群在群上的作用是一个重要课题,它是有限群局部分析方法的基础 [1-3].因此,为掌握有限群论的证明方法和技巧,必须深刻理解并熟练运用群作用的观点.文[4]首次提出了群在群上的广义作用,即若φ是H到Gut(G)内的一个同态映射,我们就称φ为H在G上的广义作用.此文中,我们把研究的范围推广,即把研究H到Gut(G)内的同态映射推广为研究H到Gut(G)内的广义同态映射,我们仍然称之为广义作用,但这是一种新的群在群上的广义作用.从另一角度研究群在群上的广义作用,我们推广了一些熟知的结果.

此文恒以Gut(G)表示G的广义自同构群[4-5].其他所用的符号和术语都是规范的.

式中:Wc表示该层的权值矩阵,hn-1为LSTM隐藏层的输出,bc表示偏置向量;然后根据式(9)将概率值归一化,并将预测概率最大的一类作为最终的输出结果:

1 基本定义及引理

定义1 设G和H是给定的有限群,若φ#是H到Gut(G)内的一个广义同态映射,我们就称φ#为H在G上的广义作用.我们规定g h=gφ#(h),即H≤Gut(G).

记Z H(G)#={h∈H丨g h=g(h∈Gut(G))或g h=g-1(h∈Gut(G)Aut(G)),∀g∈G}.

若Z H(G)#=H,则φ#为广义平凡作用.

磷复肥产销会已走过十九个年头，作为肥料行业的一次盛会，今年参会人员多了？还是少了？展会冷了？还是热了？其实都不重要，关键是这一盛会是业内人每年所期盼的，期盼今年又将给行业释放出怎样的信号？纵观本届展会，企业在战略布局、品牌打造、科技创新等方面展现出的新探索、新气象，令人眼前一亮，也为行业下一步的发展鼓舞了士气，并带来诸多有益的启发。

小虫又想，姑父看上去冷若冰霜，其实内心是很疼爱自己的。明知自己偷了他钻戒，竟一直没说，也没报案。如果姑父报案了，小虫肯定要坐牢，连玉敏都要受牵累。

定义2 设φ#是H在G上的一个广义作用,A≤G,若h∈H,A h⊆A,则称A为H-不变的.

定义3 设φ#是H在G上的一个广义作用,规定

1)C G(H)#=｛g∈G|g h=g(h∈Gut(G))或g h=g-1(h∈Gut(G)Aut(G)),∀h∈H｝.

2)设g≤G,h∈H,[g,h]#=g-1g h(h∈Gut(G))或gg h(h∈Gut(G)Aut(G)).

思考能力是学生逻辑思维能力的重点。但是，初中生受思维能力的限制，常常对知识点之间的联系缺乏思考。为了培养学生的系统思考能力，在数学教学中，教师就需要充分做好课后引导工作，让学生在做题的时候，采取多角度的思维进行思考，思考问题的多种求解方法，以让学生形成举一反三的能力，进而提高学生的逻辑思维能力。在具体的数学设计中，教师需要从逻辑思维能力的培养角度出发，让学生主动思考问题，帮助学生构建出完善的数学知识体系。

特别地,若α∈Aut(G),则¯α是G/N的自同构;若α∈Gut(G)Aut(G),则¯α是G/N的自反同构.

3)[G,H,H]#=[[G,H]#,H]#,

[G,h]#=＜[g,h]#|∀g∈G＞,

[G,h,h]#=[[G,h]#,h]#.

4)由文[6-7]群的广义扩张理论可知,群G,H和作用φ#可唯一确定一个G和H的广义半直积S,这里G▷S且当h∈Aut(G)时g h=h-1gh;当h∈Gut(G)Aut(G)时g h=h-1g-1h.

定义4 设φ#是H在G上的一个广义作用.如果G存在非平凡的H-不变子群,则称广义作用φ#为可约的,否则称为不可约的.

引理1[5] 设N▷G,α∈Gut(G).如果Nα=N,则映射¯α:Ng|→Ngα是G/N的广义自同构,叫作由α诱导出的G/N的广义自同构.

[G,H]#=＜[g,h]#|∀g∈G,∀h∈H＞.

4．标题层次应分明。稿中节段层次序号分别用阿拉伯数字“1”“1.1”“1.1.1”形式表示。专用名词以全国科学技术名词审定委员会公布的名词为准。简化字以《简化字总表》为准。计量单位的使用应以2004年中华医学会编制《法定计量单位在医学上的应用》一书为准。使用缩略语，应在文中首次出现处写明中、英文全称。

引理2[5] 设G是群,φ(G)α=φ(G),其中α∈Gut(G).

故[G,H]#是G的正规子群.

定理3 设π'-群H广义作用在π-群G上,G和H中至少有一个可解,素数p‖G|,则G中存在H-不变Sylow p-子群,并且G的任二H-不变Sylow p-子群在C G(H)#下共轭.

引理3[2] 设G是有限p-群,则G/φ(G)是初等交换p-群.

2 主要结果

定理1 设φ#是H在G上的一个广义作用,1)若A是G的H-不变子群,则C G(A)和N G(A)也是G的H-不变子群.

2)若A是G的H-不变子群,则φ#诱导H在G/A上的广义作用φ#∶h|→φ#(h),这里φ#(h):h A|→gφ#(h),∀g∈G.

证明:1)考虑G和H的广义半直积S,G▷S.因此∀h∈H,有A h=A,G h=G.

（2）高校教师数据道德水平有待提高。部分教师通过非法渠道获取数据，在提倡保护知识产权的时代的今天，数据同样受到法律的保护。通过非法方式获取数据既受到道德的谴责，也是违法行为。同时数据道德水平的有待提高也从侧面反映出部分教师缺乏数据意识，收集数据的能力不足，无法获取有效数据。

又g∈N G(A)⇔g∈G且g-1Ag=A⇔g h∈G h且(g-1Ag)h=A h,当h∈Aut(G)时,(g-1)h A hg h=A h;当h∈Gut(G)Aut(G)时,g hA h(g-1)h=A h⇔g h∈N Gh(A h),即可得(N G(A))h=N Gh(A h)=N G(A).所以N G(A)是G的H-不变子群.

2)由引理1得φ#(h)∈Gut(G).对于∀h,h'∈H,

若φ#是H到Gut(G/A)的同态时,

 

定理2 设群H广义作用在群G上,则[G,H]#是G的H-不变正规子群,且H在G/[G,H]#上的广义作用平凡.由若N是G的一个H-不变正规子群,使得H在G/N上的广义作用平凡,则[G,H]#≤N.

第一，功率密度高、加热速度极快，零件变形极小，且可以通过热处理工艺来控制变形，工件处理后不需要修磨，可以作为零件精加工的最后一道工序。

证明:1)[G,H]#是G的H-不变子群.∀g,g 1∈G,∀h,h 1∈H.若h,h 1∈ Aut(G),则h h 1∈Aut(G),则[g,h]#h 1=(g-1g h)h 1=(g-1)h 1g hh 1=(g-1)h 1(g h 1)h h 1=[g h 1,h h 1]#∈[G,H]#;

若h,h 1∈Gut(G)Aut(G),

 

2)[G,H]#是G的正规子群.

若h∈Aut(G),则

本文在实际展开工作绩效研究的过程中指出，工作结果与工作行为的结合即为工作绩效，指的是员工日常展开工作过程中，一系列实践工作行为都是建立在相关工作职责基础之上的，同时还包含相关个人行为，不仅能够为实现组织目标奠定基础，同时还能够突显出个体特征，在完成工作任务过程中，受行为的影响，能够创造更加良好的工作结果，产生预期效率值。

低于12.2米的普通脚手架搭设仅需专业脚手架工在脚手架主管监督下搭设、更改及拆除即可，超过12.2米及其他的特殊脚手架搭设则需经过阿美批准的专业脚手架承包商进行。

 

所谓投资型产融模式，是指企业以参股、控股形式投资金融领域以获取高额回报的一种产融结合方式。一方面是顺应现代市场经济发展的趋势，另一方面是基于金融板块高额的投资回报率，一些企业就采取参股、控股金融机构的方式进军金融行业。企业采用这种产融模式的目的并不在于实际控制其所参股的金融机构，其主要是为了分享该金融领域板块所具有的高于其行业平均利润的投资回报。根据有关数据显示，投资型产融模式逐渐成为我国企业集团产融结合的主要方式。总而言之，这种模式操作更为简便，并且在风险分化以及规避政策方面对企业集团更为有利。

3)H在G/[G,H]#上的广义作用平凡.

若h∈Aut(G),则(g[G,H]#)h=g h[G,H]#=g[g,h]#[G,H]#=g[G,H]#.

若h∈Gut(G)Aut(G),则

(g[G,H]#)h=g h[G,H]#=g-1[g,h]#[G,H]#=g-1[G,H]#.

由定义1,H在G/[G,H]#上的广义作用平凡.

4)[G,H]#≤N.

若N是G的一个H-不变正规子群且H在G/N上的广义作用平凡,于是对任意的h∈H,g∈G,若h∈Aut(G),有(g N)h=g h N=g N,

则g-1g h N=N,即[g,h]#∈N.

若h∈Gut(G)Aut(G),有(g N)h=g h N=g-1 N,于是gg h N=N,即[g,h]#∈N.

由g∈C G(A)⇔g∈G且g-1ag=a,∀a∈A⇔g h∈G h且(g-1ag)h=a h,当h∈Aut(G)时,(g-1)ha hg h=a h;当h∈Gut(G)Aut(G)时,g ha h(g-1)h=a h⇔g h∈C Gh(A h),即可得(C G(A))h=C Gh(A h)=C G(A).从而C G(A)是G的H-不变子群.

不管何种情况都有[g,h]#∈N,于是[G,H]#≤N.

苏楠的房子离老公学校近，离尼罗河也不过十分钟的车程。当初母亲想在尼罗河挑套大的，是想让苏楠跟他们住在一起。苏楠以老公上班不方便为借口，拒绝了。住得太近，就没有隐私了。还有一个原因是，尼罗河略显奢侈，苏楠这样的年龄，不合适。苏楠说不上勤俭，但太奢侈也不是她的风格。低调，她一再提醒自己。社会上好多极端案例，都是跟仇富心理有关。自己还年轻，不是享受的时候。

证明:令P是G的Syl ow p-子群.考虑G和H的广义半直积S,其中G▷S.由Frattini论断,有S=GN S(P).于 是 H ≅ S/G=GN S(P)∕G ≅N S(P)/N G(P).

由Schur-Zassenhuas定理,N S(P)中存在N G(P)的补K.由于S=GN S(P)=GN G(P)K=GK且K/G∩K≅S/G≅N S(P)/N G(P)≅K/N G(P)∩K,所以G∩K=N G(P)∩K=1,即K也是G在S中的补.于是有某个g∈G使得H=K g.因为K≤N S(P),故H≤N S(P g),即P g是G的H-不变Sylow p-子群.

现设P 1和P 2是G的两个H-不变Sylow p-子群.由Sylow定理,存在x∈G使得P x1=P 2.于是N S(P 2)中包含H和H x.由Schur-Zassenhuas定理,存在y∈N G(P 2)使H x=H y,即H xy-1=H且

(xy-1)-1h-1xy-1h∈H.

当h∈Aut(G)时,[xy-1,h]#=(xy-1)-1(xy-1)h=(xy-1)-1h-1xy-1h∈[G,H]#≤G,

即(xy-1)-1(xy-1)h∈H∩G=1,

怀远石榴虽然品质良好，但是缺乏宣传，知名度十分有限。怀远县的石榴很少利用新媒体的宣传方式，只是依靠品质与口碑扩大销路。当今社会，信息繁多，如何吸引消费者的关注成为了产品销售的重要因素之一。“酒香不怕巷子深”的时代早已不复存在，缺乏宣传的产品很容易导致无人问津。而怀远的石榴却恰恰忽视了宣传这个重要因素。虽然怀远的石榴拿到了国家的农产品奖项，但是由于缺乏宣传，怀远石榴的知名度仅限于安徽省北部的地区即周边省。这样会使得即使怀远石榴及其相关产品生产出来，也只会积压在仓库内，造成资源浪费。因此，知名度小是该地区石榴产业化的重大阻碍。

于是(xy-1)h=xy-1

当h∈Gut(G)Aut(G),

[xy-1,h]=(xy-1)(xy-1)h

=(xy-1)h-1(xy-1)-1h∈[G,H]#≤G,

即(xy-1)(xy-1)h∈H∩G=1,

于是(xy-1)h=(xy-1)-1,

于是xy-1∈C G(H)#.定理证毕.

定理4 设π'-群H不可约地广义作用在π-群G上,则G是初等交换p-群.

证明:首先,G必为p-群.若否,则由定理3,有G的Sylow p-子群是H-不变的,与不可约性矛盾.其次,由引理2可知φ(G)必为G的H-不变子群.又因为φ(G)＜G,由G的不可约性必有φ(G)=1,由引理3,G必为初等交换p-群.

定理5 设群H广义作用在群G上,若G有一个H-不变正规子群A满足(|H|,|A|)=1,那么

1)若h∈Aut(G)且(Ag)h=Ag,∀h∈H,则存在x∈Ag,使x h=x,∀h∈H;

2)若h∈Gut(G)Aut(G)且(Ag)h=Ag-1,∀h∈H,则存在x∈Ag,使x h=x-1,∀h∈H.

证明:考虑A和H的广义半直积S,其中A◁S,对任意a∈A,h∈H.

1)h∈Aut(G).

因h-1(ag)h∈Ag,h-1a(ghg-1)∈A.所以有ghg-1∈HA=S,g Hg-1≤S.由Schur-Zassenhuas定理,H和g Hg-1在S中共轭,即存在a 1∈H使H a 1=g Hg-1,即(a 1g)H(a 1g)-1=H.于是,对任意的h∈H,h-1(a 1g)h(a 1g)-1∈H.同时h-1(a 1g)h∈Ag,因此h-1(a 1g)h(a 1g)-1∈A.

解放战争前夕，中共七大在延安召开，毛泽东在《论联合政府》的政治报告中系统论述了党的群众观点和群众路线。他指出：“我们共产党人区别于其他任何政党的又一个显著的标志，就是和最广大的人民群众取得最密切的联系。全心全意地为人民服务，一刻也不脱离群众；一切从人民的利益出发，而不是从个人或小集团的利益出发；向人民负责和向党的领导机关负责的一致性；这些就是我们的出发点。”［4］1094

从而h-1(a 1g)h(a 1g)-1∈A∩H.由A∩H=1,得h-1(a 1g)h(a 1g)-1=1.所以取x=a 1g,即得x h=x,∀h∈H.

2)h∈Gut(G)Aut(G).

因h-1(ag)-1h∈Ag-1,h-1g-1a-1hg∈A,h-1g-1a-1g(g-1hg)∈A.因为A◁G,有g-1a-1g∈A,于是有g-1hg∈HA=S,g-1 Hg≤S.由Schur-Zassenhuas定理,H和g-1 Hg在S中共轭,即存在a 1∈H使H a 1=g-1 Hg,a-1 1 g-1 Hga 1=H,即

(ga 1)-1 H(ga 1)=H.

于是,对任意的h∈H,h-1(ga 1)-1h(ga 1)∈H.同时因h-1(ga 1)-1h∈Ag-1,故h-1(ga 1)-1h(ga 1)∈A.从而h-1(ga 1)-1h(ga 1)∈A∩H.由A∩H=1,得h-1(ga 1)-1h(ga 1)=1.于是只要取x=ga 1,即得x h=x-1,∀h∈H.

[参 考 文 献]

[1]D.J.S.Robinson.A Coursein the Theory of Groups[M].Springer-Verlag,New York,1980.

[2]徐明曜.有限群导引:上册[M].北京:科学技术出版社,1999.

[3]徐明曜,黄建华,李慧陵,等.有限群导引:下册[M].北京:科学出版社,1999.

[4]刘秀,韦华全,谷伟平.广义作用与有限群结构[J].广西师范学院学报(自然科学版),2009,26(2):1-6.

[5]刘秀,韦华全,黄杰山.有关广义自同构群的一些结论[J].广西师范学院学报(自然科学版),2007,24(3):1-4.

[6]刘秀,韦华全.有限群的广义扩张[J].广西师范学院学报(自然科学版),2013,30(2):12-15.

[7]刘秀,韦华全.有限群的广义扩张Ⅱ[J].广西民族大学学报(自然科学版),2013,19(2):37-39.