0 引言

考虑带狄利克边界条件的小初值耗散半线性波动方程外问题可以用公式表示为：

有道是，脸装饰人，眼睛装饰脸，舌头点缀嘴巴，语言点缀思想。此君的三张“变脸术”，望阅读此文的先生女士们，在周围搜寻一番，如有相似者，勿言勿言！

 

其中=RnB1表示在 Rn（n≥3)上单位球 B1的补集，ε＞0 表示初值的小性。初值（u0，u1）满足：

在实行本科生导师制以后，学生有了可以直接联系交流的专任负责教师，在课程中遇到任何来不及解决的问题，均可以反映给导师，由导师负责解答，并且拓展传授更多的知识来满足学生的学习需要。如果学生对课程中的某一部分特别感兴趣，想要做更加深入的研究工作，也可以和导师展开探讨，确定可行性，及时付诸行动。

 

对于在Rn中的Cauchy问题，已有的研究结果表明其中存在一个临界指标=1+，该指标称为Fujita 指标[1]，见 Nakao 和 Ono[2]、Li和 Zhou[3]、Todorova 和 Yordanov[4]、Zhang[5]等学者的文献。破裂情形的生命跨度研究见Nishihara[6]、Ikeda和Ogawa[7]及Lai和Zhou[8]等学者的文献。

外区域上小初值耗散半线性波动方程的初边值问题（1），也引起了很多人的关注，研究成果可见Ikehata[9-11]，Nakao[12]，Racke[13-14]，Shibata[15]，Ikehata[16-18]，Lai和 Yin[19]，Lin、Jiang 和 Yin[20]及 Wu、Ma 和 Jin[21]等学者的文献。

本文主要研究问题（1）解的有限时间破裂及生命跨度估计。Ogawa等[22]证明了当1＜p＜1+时，带狄利克雷边界条件的初边值外问题解会在有限时间内破裂，但是并没有给出生命跨度估计。本文的证明方法是通过右手Riemann-Liouville分数阶导数构造一个特殊的试探函数，进而得到解的破裂结果与生命跨度上界估计。

江南的大雨同样给鬼子带来了意想不到的麻烦，辎重车辆、马匹深陷泥淖动弹不得。北岸的日军更是隔江兴叹，望着滔滔洪水只能干焦急。

第二组图表显示了发现的问题和所需服务之间的相关关系。最后一组图表是对协和医院不同科室提供社会服务的总结。

本文利用正交设计法设计实验，表2为正交设计实验的各个因素，表1为感官评分的标准，以此展开实验得出实验结果，如表3，由以上结果可知：桑叶杜仲复合泡腾片最佳配方因素为A2B3C3D1E1F2G2，即柠檬酸35%，聚乙二醇5%，杜仲速溶粉5.75%，桑叶速溶粉17.75%，碳酸氢钠30%,甘草速溶粉1.5%，木糖醇1%。此配方所得的产品水溶液清亮，酸甜可口，口感柔和，刹口感适当，适口性好，崩解速度适当。

结合式（20）可得

 

则问题（1）的解的生命跨度上界有如下估计

 

其中，C＞0为与ε无关的常数

1 准备工作

令空间AC[ 0，T]表示在[0，T]上绝对连续的函数，其中0＜T＜∞。对任意f∈AC[ 0，T ]，其右手Riemann-Liouville α 阶导数 f（t）定义如下：

 

其中，α∈（0，1），Γ 是欧拉伽马函数，见文献［17］。

 

 

其中是关于t的n次导数。

 

注意式（18），结合性质1和性质2可得：

 

用类似地方法计算式（26）中，直接计算可得：

性质3 考虑如下边值问题

 

其中是在 Rn（n≥3）上单位球 B1的补集，则问题（12）存在一个解 ω（x）∈C2（），并且 ω（x）满足

在充电时间受限的情况下，假设给定小车充电总时间的初值T，首先根据式(4)求解得到t0,t1,…,tL的初值，然后从第1层开始由内向外逐层比较判断

 

运用H lder不等式及Young不等式估计I1 ，得

考虑初边值问题

 

根据二阶椭圆型方程理论，问题（14）存在唯一解~ω（x）。由极大值原理可得：

第四，企业法人。《湖南省关于城中村集体经济组织产权制度改革的指导意见》规定，只要集体经济组织愿意申请，根据自己自身的资产状况，可以申请登记为有限责任公司。这里也是明确可以定位为企业法人。

 

其中用到了式（10）及问题（1）中的狄利克雷边界条件，结合式（6）和式（11）可得

2 定理1的证明

现在阐述我们的主要结果。其主要创新点在于：用辅助函数ω（x）构造了一个试探函数、一个分段函数以及和时间变量有关的右手Riemann-Liouville分数阶导数。相比Cauchy问题，调和函数ω（x）在我们所考虑的外问题中起着非常重要的作用。

定义一个分段函数：

 

它是非增的且满足

3.3.3 种子处理 播前可用10%盐水浸种并冲洗；进行苗床消毒，培育无病壮苗，加强苗期管理；进行覆膜种植，可提高土温，抑制病菌萌发。

 

其中 ω（x）是问题（12）的解，B＞2 是待定的一个常数，l，k 1。

定义两个积分区域：

 

在问题（1）的方程两边同时乘以试探函数（t，x），然后在[0，T ]×上积分可得

 

容易推出ω（x）=1（x）即为问题（12）满足式（13）的解。

 

定理1 若1＜p＜1+（n≥3），初值条件（u，u）满足式（2）且有

 

进一步可得

 

于是结合式（22）和式（23）可得：

李伟：顺丰的并购逻辑其实很简单，就是看顺丰的市场战略方向在哪里。像冷链、快运、航空快递都是顺丰的市场战略，因为顺丰的并购也在这几个方向上。如果再剖析一下，我认为有2个点很关键。

 

证明 此证明过程和文献［24］中引理2.2类似，为了便于读者理解，现简述一下。

 

用类似的方法估计I2可得：

深孔水泥灌浆完成后，再进行系统的浅孔水泥化学复合灌浆，复合灌浆以进一步填充前期水泥灌浆可能遗留的较大孔隙裂隙，以进一步提高岩体质量，化学浆液再浸润渗透填充水泥灌浆难以达到的部位，进一步增强围岩的整体性、强度和抗渗性。通过二者作用，首先发挥了水泥灌浆材料的高强、耐久、经济和环保等特点，又利用了真溶液类化学浆材易灌入围岩细微裂隙与孔隙的优点[11]。

 

 

其中用到了 0＜ω（x）＜1，0≤1（x）≤1 及 k 1。

（二）制定方案。各组根据本小组的实际情况，设计可行的自主学习方案。学生围绕学习任务，进行讨论分析，制定完成任务的方案。这个过程主要是以开发学生的发散思维潜能，增强学生的综合认知能力为目标。

以上两个性质的证明见文献［23］，在这里以及接下来的内容中，C表示一个取值不同的正常数。下一个性质和外区域上调和函数有关，可参考文献［24］。

 

存在一个常数∈（0，1），当 y∈ ｛y∈∶2≤y≤3 ｝时，ω（y）≥ ，因为 ω∈C2（）在相同的紧集y∈ ｛y∈∶2≤y≤3 ｝有 yω（y） ≤C，因此，式（29）可化简为：

 

结合式（24）～（27）和式（30）可得：

 

由此又可得：

 

在式（32）中令 T→+∞，由 1＜p＜1+和Lebesgue控制收敛定理，可得：

 

这意味着对任意 t＞0，u（t，x）在 Bc 1上几乎处处等于0，这与定理1中的初值条件（3）矛盾。从而问题（1）不存在整体解。

3 生命跨度上界估计

式（22）可看成：

 

以及

 

由于对任意的 a＞0，a＜b＜1 及 c≥0 有：

材料运输可结合现场地形、地质条件，前期可选用人力及骡马托运的方式尽快组织施工材料、设备上山达到快速施工的目的，之后结合材料设备的需要强度，可选用索道、滑道来解决材料和设备的运输问题[2]。

 

由式（36）～（37）可得：

 

从式（38）可以得出预期的解的生命跨度上界估计：

 

定理1得证。

4 结论

当 1＜p＜1+（n≥3）时，证明了外区域上小初值半线性耗散波动方程初边值问题解的破裂结界；进一步，当 1＜p＜1+时，得到了解的生命跨度上界估计。证明过程中主要用到了试探函数方法。

参考文献：

［1］FUJITAH.On the blowingup ofsolutions ofthe Cauchyproblemfpr ut=Δu+u1+［αJ］.J Fac Sci UnivTokyo，1966（13）：109.

［2］NAKAO M，ONO K.Existence of global solutions to the Cauchy problem for the semilinear dissipative wave equations［J］.Mathematische Zeitschrift，1993，214（1）：325.

［3］LI TT，ZHOUY.Breakdown ofsolutions to u+ut=u1+α［J］.Discrete Cont DynamSystem，1995（1）：503.

［4］TODOROVA G，YORDANOV B.Critical exponent for a nonlinear wave equation with damping［J］.J Differential Equations，2000，174(7):557.

［5］ZHANG Q S.A blow-up result for a nonlinear wave equation with damping：the critical case［J］.Comptes Rendus De Lacademie Des Sciences，2001，333(2)：109.

［6］NISHIHARA K.Lp-LqEstimates for the 3-D Damped Wave Equation and Their Application to the Semilinear Problem［J］.Sem Notes Math Sci，2003(6)：69.

［7］IKEDA M，OGAWA T.Lifespan ofsolutions to the damped wave equation with a critical nonlinearity［J］.J Differential Equations，2016，261（3）：1880.

［8］LAI N A，ZHOU Y.The sharp lifespan estimate for semilinear damped wave equation with Fujita critical power in high dimensions［EB］.arXiv：1702.07073v1，2017.

［9］IKEHATA R.Energy decay ofsolutions for the semilinear dissipative wave equations in an exterior domain［J］.Funkcial Ekvac，2001，44(3)：487.

［10］IKEHATA R.Small data global existence of solutions for dissipative wave equations in an exterior domain ［J］.Funkcial Ekvac.2002，45(2)：259.

［11］IKEHATAR.Newdecayestimates for linear damped wave equations and its application tononlinear problem［J］.Math Methods Appl Sci，2004，27(8)：865.

［12］NAKAO M.Energy decay for the linear and semilinear wave equations in exterior domains with some localizedd issipations［J］.Math Z，2001，238（4）：781.

［13］RACKE R.Decayrates for solutions ofdamped systems and generalized Fourier transforms［J］.J Rein AngewMath，1990，1990（412）：1.

［14］RACKE R.Non-homogeneous non-linear damped wave equations in unbounded domains［J］.Math Methods Appl Sci，1990，13（6）：481.

［15］SHIBATA Y.On the global existence of classical solutions of second order fully nonlinear hyperbolic equations with first order dissipation in the exterior domain［J］.Tsukuba J Math，1983（7）：1.

［16］IKEHATA R.Small data global existence of solutions for dissipative wave equations in an exterior domain ［J］.Funkcialaj Ekvacioj，2002，45（2）：259.

［17］IKEHATA R.Global existence of solutions for semilinear damped wave equation in 2-D exterior domain ［J］.J Differential Equations，2004，200（1）：53.

［18］IKEHATA R.Two dimensional exterior mixed problem for semilinear damped wave equations［J］.J Math Anal Appl，2005，301（2）：366.

［19］LAI N，YIN S.Finite time blow-up for a kind ofinitial-boundary value problem of semilinear damped wave equation［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，2016，40（4）：1223.

［20］LIN Y H，JIANG H B，YIN S L.Global existence for damped semilinear wave equations outside obstacles in high dimensions［J］.Sci Sin Math，2016，46：1.

［21］吴邦，马正义，金云娟.带诺伊曼边界条件的小初值耗散半线性波动方程外问题解的破裂及生命跨度估计［J］.浙江理工大学学报（自然科学版），2017，37（4）：563.

［22］OGAWA T，TAKEDA H.Non-existence ofweak solutions to nonlinear damped wave equations in exterior domains［J］.Nonlinear Analysis，2009，70（10）：3696.

［23］KILBAS A A，SRIVASTAVA H M， TRUJILLO J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations［J］.North-holland Mathematics studies，2006，204（49-52）：2453.

［24］ZHOU Y，HAN W.Blow-up of solutions to semilinear wave equations with variable coefficients and boundary［J］.J Math Anal Appl，2010，347（2）：585