0 引言

（2+1）维KdV系统：

 

式中 x，y，t分别是空间和时间坐标，α，β 是两个任意常数。u（x，y，t）是振幅或波的演化。Peng[1]首次采用 Lax对生成技术构建了（2+1）维KdV系统（1），并运用奇性流形方法得到系统（1）的精确解和B cklund变换。系统（1）包含了几个著名的物理方程，若 α≠0，β=0，则（1）式变成（1+1）维 KdV方程；若 α=0，β≠0，系统（1）约化为 Boiti-Leon-Pempinelli方程[2]或 Calogero-Bogoyavlenskii-Schiff（CBS）方程[3-4]。Wang[5-7]等研究了系统（1）的双线性的性质。Wazwaz[8]得到系统（1）的多孤子解并指出系统（1）不存在共振现象。文献［9-10］中系统（1）的Painlevé可积性和CRE可解性得到了验证。

本文研究一个有趣又重要的问题，（2+1）维KdV系统能否从李点对称定理获得多次B cklund变换？

1 （2+1）维KdV系统的非局域对称和有限变换定理

将 uy=vx代入（1）则有

 

（2）式的Lax对为：

 

式中λ为任意常数。

分别于正试验第1 d和第65 d以重复为单位对育肥猪进行空腹称质量，为试验初、末重，每天准确记录每重复育肥猪采食量，计算各重复育肥猪平均日采食量、平均日增重和料重比。

1976年的唐山大地震，发生在凌晨人们熟睡时，造成了24余万人死亡，重伤16.4万人，名列20世纪世界地震史死亡人数第三，相当于400颗原子弹在唐山这座工业城市进行爆炸。整个唐山市顷刻间夷为平地，那时的唐山交通、通讯、供水、供电中断，给人们的生产、生活带来了重大灾难。虽然这场地震给唐山造成了不可磨灭的灾难，但也留下了一些宝贵的人文资源，如在困难面前百折不挠的目前唐山共有七处地震遗址被保存下来。其开发、保护状态如下。

 

（4）式表示在变换 u→u+εσu，v→v+εσv下，（2）式在形式上是不变的。利用（3）式不难证明系统（2）的对称为

 

显然，（5）式为系统（2）的非局域对称。为了将这一非局域对称局域到李点对称，引入变量f≡f（x，y，t），g≡g（x，y，t），h≡h（x，y，t），p≡p（x，y，t），q≡q（x，y，t），将原始系统（2）延拓到一个延长系统。这一延长系统由（2），（3）和

（19），（20）代入（13）得到

 

且设

 

容易证明由（4）和（7）组成的线性化方程组有下列解：

可以证明式（14）是延长系统（13）的线性化方程的一个解。

 

（16）式中 Δ，Γi，Δi表示为以下行列式

 

（9）式具有M bious变换不变性，（8）式中的σf=-是M bious变换的无穷小的形式。

解（8）式的初值问题：

 

得到下列有限变换定理1：

定理1 如果 ｛u，v，f，g，h，p，q ｝是延长系统（2），（3），（6）的一个解，则

 

式中ε为群参数。

2 （2+1）维KdV系统的多次有限变换定理

由于谱参数的任意性，可以得到系统（2）的无限个非局域对称：

 

式中（ii=1，2，…，n）是满足Lax对（3）的谱函数（当 λ=λi时），ci为任意常数。因而再次引进延长系统：

 

 

对i=1，2，…，n，则非局域对称（12）变成局域的李点对称：

 

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考虑（14）的初值问题

(4)Q=q′∪QualityTable∪QualityPage∪QualityItem，其中：QualityTable表示质量表节点的集合，QualityPage表示质量表页的集合，QualityItem表示质量项的集合。质量表由一个或多个质量表页组成，质量表页上记载一个或多个质量项。

 

 

虽然解（15）式的初值问题比较困难，但不难验证最终结果可以表示成多次变换有限定理2。定理2 如果 ｛u，vi，fi，gi，hi，pi，qi，i=1，2，…，n ｝是延长系统（13）的一个解，则有

U（ε）=u+2（lnΔ）xx， V（ε）=v+2（lnΔ）xy，

 

因此，非局域对称（5）变成由（2），（3）和（6）组成的延长系统的局域的李点对称。这里需要指出的一个重要事实是引入的变量f恰好满足系统（2）的Schwartzian形式：

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系统（2）的对称 ｛σu ， σv ｝定义为其线性化方程的解：

 

 

因为有限变换定理2等价于第二类Darboux变换，因此从定理2能获得多孤子解。假设（2）式的平凡解为：

 

组成。（3）和（6）的线性化方程为

 

把（19），（20）代入（3）得到

 

把

4月26日，天成控股发布2016年度报告，因连续两年经审计的净利润亏损，天成控股实施股票退市风险警示，股票被交易所特别处理，戴上“ST”的帽子，停牌一天，此后，日最高涨跌幅变更为±5%。

无人机作为面向自然灾害的应急物联网的空中接口，可以有效地解决应急物联网应用中大规模移动异构物联网设备能量受限条件下的远距离通信问题[2].无人机可移动到大规模移动物联网设备上方，获取移动物联网设备的数据，为超出直接通信范围的移动物联网设备提供交换信息的可能.在这样的大规模移动异构物联网中，无人机作为数据采集器，形成了网络的中间层[3].为了提高网络的生存周期，实现绿色物联网，在保证可靠高效通信的前提下，网络的节能策略值得研究.基于无人机的无线网络相关研究如表1所示.

就目前而言，中学英语教学的基础设施尚不配套，各县、市城乡差距很大，大城市中教学早已“现代化”，而一些小城市、县及广大农村中学在这方面几乎还是一片空白。

 

将（22），（23）代入定理 2，就可以得到系统（2）的多孤子解。对 n=2，行列式（17）的值为：

 

双孤子解为 u=2（lnΔ）xx， v=2（lnΔ）xy。

3 结论

由已知的Lax对，得到用谱函数表示的（2+1）维KdV系统的非局域对称。非局域对称不能用来求解系统的精确解。通过引入合适的变量，使原始系统拓展到一个延长系统。在这一延长系统中，非局域对称就能局域到李点对称，从而获得系统的有限变换和多孤子解。利用Lax对得到系统的非局域对称，在非线性物理系统中求解相互作用解和多孤子解，有着广泛的应用。

2.1.7 锌。2012年全市叶片锌平均含量为32.49 mg/kg(表1)，说明锌的含量在较适中的范围。锌在苹果营养生长和生殖生长中起到调节激素的作用，同时对花粉管生长起到重要作用，锌也能影响果树的抗冻性和花对霜冻的抵抗力。磷/锌比值应该是100或更低，高 pH、高磷酸盐、高有机质和低温均降低土壤锌的有效性。在缺乏时，叶片喷施螯合态锌最有效 。

参考文献：

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这种近似分解了5n状态空间，其中n为同时发生的地震的数目。这就有效地减少了计算量。然而，由于所有质点包含的仅仅是整个参数空间的一小部分，因此它只是较优的方法。

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大型钢筋混凝土圆形直筒结构经济型木模板施工技术…………………………………………… 颜志宏，陈宏波（12-220）

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处理之后北侧JC3、JC2稳定在现在的标高上，其他JC1、JC4基础平稳缓慢地被抬升但仍未达到规范要求。因此采用八台液压千斤顶加以电脑辅助顶升控制，井架快速回倾至规范允许值以内井架垫板下口加塞大截面钢板补衬，用C50高标号砼二次灌注。经矿方地测部门长期观测，井架未发生新的倾斜。

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