图像复原是一类稀疏线性病态系统求解问题，可用模型表示为［1］

鲁迅生平展览厅中，陈列了很多鲁迅的名言。比如：“当我沉默着的时候，我觉得充实；我将开口，同时感到空虚。——但我坦然，欣然。我将大笑，我将歌唱。”再如：“我又经验了一回同一战阵中的伙伴还是会这么变化，并且落得一个作家的头衔，依然在沙漠中走来走去。——只因为成了游勇，布不成阵了，所以技术虽然比先前好一些，思路也似乎较无拘束，而战斗的意气却冷得不少。新的战友在哪里呢？我想，这是很不好的。”

 

其中：g∈ℝn2为观测图像（一般图像为n×n矩阵，将其向量化为n2×1的向量），f∈ℝn2为真实图像，η∈ℝn2为加性噪声，模糊矩阵 A∈ℝn2×n2是由点扩散函数（Point spread function，PSF）和边界条件（Boundary conditions，BC）构造.合理的边界条件不仅能反映真实图像视场以外的真实情况，而且其相应的模糊矩阵具有允许设计快速算法的特殊结构［2］.常见边界条件有：零边界条件［3］（zero BC）假设真实图像视场以外像素值全为零，其模糊矩阵具有Toeplitz结构；周期边界条件［3］（periodic BC）假设真实图像视场以外像素值在各个方向周期性延拓，其模糊矩阵具有循环结构；反射边界条件［4］（reflexive BC）假设真实图像视场以外像素值是图像视场以内像素值的镜面反射，其模糊矩阵具有Toeplitz+Hankel结构.由于线性系统（1）是病态的，一般采取正则化策略求近似解.Tikhonov正则化方法［5］是解决病态问题的最有效方法之一.该方法将求解（1）的问题转化为以下最小化问题

 

其中：μ∈(0,1)是正则化参数；L是正则化矩阵（本文中为便于讨论，取L为单位矩阵I）.在数学上，Tikhonov最小化问题（2）等价于求解正规方程

针对工业用地进行智能选址分析，可以根据工业用地的实际性质和规模，通过行政区划、文件导入和自定义绘制三种选址方式进行项目范围选址，再综合工业项目特征确定项目选址因子评价体系，通过所选的项目影响因子体系对项目用地进行条件设定选址，最后选出符合条件的图斑并生成项目选址对比方案如图7，最后推送相关部门讨论分析敲定最佳选址方案。

 

方程（3）等价于以下广义鞍点系统［6］

 

（4）式中K是2n2×2n2阶的非Hermitian正定矩阵，e=g-Af是辅助向量表示噪声.因此，系统（4）的解即是图像复原问题的近似解.Xu等［7］提出了一种求解（4）的拟超松弛（Successive overrelaxation like，SOR-like）迭代方法，并用于图像复原问题，数值实验说明该方法是可行的.但由于K是高阶稀疏病态矩阵，这使得SOR-like的迭代矩阵往往接近于奇异矩阵而使得算法不稳定.本文运用平移预条件技术改进SOR-like方法的迭代系数矩阵以避免奇异，提出一种改进的超松弛（Modified successive overrelaxation，MSOR）迭代方法应用于图像复原问题，并讨论了算法的收敛性.数值实验结果表明，MSOR方法是稳定、有效的.

1 拟超松弛迭代

将（4）式中矩阵K分裂为K=D-L-U，D，L，U分别定义为［7］

 

而在“互联网+”阅读教育之下，传统图书馆当中的纸质书籍均可以使用互联网来展示，同时互联网可以连接到现代许多普及网络化设备，例如智能手机、平板电脑等，学生可以直接在这些个人设备上进行阅读学习，体现出较强的便捷性，同时互联网环境之下，图书馆可以摆脱开馆、闭馆的限制，学生可以自由调整自己的阅读时间，在此可以看到“互联网+”阅读教育能够更好地贴合习惯性理论。此外，通过互联网上的一些应用功能，可以提高图书馆的便捷性，还能满足学生的个性化需求，因此，说明“互联网+”阅读教育具有更高的应用价值。

 

其中：ω为松弛因分别为

“发展新型绿色高效肥料，通过化肥增效实现减量，是破解高产施肥环境矛盾、实现绿色增产的重要途径。”田树刚表示，绿色高效肥料的关键在于产品原材料的绿色安全和生产工艺的升级高效，在保证产品安全的同时减量增效，从而实现生态环境、作物营养、成本控制等多方需求的统一。同时，他也表示，化肥行业还需要对基层农户加强合理施肥的引导，进一步规范化肥的市场环境，保证绿色高效化肥真正发挥出其功效。

 

将（7）式代入（6）式可得

 

其中：M(ω)，N(ω)分别为

 

 

由（8）～（10）式，可得

步骤2 根据（11）、（12）式迭代计算得到fk+1,ek+1.

 

由引理3知当且仅当

证明 设λ是矩阵的一个特征值是λ对应的特征向量，则有

步骤1 设置迭代次数k=0,1,2,…,lmax，初始向量f0=g,e0=g-A f0，松弛因子ω，正则化参数μ，非常小正数ε.

同时，我校作为国家中等职业教育改革发展示范学校，随着职业教育功能的转变和改革的不断深入，中职教学内容和教学组织形式都发生了较大变化，传统的教学资源、课程体系、教学模式和教学方法已不能很好地适应时代需求，信息化教学可以在一定程度上改变课堂教学现状，缓解实践技能训练不足的教学压力。因此，加强该教学模式改革在推进信息化建设、深化课堂教学改革等方面都是十分必要的。

步骤3 当或者k达到最大迭代次数lmax时，停止迭代并输出fk+1；否则k=k+1，返回步骤2.

2 改进的超松弛迭代

由于SOR-like方法中，矩阵在μ取很小正数时接近于奇异矩阵，会使迭代算法产生不稳定性.采用平移预条件技术改进SOR-like方法，提出一种改进的超松弛迭代方法，即MSOR方法.

2.1 MSOR方法

本期我们采访了法国摄影师Réhahn，他专注于拍摄世界各地的人文风貌，希望在这些文明消逝之前，用影像记录它们。

 

其中：α为平移参数.

取调节α取值大小可保证是非奇异矩阵.

上述分裂推出求解图像复原问题的MSOR迭代公式为

 

其中：分别为

 

由（14）～（16）式，可得

 

综上，MSOR方法迭代算法如下.

步骤1 设置迭代次数k=0,1,2,…,lmax，初始向量f0=g,e0=g-Af0，松弛因子ω,τ，正则化参数μ，平移参数α，非常小正数ε.

步骤2 根据（17）、（18）式迭代计算得到fk+1,ek+1.

选取2017年8月～2018年8月我院收治的NVUGIH患者110例作为研究对象，其中，男64例，女46例，年龄31～71岁，平均（49.25±9.17）岁，应激性胃溃疡18例，食管喷门撕裂2例，十二指肠溃疡30例，其余为吻合口溃疡、复合型溃疡等。随机将其分成观察组与对照组，各55例，两组在年龄、性别及出血原因等一般资料方面对比，差异无统计学意义（P＞0.05）。

步骤3或者k达到最大迭代次数lmax时，停止迭代并输出fk+1；否则k=k+1，返回步骤2.

注：在MSOR方法中，取α=0，ω=τ就是SOR-like方法.

建立良好的师生关系，既是新课程实施教学改革的前提和条件，又是新课程改革与教学改革的内容和任务。教育学的过程，实质上就是师生交往的过程。作为一名教师，要赢得学生的信任和热爱，首要任务就是要和学生建立良好的师生关系。良好的师生关系要靠师生双方共同努力才能建立。当学生一旦感受到自己受到了不公正的待遇，就会改变对教师的态度，感到委屈和伤心，产生不满和恐惧，从而表现出不听老师的话，不积极配合老师，不尊重老师，影响学习和生活。对老师产生敌意，处处和老师作对，以表示他们对受不公平待遇的抗议。

2.2MSOR收敛性分析

引理1 若λ是矩阵的一个特征值，则

萎缩性阴道炎作为常见妇科疾病，在临床上主要表现为卵巢功能衰退、阴道壁萎缩和雌激素降低等，同时患者局部的抵抗能力也会不断下降，一旦病菌侵入极容易引发炎症，如果不对其展开及时治疗，也会引起外阴溃疡[1]。基于此，对我院收治的60例萎缩性阴道炎患者采取雌激素联合甲硝唑进行治疗，并观察治疗效果，具体报道如下。

 

将（15）式代入（19）式，得

 

（20）式等价于以下方程组

采用平移预条件技术将对矩阵作分裂 K=D̂-L̂-Û，D̂，L̂，Û分别定义为

 

假设λ=1，代入（21）式，可得

 

由（22）有由于μ2I+ATA是非奇异矩阵，故v=0，从而u=0，特征向量ξ是零向量.这与特征向量［8］定义矛盾，所以 λ≠1.

同理可证λ≠1-ω且

引理2［9］ 矩阵Am×n的非零奇异值是矩阵ATA或AAT的非零特征值的正平方根.

定理1 设λ和σ满足条件

结果发现对照组、皮片组、观察组3组间术后住院时间、术后切口感染率均存在差异，且P＜0.05，有统计学意义，再进一步分析这种差异是存在于另两组中。见表4。

采用网上投票及问卷调查的方式对青少年自我价值观及道德判断能力与价值观关系进行深入研究。其中，问卷的内容被设定为以下几种形式。第一，价值观问卷。列出各项价值观，让学生依据重要性对其进行排位，而此价值观主要包括自我观、法律观、集体观及亲情观等。第二，青少年自我价值观量表。此表主要包括自我价值、生理价值及家庭价值等13项内容。第三，某地高中生及大学生道德判断能力评价测试。测试内容主要是利用多个道德情境，让学生对其中所存在的道德矛盾以及自身对道德主观意识上的认知进行判断。其中道德矛盾可基于法与情、自由与自律等几个方面。

 

则以下结论成立：

1）若 λ 是矩阵的一个特征值满足λ≠1，λ≠1-ω且则 σ2是矩阵ATA的一个非零特征值.

2）若σ是矩阵A的一个奇异值，则λ是矩阵的一个特征值.

证明 由引理1证明过程（21）中第一式可得且v≠0.又矩阵的特征值满足将u代入（21）第二式有

 

根据（23）式可得

 

由引理2可知，σ2是矩阵ATA的一个非零特征值，故结论（1）成立.

将上述证明过程倒推可知结论（2）成立.

引理3［10］实二次方程z2+pz+q=0的两个根的模均小于1的充分必要条件是

引理4［11］迭代序列对任意向量c和初值x0都收敛的充分必要条件是迭代矩阵G的谱半径小于1，即

定理2 设矩阵A的所有奇异值是正实数，σmax是A的最大奇异值.若ω满足条件

 

则MSOR方法（14）是收敛的.

证明 将（23）式变形得

 

综上，SOR-like方法迭代算法如下.

 

只需证明（27）中两不等式成立.

根据（26）式，0＜ω＜2，则有因为

 

所以成立.

又因为可得

印度紫檀树苗要选择经驯化培育的扦插苗，树苗分枝多，庇荫好，无病虫害，胸径5 cm以上，高度200 cm以上。

基于上述分裂推出求解图像复原问题的SOR-like迭代公式为

 

而显然成立，故不等式

 

成立.这说明MSOR方法的迭代矩阵所有特征值的模都小于1，从而谱半径也小于1，MSOR方法收敛.

3 数值实验与分析

本节给出两个图像复原问题的实例以测试MSOR方法的有效性，并和SOR-like方法进行比较.所有数值实验都是在Windows 7，MATLAB8.3，3.4 GHz，64位，8G内存平台上完成.实验中设置最大迭代次数lmax=50，非常小正数ε=10-6.

对正则化参数μ的选取采用文献［12］中的广义交叉验证法（Generalized Cross Validation，GCV），该方法定义GCV函数

患者术后活动逐步进行,首先在床上坐,然后在床边坐,再由陪护搀护下地活动,不可突然改变体位,以免引起脑部供血不足,导致头晕甚至昏倒。

 

其中：正则化参数μ的取值为使得GCV函数取最小值时的μ值.

为更好地评价去噪效果，采用峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，PSNR）和相对误差（Relative error，RE）两个指标评价，定义如下［13］

 

其中：ftrue和fres分别表示大小为n×n的真实图像和复原图像.

实验1 本实验采用MATLAB图像处理工具箱中的128×128分辨率大小的MRI人脑图像brain.观测图像含有2%的高斯白噪声且被Defocus函数［14］（参数dim=9，R=4）失焦模糊.模糊和含噪图像的PSNR值为26.01，如图1所示.

 

  

图1 真实图像和退化图像Fig.1 True image and degraded image

本实验中，SOR-like和MSOR方法在零边界、周期边界、反射边界条件假设下所含参数取值由表1给出.图2给出了MSOR方法在三种边界条件下的复原后图像.为比较两种方法的复原效果，表2给出了独立运行20次后复原图像的PSNR、RE和CPU运行时间平均值.数值结果表明，MSOR方法无论是在PSNR、RE值上，还是CPU运行时间上都优于SOR-like方法.

 

表1 三种边界条件下的两种方法的参数(ω,τ,α)取值Tab.1 Values of(ω,τ,α)for two methods with three BCs

  

方法SOR-like MSOR边界条件零边界（0.30，0，0）（0.43，0.27，0.01）周期边界（0.28，0，0）（0.28，0.26，0.001）反射边界（0.27，0，0）（0.24，0.26，0.001）

  

图2 MSOR方法在三种边界条件下的复原图像Fig.2 Restoration image with MSOR method for three BCs

 

表2 三种边界条件下的两种方法的PSNR、RE和CPU运行时间值Tab.2 Values of PSNR，RE and CPU time for two methods with three BCs

  

方法SOR-like MSOR零边界 周期边界 反射边界PSNR 26.50 26.51 RE 0.311 0.310 Time/s 0.298 0.249PSNR 26.53 26.55 RE 0.310 0.309 Time/s 0.334 0.301PSNR 26.52 26.53 RE 0.310 0.310 Time/s 0.354 0.337

实验2 本实验测试MSOR的实际效果.将大小为256×256的灰度cameraman图像裁剪出120×120的图像.观测图像被Moffat函数模糊，并含有1%的高斯白噪声，如图3所示.模糊和含噪退化图像的PSNR值为16.99.Moffat函数定义为［15］

 

其中：c为标准化常数，取 s1=s2=9,t=5，i,j=1,2,…,60.

  

图3 真实图像、点扩散函数图像和退化图像Fig.3 True image，point spread function and degraded image

本实验中，SOR-like和MSOR方法在零边界、周期边界、反射边界条件假设下所含参数取值由表3给出.图4给出了MSOR方法在三种边界条件下的复原后图像.表4给出了独立运行20次后复原图像的PSNR、RE和CPU运行时间平均值.数值结果表明了MSOR方法在图像复原问题上比SOR-like方法更具有效性.

 

表3 三种边界条件下的两种方法的参数(ω,τ,α)取值Tab.3 Values of(ω,τ,α)for two methods with three BCs

  

方法SOR-like MSOR边界条件零边界（0.063，0，0）（0.063，0.07，0.1）周期边界（0.31，0，0）（0.33，0.32，0.001）反射边界（0.33，0，0）（0.32，0.01，0.05）

  

图4 MSOR方法在三种边界条件下的复原图像Fig.4 Restoration image with MSOR method for three BCs

 

表4 三种边界条件下的两种方法的PSNR、RE和CPU运行时间值Tab.4 Values of PSNR，RE and CPU time for two methods with three BCs

  

方法SOR-like MSOR零边界 周期边界 反射边界PSNR 18.61 19.75 RE 0.239 0.209 Time/s 0.475 0.487PSNR 16.88 16.88 RE 0.291 0.291 Time/s 0.287 0.235PSNR 16.86 16.95 RE 0.292 0.289 Time/s 0.377 0.343

4 结语

图像复原问题可转化为大型稀疏线性系统的求解问题.通过平移预条件技术对超松弛迭代法进行改进，并应用于三种假设边界条件的图像复原问题，数值实验结果说明改进方法MSOR的有效性.但MSOR中平移参数在理论上的最优问题是进一步的研究问题.

参考文献：

［1］HANSEN P C，NAGY J G，OLEARY D P.Deblurring images：matrices spectra and filtering［M］.Philadelphia：SIAM，2006.

［2］黄廷祝.Krylov子空间算法与预处理技术及其应用［M］.北京：科学出版社，2016：158-161.

［3］NAGY J G，PALMER K，PERRONE L.Iterative methods for image deblurring：a matlab object-oriented approach［J］.Numerical Algorithms，2004，36（1）：73-93.

［4］NAGY J G，NG M K，PERRONE L.Kronecker product approximations for image restoration with reflexive boundary conditions［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，2003，25（3）：829-841.

［5］CALVETTI D，MORIGI S，REICHEL L，et al.Tikhonov regularization and the L-curve for large discrete ill-posed problems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2000，123（1-2）：423-446.

［6］BENZI M，NG M K.Preconditioned iterative methods for weighted toeplitz least squares problems［J］.SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications，2004，27（4）：1106-1124.

［7］XU H，HUANG T Z，LIU J.Image restoration with the SOR-like method［C］//Proceeding of the Sixth International Conference of Matrices and Operators Papers，Chengdu：Chengdu Electronic Technology University，2011.

［8］程国，刘亚亚，李超.关于线性代数中的三类反问题研究［J］.商洛学院学报，2014，28（2）：5-8.

［9］张贤达.矩阵分析与应用［M］.北京：清华大学出版社，2004：292-294.

［10］AXESSION O.Iterative solution methods［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1996.

［11］SAAD Y.Iterative methods for sparse linear systems［M］.Philadelphia：SIAM，2002.

［12］CHUNG J，NAGY J G，OLEARY D P.A weighted-GCV method for Lanczos-hybrid regularization［J］.Electronic Transactions on Numerical Analysis Etna，2007，28（29）：149-167.

［13］蒋欣兰.一种改进的Landweber迭代图像复原算法［J］.计算机系统应用，2015，24（12）：283-288.

［14］肖泉，丁兴号，廖英豪.一种有效保持边缘特征的散焦模糊图像复原方法［J］.计算机科学，2010，37（7）：270-272.

［15］邓承志，刘娟娟，汪胜前，等.保留结构特征的稀疏性正则化图像修复［J］.光学精密工程，2013，21（7）：1906-1913.