曲线运动是生活中的常见运动,也是大学物理的重要内容之.研究曲线运动,经常要计算曲线运动的切向加速度和法向加速度.然而,在教学实践中,发现相当一部分教材给出的关于曲线运动的切向加速度的计算公式是不正确的,按照这些教材给出的曲线运动的切向加速度的计算公式去分析问题,很多时候将得到错误的结果.因此,很有必要指出并纠正这一问题.

1 切向加速度计算中的问题

下面以一道常见的力学题目为例,来说明某些大学物理教材关于曲线运动的切向加速度的计算公式存在的问题.如图1所示,一质点在曲线x=y 3上运动,以质点的轨迹为坐标轴建立自然坐标系,自然坐标系的坐标原点和直角坐标系的坐标原点为同一点,自然坐标系的坐标轴的正方向为由坐标原点指向右上方.设质点的y坐标随时间t变化的函数为y=t 2-8t+8,求t=1时质点的加速度在轨迹法向和轨迹切向的投影.

  

图1 一质点的曲线运动Fig.1 Curvilinear motion of a mass point

这里给出两种解法,以便通过对比两种解法的结果来发现某些教材关于曲线运动的切向加速度的计算公式存在的问题.

解法1:由题意,质点的x坐标随时间t变化的函数为x=y 3=(t 2-8t+8)3.质点的速度v⇀在x轴和y轴的投影分别为

 

质点的速率为

 

t=1时质点的加速度a⇀在轨迹法向的投影为

外

2.2.2一人一亩优质农田整治工程以土地整治为抓手，针对就地脱贫人口，实施一人一亩优质农田，提高耕地质量和生产效率，为农户增产、增收，为项目区就地脱贫人口每人整治1亩优质耕地，充分改善农村地区生产生活条件，为农民土地流转、农业生产方式转型提质提供方便，推动农业产业结构调整。

琢句之法，唯少陵独尽其妙。……及至苏、黄，则使事亦精，逸气横出，琢句之妙可以与少陵并驾。……诗家作诗多使事，谓之点鬼簿。……近者苏、黄崛起，虽追尚其法，而造语益工，了无斧凿之痕，可谓青于蓝矣。……山谷云“语言少味无阿堵，水雪相看只此君”，“眼看人情如格五，心知世事等朝三”，类多如此。[10](8册，P11-36)

令x=1,得

根据曲线的曲率半径的计算公式[6]

 

可得曲线x=y 3的曲率半径为

 

令x=1,可得曲线x=y 3在点(1,1)处的曲率半径为

 

当t=1时,x=1,y=1,即质点位于点(1,1)处,另

 

这里的和分别为加速度在x轴和y轴方向上的分量和分别为自然坐标系的法向单位矢量和切向单位矢量.

 

利用这一公式算出aτ随时间t变化的函数.然后令t=1,可得t=1时质点的加速度a⇀在轨迹切向的投影为

 

解法2:由题意,质点的x坐标随时间t变化的函数为x=y 3=(t 2-8t+8)3.质点的速度v⇀在x轴和y轴的投影分别为

 

质点的加速度a⇀在x轴和y轴的投影分别为

 

在传统农业中，农民都侧重于“我种什么，便卖什么”，对发生在农场之外的事情并不予以重视，而“新型农业”中的农民则更网络化，相互依存和创业，同时具有很强的能力发现和评估信息。换句话说，他们必须改变“生产和销售”的心态，战略性的思考以生产出消费者所需要的产品。农民们必须考虑的重要问题是形成新的经济活动，如知识和信息、网络和联盟、外包和合同，以及消费者的选择、商机和偏好。这些都说明了在新型农业食品体系中的农户对技术和管理创新具有更开放的吸收力。

由曲线方程x=y 3,得

Similarly to the first round, significantly more female participants completed both first and second FIT rounds in comparison to male participants (16 of 95 or 16.8%vs 8 of 116 or 6.8%, P = 0.05).

 

其中：Vnu为图像非均匀性值，VAvg为图像均值，Vij为像素（i，j）处的像素值，M，N分别为图像每一列的像素个数和每一行的像素个数。计算不同辐照度下图像的非均匀性Vnu曲线，结果如图2所示，随着辐照度的增大，图像非均匀性曲线呈下降趋势。

 

即曲线x=y 3在点(1,1)处的切线的斜率为1/3,亦即图1中的θ的正切为

 

进一步得到

分析：这则故事讲述的是住在夏水南面的涓蜀梁有次误将自己的影子当成鬼最后还把自己给吓死了的故事。此处，“涓蜀梁”在原语故事中只是为了情节需要而虚构的，并非是特指这样的一个人。况且，“涓蜀梁”对于今天的中国人而言也是个晦涩的人物名称。若按传统的音译法直接翻译，只会引起目的语读者的困扰，因为这样的名称在对方的文化语言中根本就不存在。译者将“涓蜀梁”这个人名直接删去，用”man”代替，翻译成“the Man Who Afraid of Ghosts”是恰当之举，因为”man”在英语国家里泛指某一人，如此省去复杂人名的同时又将该故事的中心思想“怕鬼”译出。

 

把t=1时的和分别向投影,可得t=1时质点的加速度在轨迹法向的投影

幸福和善不在命运之中。《哲学的慰藉》是波爱修骤遇命运沉重打击，身陷囹圄时所作。作者因身世的巨大落差，最关心的便是导致自身当下生存状况的原因——何为善恶。

 

把t=1时的和a分别向投影,可得t=1时质点的加速度在轨迹切向的投影为

 

质点的加速度a⇀在轨迹切向的投影的计算公式为

比较解法1和解法2的计算结果,发现两种解法得到的质点的加速度在轨迹法向的投影,即a n相同,但质点的加速度在轨迹切向的投影即aτ不同,差一个负号.那么哪种解法是错了,但又错在哪里呢?

当t=1时,x=1,y=1,即质点位于点(1,1)处,a x=222,a y=2.

2 切向加速度计算中的问题分析

经过研究,发现是解法1错了,错误的原因是计算质点的加速度在轨迹切向的投影的计算公式,即公式

 

错了.其实这一公式的正确的形式应该是

 

这里的vτ是质点的速度在轨迹切向的投影.即质点的加速度在轨迹切向的投影等于质点的速度在轨迹切向的投影对时间的导数,而不是质点的速率对时间的导数.

④参见 Ellwein/Hesse，Der ueberforderte Staat，1997，S．7，S．67．

质点的速度在轨迹切向的投影有可能是负数,但质点的速率不可能是负数,二者可能相等,也可能差一个负号.当质点的速度和切向单位矢量,即同向时,质点的速度在轨迹切向的投影等于质点的速率;当质点的速度和切向单位矢量反向时,质点的速度在轨迹切向的投影和质点的速率差一个负号,即.因此,在用公式计算质点的加速度在轨迹切向的投影时,如果质点的速度和切向单位矢量同向,是可以得到正确的结果的,以往一些使用了错误的公式却得到了正确的结果的原因正在于此.但是,如果质点的速度和切向单位矢量反向,得到的结果将和正确的结果差一个负号,而在上述题目中,容易验证t=1时质点的速度恰好和切向单位矢量反向,这也正是解法1的结果和正确的结果即解法2的结果差一个负号的原因.

另外再强调两点:1)有些教材给出的质点的加速度在轨迹切向的投影的计算公式是但有些教材认为其中的v就是速率,即.因此,公式其实是一样的,即也是不正确的.2)有些教材给出的质点的加速度在轨迹切向的投影的计算公式虽然也是但这些教材认为其中的v是质点的速度在轨迹切向的投影,即v=vτ,这些教材给出的质点的加速度在轨迹切向的投影的计算公式是正确的.但由于很多教材也经常用符号v来表示质点的速率.因此,很多学生在使用这一公式时,往往把v当成质点的速率,进而可能得到错误的结果.教师在讲解这一问题时,要特别加以注意.

P21对HoxB4的调控机制及其影响造血干细胞增殖初步研究 … ……………… 李雪华，等(6):636

3 结语

目前,相当多的大学物理教材中的计算曲线运动的加速度,在轨迹切向投影的计算公式不正确,但这一公式在质点的速度和自然坐标系的切向单位矢量同向时,又能给出正确的结果.这正是这一问题长期存在却一直被很多人忽视的原因.显然,质点的速度并不总是与自然坐标系的切向单位矢量同向.此时,这一公式将给出错误的结果.因此,建议那些给出不正确公式的教材的编写者,在修订教材时纠正这一错误,广大的大学物理教师在教学中也应注意这一问题.

参考文献:

[1]刘景世.平面曲线运动加速度公式在常见曲线运动中的适用性[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2006,22(1):43-45.

[2]唐红春,王璐,史永高.理论力学点的合成运动体系教学探索及实践[J].江苏建筑职业技术学院学报,2014,14(1):87-89.

[3]周军,周侃.切线斜率表示的是总加速度还是切向加速度[J].濮阳职业技术学院学报,2014,27(6):141-142.

[4]严非男,陈俊,皇甫泉生.往复曲线运动中自然坐标系的应用[J].教育教学论坛,2015(28):176-177.

[5]吕娜,王建伟.对斜抛物体运动状态变化快慢的研究[J].廊坊师范学院学报(自然科学版),2016,16(3):125-128.

[6]同济大学应用数学系.高等数学上册[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.