1　预备知识

所谓迭代，本质上是同一计算或操作的重复，它是自然科学和人类生活中的普遍现象．迭代产生了复杂性，迭代产生了动力系统[1]．本文就是关于动力系统中的一类函数迭代的研究，利用递归数列与函数迭代之间的内在联系，研究

 

的迭代函数列的收敛性．

定义1[2]　同一个函数f(x)的多次复合运算f(f(x)),f(f(f(x))),…,称为函数f(x)的迭代.记f1(x)=f(x)，f2(x)=f(f1(x))，f3(x)=f(f2(x))，…，fn(x)=f(fn-1(x))(其中n是任意正整数)，特别地，记f0(x)=x，称n为f(x)的迭代指数．

定义2[3]　x0是f(x)定义域内一点，如果f(x0)=x0，那么称x0为f(x)的不动点．显然也有fn(x0)=x0，即如果x0是f(x)的不动点，那么对于任何正整数n，x0也是fn(x)的不动点．

定义3[4]　对任何正整数n，由递推关系an+k=φ(an+k-1,an+k-2,an+k-3,…,an)确定的数列{an}叫做递归数列．

定义4[4]　若数列{an}自第k项以后的任一项都是其前k项的线性组合，即

an+k=p1an+k-1+p2an+k-2+…+pkan

(1)

1) 通过将破碎的底板围岩视为松散体，依据“朗肯”土压力理论，对巷道底板受力进行力学分析，得出五阳矿76采区2号专用回风巷发生全断面底鼓的破坏形式。

xk=p1xk-1+p2xk-2+…+pk

(2)

引理1[4]　若对于方程(2)有k个相异的根x1,x2,…,xk，则(1)所确定的递归数列的通项公式为

现金冗余对研发投入的影响研究——股票期权激励及激励阶段的调节效应..................................................................................................................................朱芳芳 李海舰（21）

an=c1x1n+c2x2n+…+ckxkn

执行担保情形下担保财产抵押登记手续的办理（龚杨） .................................................................................9-49

其中c1,c2…,ck是下面线性方程组的唯一解：

 

定义5[5]　设f1(x),f2(x),f3(x),…fn(x),…是定义在同一数集I上的一列函数，那么称{fn(x)}为定义在I上的函数列．

图4所示为水厂A和B的水处理工艺流程中HHCB、AHTN、MK等3种合成麝香浓度及浓度总量的变化过程。在水厂A和B的整个工艺流程中，HHCB的浓度相对较高。在源头水中，HHCB质量浓度达到63.65 ng·L-1，而AHTN、MK的质量浓度分别为30.04、26.05 ng·L-1，HHCB质量浓度约为AHTN、MK的2倍，约占合成麝香总浓度的50%。在后续水处理过程中，3种合成麝香浓度均有所降低，而MK在混凝沉淀后均未被检出。由此可知，常规水处理工艺对合成麝香具有一定的去除作用。

设x0∈I，以x0代入函数列可得到数列

f1(x0),f2(x0),…,fn(x0),…

(3)

如果数列(3)收敛，那么称{fn(x)}在点x0收敛，x0称为{fn(x)}的收敛点；如果数列(3)发散，那么称{fn(x)}在点x0发散．如果{fn(x)}在数集E⊂I上每一点都收敛，那么称{fn(x)}在数集E上收敛．这时E上每一点x，都有数列{fn(x)}的一个极限值与它对应，根据这个对应法则所确定的E上的函数，称为{fn(x)}的极限函数．如果把此极限函数记作{f(x)}，就有：

教师通过提问，让学生展开丰富的想象，创造新的形象或引出新的观点，使教学内容得以加深或拓宽。它可以对课文中的人物、情节、场景进行再创作，或增添插叙，或续补情节，或改写人物等。如下提问：1.莫泊桑的小说《项链》，当玛蒂尔德得知当年丢失的是一串假项链，十年辛劳白费时，她该怎么办？2.《孔雀东南飞》中的刘兰芝、焦仲卿，如果没有“举身赴清池”和“自挂东南枝”，那么他们俩可能还有什么结局？

引理2[4]　递归数列{an}：a2=a1+k,an+2=an+1+kan的通项公式为：

1) 如果那么

　或fn(x)→f(x)　(n→∞),x∈E

这里的k,n是任意正整数，p1,p2,…,pk是常数，且pk≠0，则称{an}为k阶线性递归数列，(1)叫做{an}的递归方程．它的特征方程为

 

上式中

3) 如果那么

cos nα+q sin nα

2) 如果那么

引理3[4]　递归数列的通项公式为：

1) 若则

2) 若则

函数的迭代函数列{fn(x)}收敛的充要条件为

上式中

2　主要结论及其证明

2.1　关于分式函数的n次迭代式的讨论

一般地，对分式函数显然c≠0；在c≠0,ad=bc时，

分式函数其特征方程为

cx2-(a-b)x-b=0

(4)

记(4)式的判别式为△=(a-b)2+4bc，则可以知道关于Δ有大于零，有小于零，有等于零的情况，那么对应的分式函数就有不动点存在和不动点不存在的情况，那么在求其n次迭代式时就需要进行讨论，根据讨论的结果来判断其收敛性．而且由可知fn+1(x)与fn(x)之间存在一个递归关系，那么我们可以通过这一递归关系来求其n次迭代式，然后利用其次迭代式来判断其收敛性．

的n次迭代式

定理1　设分式函数的迭代函数列为{fn(x)}，则有

I ) 若a+d=0时，

Ⅱ) 若a+d≠0时，则有

时，

时，

两组的生活质量、满意度评分进行比较,观察组的生活质量、满意度评分高于对照组,统计学有意义(P<0.05);见表2。

时，

在这里：

为正整数，下同．

在原有拉丁舞专业课基础上，增加相关舞蹈课程，如:芭蕾基训、力量能力训练课、乐理、舞蹈解剖学等，丰富专业涵养，开阔学生视野，以促进学生更好的掌握拉丁舞专业技能。

其次，引导学员制定相关的阅读计划，建立读书会，鼓励学员分享阅读感受。举例而言，西点军校就设立有教务长读书俱乐部，目的是汇集不同的观点。教务长和学员一同读书。学员在读完一本书之后还要进行读书汇报。通过设立教务长读书俱乐部，西点军校引导其学员不断读书，不断读好书，为每位学员提供了分享看法与观点的平台。我们可以效仿西点军校的做法，成立世界军事名著读书俱乐部，精选世界军事名著，引导学员同步阅读，分享阅读感受。

证明　令

Ⅰ) 若a+d=0，此时的反函数等于它本身，那么

 

Ⅱ) 若a+d≠0，令所以

 

解得：

 

 

由引理3，从{bn}的通项公式能够得{fn(x)}的通项公式为：

水库自动化设施缺乏，仅有一套自计水位计，仅能观测水位。目前还采用原始的雨量筒观测降雨。水库不具备洪水预报、工程监控、信息检索及水库调度等现代化应用系统，不能实现全局统筹管理，现在仍然沿用老旧的人工处理模式，达不到精准、高效的要求。

老福签了字，端起了那个软塌塌的纸茶杯，他发现这种杯子的功能很适合这个地方，它能装烧开了的水，但没让人喝茶，因为没有足够的时间把茶泡开，客人也无法用手指头捏着那滚烫的开水真喝，这杯茶只是表示应有的客气，不是让人喝的。他明白，陈律师在等着他告辞，可是他没打算马上走。

 

2) 若则

 

3) 若则

 

2.3　{fn(x)}收敛的充要条件

定理2　设函数的迭代函数列为{fn(x)}，则{fn(x)}收敛的充要条件为≥

证明：Ⅰ)如果a+b≠0时，

1) 若则

1) 若由定理1知

 

信息化管理是市政工程造价控制与管理的重要实现途径，而且我国政府也比较重视信息化，也相继推出了一系列的优惠政策来推动信息化管理的实施和信息化工程的建设。但在我国现阶段的实施过程中，往往会出现工程造价不能得到真正意义的普及，而其中则存在两方面的原因：①信息化工程造价居高不下；②缺乏完善、系统的工程信息化的配套政策；有很多市政施工单位的经营理念、施工方法技术、管理模式都比较传统，也比较落后，这也导致其管理机制比较僵化，很难适应当下社会；很多施工单位都没有进行信息化管理，也没有相应的技术水平，缺乏信息化管理系统等，这些都是信息化管理问题出现的原因。

因为易知

 

从而可知：

2) 若由定理1知

从而可知：

3) 若由定理1知

 

随着n趋于无穷的路径不同，{fn(x)}就趋于不同的值，故{fn(x)}不收敛．

Ⅱ) 若a+d=0，此时而故此时{fn(x)}不收敛．

综合Ⅰ)，Ⅱ)知，只有1)、2)时{fn(x)}收敛，而此时满足k≥故可知：

3) 若则

≥

2.4　实例

例1　判断的n次迭代式构成的函数列{fn(x)}的敛散性，若收敛，求

解　在这里，a=3,b=3,c=1,d=3

在本次研究中还有很多的不足之处，要想得到更好的研究，需要更多的人加入到其中，从而得到更好的结论，使得结核性胸膜炎患者能够尽快康复，重新获得健康。

 

此时函数列{fn(x)}收敛且

 

例2　判断的n次迭代构成的函数列{fn(x)}的敛散性，若收敛，求

解：在这里，a=2,b=0,c=1,d=2

此时函数列{fn(x)}收敛且

 

例3　判断 的n次迭代构成的函数列{fn(x)}的敛散性，若收敛，求

解　在这里，a=0,b=-1,c=1,d=1.

“共享经济”根据其参与共享的主体不同，其商业模式分为以下四种：C2C、B2C、C2B、B2B模式。其中B2C模式是我国当前的主导的商业模式，如滴滴打车、共享单车等共享平台等，C2B模式的开发潜能非常巨大，B2B商业模式还处于瓶颈期。

此时函数列{fn(x)}发散．

3　小结

本文利用递归数列与函数迭代之间的内在联系，对分式函数

 

的迭代式及其收敛性做了更进一步的研究，得到并证明了的迭代函数列收敛的充要条件，能否借助高阶递归数列得到复杂函数的迭代函数列的通项式并判断其收敛性是以后进一步的任务．

参考文献:

[1] 张伟年.动力系统基础[M]．北京：高等教育出版社，2001.

[2] 张　荣.关于几类函数的迭代问题[J]. 重庆工商大学学报(自然科学版)，2007,(1)：3～5+25.

[3] 唐　雄.用不动点求某一类非线性递推数列的通项[J]. 四川职业技术学院学报，2007 ,17(4):107～107.

[4] 余元希，田万海，毛宏德.初等代数研究(下)[M]. 北京：高等教育出版社，1995.

[5] 华东师范大学数学系.数学分析(下)[M]. 北京：高等教育出版社，2010,7:28～29.

[6] 钟玉泉.复变函数论[M]，高等教育出版社，2013.

[7] 田文平.关于递推数列的极限标记[J]. 工科数学，1995,(1):210～213.

[8] 高焕江.二阶线性递推数列的通项公式[J]. 保定学院学报，2010,23(3):34～37.

[9] 程其襄.实变函数与泛函分析基础[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[10] 李　峰 .函数的迭代[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，1999,(4):16～22.