序中第n-I-1个最坏的结果Ln-I-1。αi、、βi和βi都是0-1变量。规划模型依然是混合整数规划。

3 实例分析

以John Hull的一个经典实例进行求解分析[11]。实例中，投资人拥有价值1 000万美元，投资于美国道琼斯工业平均指数(DJIA)、英国富时指数(FTSE)、法国巴黎指数(CAC40)和日本日经指数(Nikkei225)，四个指数的历史数据是从2006年8月7日到2008年9月25日，共501天，具体数据参考自http://rotman.utoronto.ca/～hull/OFOD/VaRExample。假设当前时间点是2008年9月25日，问题是选择最优的投资方案使得10天99%的VaR值最小。

根据前面的分析，易知该实例中共有500种情形。因为500×99%=495为整数，所以选用模型一进行投资优化，结果见表1。由表1可知，10天99%置信水平下的VaR值为×195 812，即619 212美元；投资比例最高的是日经指数，共投资391万美元，其次是道琼斯工业平均指数265.5万美元和巴黎指数220万美元，投资最少的是富时指数，大约123.5万美元；最优的投资比例使得投资人有99%的把握在未来的10天内投资损失不会大于619 212美元。

 

表1 投资组合优化结果

 

假设问题是选择最优的投资方案使得10天99.5%的VaR值最小。此时，500×99.5%=497.5不为整数，整数部分为497，非整数部分为0.5，选用模型二进行投资优化，结果见表1。由表1可知，10天99%置信水平下的VaR值为×263 483，即833 206美元；此时投资于道琼斯工业平均指数567.6万美元，投资于日经指数432.4万美元；这一最优的投资比例使得投资人有99.5%的把握在未来的10天内的投资损失不会大于833 206美元。

4 结语

VaR的历史模拟法虽然得到了广泛应用，但是存在计算速度慢和难于给出最优的投资组合的缺陷。本文基于VaR的历史模拟法的计算原理与过程，通过建立两类混合整数规划模型求解最优的投资组合问题。就方法而言，混合整数规划模型属于线性规划，线性规划理论成熟，算法有效，求解方便，极大地提高了VaR历史模拟法的计算速度；所建立的混合整数规划模型在本质上主要解决了将数据变量的分位数进行优化的问题。就应用而言，两类混合整数规划模型解决了VaR历史模拟法的投资组合优化问题。实例求解表明，历史模拟法的混合整数规划模型是有效的求解方法，这一方法拓展了VaR历史模拟法的应用。在当前金融业及金融机构面临越来越严厉的监管标准和法规要求的背景下，将混合整数规划模型嵌入到企业风险管控系统中，对于提高决策的科学性和合规性无疑具有重要应用价值。

参考文献

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[2] 钟山,傅强.基于CARE模型的金融市场VaR和ES度量[J].预测,2014,33(3):40-44.

[3] 王春峰.金融市场风险管理:VaR方法[M].天津:天津大学出版社,2000:156-171.

[4] 姚京,李仲飞.基于VaR的金融资产配置模型[J].中国管理科学,2004,12(1):8-14.

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[10] 林辉,何建敏.VaR在投资组合应用中存在的缺陷与CVaR模型[J].财贸经济,2003,l2(4):46-49.

[11] JOHN HULL.期权、期货及其他衍生产品[M].王勇,索吾林,译.9版.北京:机构工业出版社,2016:384-391.