1　预备知识

非线性映射的不动点的存在唯一性是非线性分析的重要课题之一, 而且不动点理论广泛地应用于非线性积分方程和微分方程中.Samet等[1]引入了α-可容许映射，建立了带有α-可容许映射的广义压缩映射不动点定理，随后Hussain等[2]推广了α-可容许映射并证明了相应的不动点定理，Abdeljawad等[3]建立了带有α-可容许映射对的广义压缩映射的一些不动点定理，Arshadt等[4]建立了带有三角型α-可容许映射的广义压缩型的公共不动点定理，更多的结果可参考相关文献[5～7].

本文中，我们首先介绍了三角型α-可容许映射对的概念，而后建立了相应的Banach型压缩、Kannan型压缩、Chatterjea型压缩的公共不动点定理，因而改进了先前一些文献的结果.

定义1　设X是一个非空集合，映射d∶X×X→R满足

1) 0≤d(x,y),∀x,y∈X，d(x,y)=0⟺x=y;

⑪黄荣贵、桂勇:《为什么跨小区的业主组织联盟存在差异:一项基于治理结构与政治机会(威胁)的城市比较分析》，《社会》2013年第5期。

2) d(x,y)=d(y,x),∀x,y∈X;

3) d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z), ∀x,y,z∈X.

则称d为X上的一个度量，同时称(X,d)为度量空间.

利用条件α(x0,Sx0)≥1和引理1可得α(x2n,Sx2n+1)≥1，再由条件(4)有

在以上工程设计与施工环节的工程造价管理中合理应用BIM技术，可进一步丰富BIM模式中所涵盖的信息量，而这一点也可极大地控制工程验收过程中可能会出现的纠纷。除此之外，BIM技术模型也可以在验收阶段提供完整的结算资料，便于对工程建设各个环节的相关数据进行审查。

引理2　(S,T)是X上的三角型α-可容许映射对，若存在点x0∈X，使得α(x0,Sx0)≥1，定义序列x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1(i∈)，则∀m,n∈,m<n有α(xn,xm)≥1成立.

定义4[3]　设X为非空集， α∶X×X→R为映射，(S,T)是X上的α-可容许映射对,若x,y,z∈X，α(x,z)≥1，α(z,y)≥1⟹α(x,y)≥1,则称(S,T)是X上的三角型α-可容许映射对.

例1[4] 　设X=[0，∞]，作映射α∶X×X→[0,+∞)，S∶X→X使得Sx=2x，

 

则S是α-可容许映射.

例2[4]　设X=R，作映射S,T∶X→X,α∶X×X→[0,+∞)，使得

 

则(S,T)是X上的三角型α-可容许映射对.

α(x,y)d(Sx,Ty)≤k[d(x,Sy)+d(y,Tx)]　　　(x,y∈X)

3) 航线覆盖范围.航线对航运公司择港决策有一定的影响[10]，故深圳港应该设计合理的航线以吸引更多货主.华南公共驳船快线运输网络覆盖范围较广，但仍有部分码头尚未被覆盖，如清远、贵港、钦州等.

2　主要结果

定义5　设X为非空集，α∶X×X→[0,+∞)为映射，若对于满足xn→x(n→∞),且α(xn,xn+1)≥1(n∈N)的序列{xn}∈X，都有子序列{xni}使得α(xni,x)≥1，则称X是α-弱正则的.

引理1　(S,T)是X上的三角型α-可容许映射对，若存在点x0∈X，使得α(x0,Sx0)≥1，定义序列x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1(i∈)，则∀m,n∈,m>n有α(xn,xm)≥1成立.

崔：我们总会听到评论家的声音，他们会说格里格来自北欧，而您来自南欧的意大利，他们会说起所谓“文化差异”，即便是一些微小的差异，您怎样看这个问题？

证明　由已知x0∈X,有α(x0,Sx0)≥1⟹α(x0,x1)≥1，因(S,T)是X上的三角型α-可容许映射对，故

α(Sx0,Tx1)≥1⟹α(x1,x2)≥1⟹α(Tx1,Sx2)≥1⟹α(x2,x3)≥1,…,α(xn,xn+1)≥1

“主动性”作为影响学生学习表现的积极因素在人的学习过程中有着无可替代的地位，教学的任何行为都应以其发挥为主线，它是影响教学课堂、优化教学资源必不可少的要素。一个没有“主动性”的课堂不但会沉闷、低效，还会对心理产生消极影响。随之而来的是懒惰、厌恶、漠不关心、熟视无睹、悲观、胆怯、甚至逃避等现象的出现。

证明　类似引理1的证明即可得.

钢制安全壳（C V，Containment Vessel）是核电站反应堆第三道安全屏障，也是最后一道安全屏障。我国在建的AP1000三代核电机组，现场钢制安全壳的焊接所采用的仍然是传统的手工焊，焊工劳动强度高，焊接效率低；同时，手工焊接容易受工作环境、焊工状态等诸多因素的影响，焊缝质量不够稳定。在西方发达国家，自动焊工艺已成功应用于核电机组钢制安全壳的拼装焊接。因此，为适应我国核电产业快速发展、缩短安装周期、提高焊接质量，有必要研究核电站钢制安全壳自动焊工艺，并逐步应用于工程建设中。

证明　设x0∈X作点列{xn}⊂X，适合

有

α(xn,xn+3)≥1…，由α(xn,xm-1)≥1，α(xm-1,xm)≥1

即得α(xn,xm)≥1，所以对于∀m,n∈,m>n有α(xn,xm)≥1成立.

定义3[3]　设X为非空集，α∶X×X→[0,+∞)为映射，S,T∶X→X是自映射，若x,y∈X，α(x,y)≥1⟹α(Sx,Ty)≥1且α(Tx,Sy)≥1，则称(S，T)是X上的α-可容许映射对.

再由

定理1　设X为非空集，(X,d)为一个度量空间，α∶X×X→[0,+∞)为映射，(S,T)是X上的三角型α-可容许映射，如果

α(x,y)d(Sx,Ty)≤kd(x,y)　　　(x,y∈X)

(1)

且满足下列条件：

1) 存在点x0∈X,使得α(x0,Sx0)≥1且α(Sx0,x0)≥1;

2) S和T是连续的或X是α-弱正则的.

其中0≤k<1，则S和T在X中有公共不动点.

证明　设x0∈X,取x1∈X，使得x1=Sx0，取x2=Tx1，连续这个过程，可以构造序列{xn}∈X使得x2i+1=Sx2i,x2i+2=Tx2i+1(i∈)，由假设条件，利用引理1有α(x2n,x2n+1)≥1，由(1)有

α(x2n+1,x2n+2)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤α(x2n,x2n+1)d(Sx2n,Tx2n+1)≤kd(x2n,x2n+1)

(2)

再由假设条件，利用引理2有α(x2n+2,x2n+1)≥1，由(1)有

α(x2n+2,x2n+3)=d(Tx2n,Sx2n+2)≤α(x2n+2,x2n+1)d(Tx2n+1,Sx2n+2)=

α(x2n+2,x2n+1)d(Sx2n+2,Tx2n+1)≤kd(x2n+2,x2n+1)=

kd(x2n+1,x2n+2)

(3)

由式(2)和式(3)有

以带有高程信息的线路中心线点位为基础，通过线路里程与地理坐标的关系转换(线路里程转换为3DGIS环境中的经纬度坐标)，计算出BIM模型在3DGIS中的特征点坐标，根据相关特征点坐标集成线路三维模型，集成效果如图10所示。

d(xn+1,xn+2)≤kd(xn,xn+1)　　　(n∈)

于是

d(xn+1,xn+2)≤kd(xn,xn+1)≤k2d(xn,xn+1)…≤kn+1d(x0,x1)　　　(n∈)

因此∀m,n∈,m>n有

d(xn,xm)≤d(xn,xn+1)+d(xn,xn+1)+…+d(xm-1,xm)≤

(kn+Kn+1+…+km-1)d(x0,x1)=

(1+k+…+km-n-1)knd(x0,x1)≤

 

由于0≤k<1，当m>n时，所以{xn}为X中Cauchy序列，由于(X,d)的完备性，因此存在x∈X，使得xn→x(n→∞).

如果S,T是连续的，那么

 

可得Sx=x，Tx=x,即x是S,T的一个公共不动点.

如果X是弱正则的，则由假设条件及引理2，存在{xni}⊂{xn}，使得α(xni,x)≥1.现在通过式(1)有

d(x2ni+1,Tx)=d(Sx2ni,Tx)≤α(x2ni,x)d(Sx2ni,Tx)≤kd(x2ni,x)

从而x2ni+1→Tx(i→∞)，由数列极限的唯一性知Tx=x，类似可得Sx=x，因此x=Sx=Tx，即是S,T的一个公共不动点.

针对学科创新性强,知识更新快的特点,需要向学生讲明如下的理念:课堂上学习到的科学知识和观点可能会过时,但是学习和研究的方法是非常有价值而且可以受益终生的[7]。在纳米材料的教学中,相比具体的知识,教师更注重教会学生如何自己查阅最新的文献和科技资料,如何使用科学研究的思维方式对接收到的知识进行分析和理解。而课程全英文的教学方式,亦能引导学生突破语言关,阅读英文科学著作和最新的英文文献资料,真正带领学生进入纳米材料科学最前沿的“知识殿堂”。

定理2　设X为非空集，(X,d)为一个度量空间，α∶X×X→[0,+∞)为映射，(S,T)是X上的三角型α-可容许映射，如果

就这样，多变的情境，充满挑战的活动，许多同伴的参与，可供选择的丰富的器械和材料……动态的场景、动态的人满足了幼儿好动的天性，让幼儿拥有了更多活动的选择权；而共同的活动、共同的挑战形成了同伴之间的和谐互动，可以提高幼儿之间的交往能力和语言表达能力，从而培养幼儿良好的个性和养成自觉参加户外体育活动的好习惯。

(4)

且满足下列条件：

1) 存在点x0∈X,使得α(x0,Sx0)≥1且α(Sx0,x0)≥1;

2) S和T是连续的或X是α-弱正则的;

其中0≤则S和T在X中有公共不动点.

α(xn,xn+1)≥1,α(xn+1,xn+2)≥1有α(xn,xn+2)≥1，由α(xn,xn+2)≥1，α(xn+2,xn+3)≥1

强化食品安全管理。建立健全的食品安全管理组织，配置食品安全管理人员；建立、落实各项卫生制度；对从业人员进行全员食品安全培训，树立食品安全意识；定期开展食品安全自查，发现问题及时改正；强化自身卫生管理，落实岗位责任；争取条件，开展瘦肉精、农残等食品安全快速检验。

x2n+1=Sx2n,x2n+2=Tx2n+1　　　(i∈N)

定义2[1]　设X为非空集， α∶X×X→[0,+∞)为映射，S∶X→X是自映射， 若x,y∈X，α(x,y)≥1⟹α(Sx,Sy)≥1,则称S是α-可容许映射.

d(x2n+1,x2n+2)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤α(x2n,x2n+1)d(Sx2n,Tx2n+1)≤

k[d(x2n,Sx2n)+d(x2n+1,Tx2n+1)]=

除上述1批性状不符合规定的样品外，28批样品符合规定，90批样品不符合规定，不合格率为76%；此检验结果结合产区和市场调研分析，主要为硫酸铝铵等铵盐掺伪。另外，此检验项目标准方法中需使用剧毒试剂二氯化汞，对实验室操作及环境安全风险大，属于严格管控试剂，使用极不方便。

k[d(x2n,x2n+1)+d(x2n+1,x2n+2)]

从而

我们和业务能力强的跨境业务经理共同讨论，精心选择了时代感很强的二十个不同产品的开发邮件的案例，最有特色的是全部按照新手原始版（original version），老手改进版（edited version）编写，让学生清楚地看到怎样改进一封营销邮件的具体策略，对照性强，可操作性强。

(1-k)d(x2n+1,x2n+2)≤kd(x2n,x2n+1)

由于0≤因而有

d(x2n+1,x2n+2)≤

令有0≤h<1，所以

d(x2n+1,x2n+2)≤hd(x2n,x2n+1)

(5)

类似有

d(x2n+2,x2n+3)≤hd(x2n+1,x2n+2)

图6可见，单克隆抗体3G3可用于M2蛋白的定位，病毒感染MDCK细胞8 h后，细胞核周围出现少量M2蛋白的复制，随着时间推移，核周围M2蛋白逐渐增多，并从核周向细胞膜转移，20 h后细胞膜出现大量M2蛋白，此时开始了病毒的出芽，与此同时下一轮的感染过程也在进行中，32 h后细胞病变严重，细胞萎缩并聚集成团，剩余病毒分布于细胞膜表面。

(6)

由式(5)、式(6)有

d(xn+1,xn+2)≤hd(xn,xn+1)(n∈)

于是

d(xn+1,xn+2)≤hd(xn,xn+1)≤h2d(xn-1,xn)≤…≤hn+1d(x0,x1)

由定理1的证明过程知，存在x∈X，使得xn→x(n→∞).

如果S,T是连续的，那么

 

可得Sx=x，Tx=x,即x是S,T的一个公共不动点.

如果X是弱正则的，则由假设条件及引理2，存在{xni}⊂{xn}，使得α(xni,x)≥1现在通过式(4)有

d(x2ni+1,Tx)=d(Sx2ni,Tx)≤α(x2ni,x)d(Sx2ni,Tx)≤

k[d(x2ni,Sx2ni)+d(x,Tx)]≤

d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)+d(x2ni+1,Tx)]

进而有

(1-k)d(x2ni+1,Tx)≤k[d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)]

那么有

d(x2ni+1,Tx)≤

从而x2ni→Tx(i→∞)，由数列极限的唯一性知Tx=x，类似可得Sx=x，因此x=Sx=Tx，即x是S,T的一个公共不动点.

定理3　设X为非空集，(X,d)为一个度量空间，α∶X×X→[0,+∞)为映射，(S,T)是X上的三角型α-可容许映射，如果

α(x,y)d(Sx,Ty)≤k[d(x,Ty)+d(y,Sx)]　　　(x,y∈X)

(7)

且满足下列条件：

3) 存在点x0∈X,使得α(x0,Sx0)≥1且α(Sx0,x0)≥1;

4) S和T是连续的或X是α-弱正则的;

其中0≤则S和T在X中有公共不动点.

证明　设x0∈X作点列{xn}⊂X，适合

x2n+1=Sx2n　　　X2n+2=Tx2n+1　　　(n∈)

利用条件α(x0,Sx0)≥1和引理1可得α(x2n,Sx2n+1)≥1，再由条件(5)有

d(x2n+1,x2n+2)=d(Sx2n,Tx2n+1)≤α(x2n,x2n+1)d(Sx2n,Tx2n+1)≤

k[d(x2n,Tx2n+1)+d(x2n+1,Sx2n)]=

k[d(x2n,x2n+2)+d(x2n+1,x2n+1)]≤

k[d(x2n,x2n+1)+d(x2n+1,x2n+2)]

从而

(1-k)d(x2n+1,x2n+2)≤kd(x2n,x2n+1)

由于0≤因而有

d(x2n+1,x2n+1)≤

令有0≤h<1，所以

d(x2n+1,x2n+2)≤hd(x2n,x2n+1)

(8)

类似有

d(x2n+2,x2n+3)≤hd(x2n+1,x2n+2)

(9)

由式(8)、式(9)有

d(xn+1,xn+2)≤hd(xn,xn+1)(n∈N)

于是

d(xn+1,xn+2)≤hd(xn,xn+1)≤h2d(xn-1,xn)≤L　≤hn+1d(x0,x1)

由定理2的证明过程知，存在x∈X，使得xn→x(n→∞).

如果S,T是连续的，那么

 

可得Sx=x，Tx=x,即x是S,T的一个公共不动点.

如果X是弱正则的，则由假设条件及引理2，存在{xni}⊂{xn}，使得α(xni,x)≥1现在通过式(7)有

d(x2ni+1,Tx)=d(Sx2ni,Tx)≤α(x2ni,x)d(Sx2ni,Tx)≤

k[d(x2ni,Tx)+d(x,Sx2ni)]≤

k[d(x2ni,x2ni+1)+d(x2ni+1,Tx)+d(x,x2ni+1)]

进而有

(1-k)d(x2ni+1,Tx)≤k[d(x2ni,x2ni+1)+d(x,x2ni+1)]

那么有

d(x2ni+1,Tx)≤

从而x2ni→Tx(i→∞)，由数列极限的唯一性知Tx=x，类似可得Sx=x，因此x=Sx=Tx，即x是S,T的一个公共不动点.

参考文献

[1]Samet B, Vetro C, Vetro P. Fixed point theorems for -contractive type mappings[J]. Nonlinear Analysis, 2012, 75(4): 2154.

[2]Hussain N, Karapinar E, Salimi P, et al. -admissible mappings and related fixed point theorems[J]. Journal of Inequalities and Applications, 2013, (114): 1～11.

[3]Abdeljawad T. Meir-Keeler -contractive fixed and common fixed point theorems[J]. Fixed Point Theory and Applications, 2013, doi:10.1186/1687-1812-2013-19.

[4]Arshad M, Hussain A, Azam A. Fixed point of -Geraghty contraction with applications[J]. Upb Scientific Bulletin, 2016, 78(2): 67～78 .

[5]Huang H P, Deng G T, Radenovic S, et al. Fixed point results for admissible mappings with application to integral equations[J]. Journal of Nonlinear Science and Applications, 2016, 9(12): 6260.

[6]Chandok S. Some fixed point theorems for-admissible Geraghty type contractive mappings and related results[J]. Mathematical Sciences, 2015, 9(3): 127.

[7]Malhotra S K, Sharma J B, Shukla S. Fixed points of-admissible mappings in cone metric spaces Banach algebra[J]. International Journal of Analysis and Applications, 2015, 9(1): 9～18.

[8]童裕孙.泛函分析教程[M].上海：复旦大学出版社，2003: 54～55.