0 引言

我国工信部《中国制造2025》提出将“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.锂离子电池作为电动汽车的储能装置，其有效寿命和安全可靠性是电池管理系统的关注焦点.大量事实和实验充分表明，锂离子电池应当在合适的充电方式及管理模式下运行，否则，不仅其性能得不到充分发挥，而且还会缩短其寿命，甚至导致安全问题[1].

RFID防伪平台负责对商品上的RFID电子标签进行防伪溯源信息（生产日期、物流信息等）的写入并上传至溯源信息管理平台。RFID防伪平台工作流程如图7所示：

合适的电池模型是电池管理系统的前提和基础，为了实现电池管理有效可靠地集成，所采用的模型必须同时满足两个要求，在精度上能够捕捉电池动力学特性，在复杂性上能够适应板上系统实时性运算要求[2].电池状态监控和安全管理均依赖于电池模型，然而分形电路模型运算的复杂性与电池管理系统的实时性要求相矛盾[3].最近，我们采用经典二阶电路模型仿真了动力电池充放电特性[4]，并采用阶跃电流法辨识了NCM-15.4AH锂离子电池模型参数[5]，上述研究均忽略了锂离子电池的分形特征.众所周知，大功率锂离子电池具有低内阻、长扩散路径和大界面面积等特点，这些特点要求输出电学特性采用分形电路模型描述[6].

分形特征是动力锂离子电池的内在本质属性，在识别模型参数时无法回避这一属性，而电池管理系统板上在线运行，这一特征又要求模型不可过于复杂.因此，在对电池模型进行简化或者降阶时，必须对逼近精度进行严格的定量评估[7].

本文中选用合肥国轩高科NCM-15AH大功率锂离子电池为研究对象，开展如下研究工作：1) 采用改进Randle分形电路描述动力锂离子电池频域特性；2) 给出该分形电路阶跃电流响应解析解；3) 对由常相位单元和扩散Warburg单元构成的分形电路模型进行降阶处理；4) 在0.110.0 s时间窗，计算仿真分形电路模型和降阶模型的阶跃电流响应，并定量给出逼近精度结果.

1 锂电池分形电路模型及其理论

学生在做该题时、易错点为：对5L不知如何处理、代数据时就是5L、不知道用把5L水的质量算出来、还有的学生就只算出水吸收的热量。所以做题时、要认真审题、还要学会把前后知识连贯应用起来。

 

(12)

定义阶跃电流i(t)激励下图2所示电路的输出电压为uab(t)，为了简化运算过程，在复频域求分形电路的阶跃响应.不妨假设i(t)和uab(t)对应的复频域变量分别为I(s)和Uab(s)，s为复频域变量.由电路基本理论可得：

1) 当α=-1时，CPE复阻抗可以简化为ZCPE=jωQ-1，此时CPE等效为一个纯电感，即L≜Q-1.

2) 当α=0时，CPE复阻抗可以简化为ZCPE=Q-1，此时CPE等效为一个纯电阻，即R≜Q-1.

3) 当α=0.5时，CPE复阻抗可以简化为此时CPE等效为一个半无限扩散Warburg阻抗，即≜Q-1是质量传递系数或Warburg系数.

4) 当α=1时，CPE复阻抗可以简化为此时CPE等效为一个纯电容，即C≜Q.

1.2 不同边界条件下Warburg阻抗 如果扩散是由浓度梯度而不是电场梯度驱动引起，则无论是在电解质中还是在电极中，电活性物质扩散控制的质量传递，都可能导致Warburg阻抗.为了讨论方便，此处沿用我们最近给出电活性物质迁移的示意图[6]，如图1(a)所示，① 对应电解质区域，② 对应电极区域，③ 对应集流体区域，L是电极厚度，M是扩散反应物，e-是带单位负电荷电子.如果是M阳离子，电子将从集流体流向电极；如果是M阴离子，电子将从电极流到集流体.图1(b)描绘在不同边界条件下的3个典型Warburg阻抗ZWs、ZWo和ZW∞的Nyquist图，横轴为阻抗实部Z′，纵轴为阻抗虚部Z′′，频率范围为0.1 mHz0.1 MHz，σ=3×10-4 Ωs-1/2，l=1×10-6 m, D=5×10-12 cm2s.

  

图1 (a) 氧化还原物质M在多孔电极中扩散示意图；(b) 3个典型Warburg阻抗ZWs、ZWo和ZW∞的Nyquist图

图1(b)所示3种不同情形，其Warburg阻抗数学描述如下：

1) 如果电活性物质M的浓度C满足，C(l,t)=0和即穿透边界条件(也称为短路端口)，此时Warburg阻抗被命名为ZWs，具体描述如下，

 

(37)

上述方程中，RD是扩散电阻，s是无量纲频率，ω是角频率，TD是扩散相关的时间常数，le是有效扩散厚度，D是M有效扩散系数，σ是Warburg系数，C是M的浓度，A是电极/电解质界面表面积，R是气体常数，T是绝对温度，n是电子转移数.

一、在乡村社会发生剧变、村落大量消失的当今之世，村落民俗志书写亟需以深度的田野调查为基础，兼顾民俗的传承与变迁、自治与他律的动力机制，挖掘村落内蕴的传统智慧，促进对村落社会、民俗传统的准确认知与理解。以此为基础，阐述其对国家或地方社会整体发展的重要意义，探讨如何通过民俗文化传承以济世致用，助推当代乡村振兴战略。

2) 如果电活性物质M的浓度C满足C(l,t)≠0和即反射边界条件(也称为开路端口)，此时Warburg阻抗被命名为ZWo，具体描述如下，

将方程(23)进行拉布拉斯反变换可知，降阶模型在时域的阶跃电流响应为：

 

(89)

其中RD是扩散电阻，s是无量纲频率，ft1是ZWo从扩散控制区进入电荷饱和区的过渡频率.

3) 在无限扩散长度(l→∞)或低扩散系数D的极限情况下，两类不同Warburg阻抗ZWs和ZWo彼此等价，可以简化为半无限扩散阻抗

(10)

总之，上述3种不同扩散阻抗都可称为Warburg阻抗，它们都应该遵从如下规律：1) 高频时，Warburg阻抗较小，因为扩散反应物不必迁移过远距离；低频时，Warburg阻抗较大，因为扩散反应物必须迁移更远距离.2) 较低的频率对应于更深的迁移距离.如果材料的厚度相对于扩散系数足够薄，较低频率将穿透整个厚度，此时产生有限长Warburg阻抗；如果材料的厚度相对于扩散系数足够厚，使得施加的最低频率也不能完全穿透，此时产生半无限扩散Warburg阻抗.

  

图2 大功率锂离子电池分形等效电路模

1.3 改进的Randle电路模型 大功率锂离子电池具有低内阻、长扩散路径和大界面面积等特点，其输出电学特性具有典型分形特征.为了仿真分析大功率锂离子电池电化学阻抗谱(电子工程领域称之为频域响应或者传递函数)，采用如图2所示改进的Randle电路模型.与传统Randle电路比较，有两处改进，一是理想界面电容被分形常相位单元CPE1代替，二是分形Warburg扩散阻抗单元被移出.图2中，R0表示欧姆电阻，R1表示电荷传递反应电阻，CPE1表示非理想界面双电荷层，ZW∞表示扩散阻抗，u0(t)、u1(t)和u2(t)分别为R0、CPE1//R1和ZW上电压瞬时值，电压参考方向如图2所示.

综合考量如下3个因素：1) 大功率锂离子电池具有较长扩散路径；2) 电池管理实时性要求；3) 锂扩散系数通常处于10-1310-9 cm2/s范围，并结合图1(b)仿真结果，我们选择半无限扩散阻抗单元ZW∞描述大功率锂离子电池扩散行为，ZW∞如方程(10)所定义.

2.1 分形电路模型阶跃电流响应解析解 为了评估降阶模型的精度，我们首先给出分形电路模型的电流阶跃响应解析解.我们定义阶跃电流信号i(t)，其中，I0为阶跃信号的幅度，ε(t)为单位阶跃函数，t为时间变量，i(t)参考方向为从a流向b.

2 分形电路模型的降阶分析

下面对如图2所示分形电路模型进行降阶处理和分析，采用单位阶跃电流信号作用于电池模型，对比降阶前后系统响应的差别，进而定量评价降阶模型的近似程度.

（1）物流行业的交通运输的税率增加，从某些程度上来说可能增加企业的应纳税额，在营业税改增值税的举措执行之前，交通运输行业的要缴纳的营业税的税额是按营业额乘3%的税率，但是在营业税改增值税的举措执行之后，物流企业的交通运输项目要按10%的税率来缴纳增值税额，物流企业的仓储项目也由以前的5%的营业税税率增加到现在6%的增值税税率，就很大可能如果进项税额抵扣额太少的话，公司可能会比以前缴纳更多的税额，这也很容易使部分物流企业陷入沉重的负担困境。

 

(1112)

上述方程中，Q是常数，ω是角频率，α是分形指数，在-11之间变化. 显然常相位单元的复角arg(ZCPE)独立于角频率ω，该特性使它成为一个有价值的指示参数.分形指数α有如下4种特殊情况：

(13)

电流的阶跃响应方程(13)可以变换为：

 

(14)

对方程(14)进行拉布拉斯反变换[13-14],可得电路模型的阶跃电流响应表达式为：

 

(1517)

 

(1819)

为克服维生素易被氧化等缺点，牙膏中一般使用维生素C磷酸酯盐，如维生素C磷酸酯镁、维生素C磷酸酯钠。维生素C磷酸酯盐进入人体后，均能通过磷酸酯酶迅速酶解游离出维生素C，发挥维生素C特有的生理生化功能。维生素C磷酸酯镁在高温加热时比维生素C稳定，在牙膏中的用量一般为0.1%～0.5% 。

2.2 分形电路降阶模型阶跃电流响应 图2所示改进Randle电路模型中，存在两个分形分数阶单元，即常相位单元CPE1和半无限扩散Warburg阻抗单元ZW∞.为了保证电池管理系统的实时性，我们需要降低分形电路单元CPE1和ZW∞上瞬态电压u1(t)和u2(t)计算的复杂性，将分数阶电路转变为整数阶是一个有效的方法.为了简化分形电路单元上瞬态电压的控制和管理，将电池的分形电路模型分为U0、U1、U2等3个部分.其中，电路U1响应的降阶模型解取自文献[6,15]，即将R1与CPE1的并联降阶为R1与C1的并联，具体公式如下所示：

(20)

因此，分形电路模型R1//CPE1可采用降阶模型R1//C1近似，结合基尔霍夫定律以及电路的基本知识，可以求得分形电路降阶模型阶跃电流响应v1(t)为：

 

(21)

其中，C1可由方程(20)进行计算.

 

表1 s1/2近似表达式

  

阶数近似表达式一阶3s+1s+3二阶5s2+10s+1s2+10s+5三阶7s3+35s2+21s+1s3+21s2+35s+7四阶9s4+84s3+126s2+36s+1s4+36s3+126s2+84s+9

电路U2中，由文献[6,16]可知，单独的Warburg阻抗ZW∞的4种常见降阶模型中的s1/2近似值如表1所示.

由上述推导过程可以得知：方程(15)代表大功率锂离子电池阶跃电流响应的解析解.

表1代表分形电路ZW∞的降阶模型的几种常用表达形式，再结合ZW∞的表达式进行等效变形，可以得出4种分形电路降阶模型的电流阶跃响应.下面以一阶降阶模型进行说明：

 

(22)

则降阶模型在复频域的阶跃电流响应为：

为了打造精品工程，作为宁夏回族自治区水利史上唯一一个同时开工建设改造13座泵站的水利工程，该项目由专家考评团队把关，实行大标段整体招标方式，采取公开、公平、公正的招投标机制，最大限度地选择实力强、水平高的85家施工、监理及设备材料供应等单位。在施工单位质量保证、监理单位质量控制的基础上，借助第三方检测和第三方造价咨询机构的力量，对工程实体质量实行了全过程、全方位的技术跟踪及审核结算，为建设优质工程、控制成本提供了强有力的保障。

 

(23)

随着城镇化发展以及子女生活节奏加快，大量农村留守老人、空巢老人缺乏照顾，特别是一些高龄老人期盼就近吃上饭菜，或搬进照料周全的养老院去住，但不论是社区老年饭堂还是专业养老机构，在数量和质量上还远远满足不了老人的需求。

(24)

由上述推导过程可以得知：方程(24)代表大功率锂离子电池分形电路中ZW∞的一阶降阶模型的阶跃电流响应.同理可得二、三和四阶降解电路的阶跃电流响应表达式 v22(t),v23(t)和v24(t).

2.3 分形电路降阶模型的时域分析 下面我们在时域分别对分形电路模型和降阶模型进行对比.

1.1 非理想界面与常相位单元 电容可以用于表征电极/电解质界面双电荷层，此双电荷层产生的电流对应于非法拉第过程[8].大功率锂离子电池电极表面分形或者粗糙性[9]、反应速度的不均匀性[10]、厚度或组分的不均匀性[11]以及电流分布的不均匀性[12]导致电极/电解质界面表现为非理想电容特性，如果依然采用理想的电容描述，将无法取得较好的数据契合度.因此，提出常相位单元CPE解决这个问题.常相位单元(Constant Phase Element，CPE)复阻抗定义为：

测试样品为合肥国轩大功率锂离子电池NCM-15AH，电池的上限截止电压为4.2 V，下限截止电压为3.0 V.实验测试平台为Solartron1470E-1455 电化学工作站：Solartron 1470E为8 通道恒电位/恒电流仪，每秒最高可采集10 000个数据点，不同步骤的瞬时切换速度为0.1 ms.Solartron 1455 为频率响应分析仪，在10 mHz1 MHz全频率范围内测量精度为0.1%10.0%.

方法方面，黄秀英、秦金根[31]在探究邓石如书风形成的原因和影响的过程中，运用了网络史学方法，这很值得思考和借鉴。史学研究过程中确实应该注重网络研究，如对包世臣的作品《艺舟双楫》，若能充分考虑到包世臣的交往圈子、该书的成书环境等，这对于文本解读有相当的意义。仅仅就文本而论文本，忽略了话语语境，结果就容易只知其一而不知其二，许多问题并不能得到有效解决。

通过实验测试平台Solartron1470E-1455 电化学工作站测试合肥国轩大功率锂离子电池NCM-15AH的数据，用软件对其进行拟合，得到等效电路参数如下：

一是要搞好课前准备。学生和教师都应充分准备课程。尤其是教师，精心准备课堂计划极其重要。即使这一计划没有详细地落实到教案，也应该经过深思熟虑。否则，不但教师本人会很尴尬，而且还会浪费宝贵的课堂时间。在准备课堂计划的同时，教师也应该把必要时需要增加的一些额外课堂活动考虑进去。对学生而言，良好的课前准备意味着带着清楚的目的走进课堂（例如，可能会有一些复杂的句子，学生很难理解，等待老师来解释的）。课前有过精心准备的学生，一般来说，课堂上很活跃，这样也节省了时间

现在，他应该后悔，慢慢来，稳着，不急着搞大的，他会有今天？拖得起吗？他把要做的事排到65岁退休，再往后加十年都排不完，他急，心急脾气就大，没人敢拦，拚着往前赶的他，从未料到会在这连天暴雨中嘎然而止。

R0=9.31 mΩ, Q=3.764, α=0.800 1, R1=4.177 mΩ, σ=0.65 mΩs-0.5

  

图3 子电路R1//CPE1在电流阶跃信号激励下,在不同分形参数α条件下(a) 解析解u1(t)；(b) 降阶模型的近似解vt(t)

  

图4 不同分形参数α 条件下，降阶模型近似解vt(t)和解析解u1(t)和间的相对误差

在不同的分形系数α条件下，图3(a)和图3(b)分别是子电路R1//CPE1在电流阶跃信号激励下解析解u1(t)以及降阶模型的近似解v1(t).图4是α取不同值的时候解析解u1(t)与降阶模型近似解v1(t)相对误差曲线图.其中，阶跃信号下子电路R1//CPE1响应的降阶模型解取自文献[6,15].由图4可见：随着α的增大，解析解与降阶模型解的误差随α增大而不断减小，在0.110.0 s的观测窗内，当α大于0.9时，两者的误差低于3.0%.因此，本文中采用的降阶模型不仅能够减少计算量，而且还能保证极高的精度.

图5(a)是阶跃电流信号下分形子电路ZW∞的解析解以及4种降阶模型的近似解；图5(b)是解析解与降阶模型近似解之间的相对误差.其中，ZW∞的4种降阶模型方法来自于文献[6,16].从图4(b)可以看出：在0.110.0 s的观测窗中，4种方法的相对误差均低于20.0%，当阶数大于4时，降阶模型近似解的相对误差低于3.0%，精度完全达到工程应用要求.

  

图5 (a) 分形子电路ZW∞单位阶跃响应的解析解u2(t)和降阶模型的近似解v2i(t); ( b) 降 阶模型的近似解v2i(t)和解析解u2(t)之间的相对误差． 其中n 为降阶模型的阶数

3 结论

本文中主要研究大功率锂离子电池的分形等效电路模型，并对其电流阶跃响应进行详细的推导.为了简化大功率锂离子电池分形等效电路模型阶跃响应的计算过程，本文中提供的降阶模型，在0.110.0 s的观测窗内，由降阶模型得到的近似解相对误差均低于20.0%，其中二阶降阶模型解的相对误差已经低于5.0%，可见，当阶数n≥2时，降阶模型已满足工程应用的精度要求.

致谢 感谢华中科技大学动力与储能电池实验室给予的实验支持.

按投资项目的发展阶段进行划分，2017年中国创投的投资金额主要集中在成长（扩张）期和成熟（过渡）期，占比分别为44.7%和29.9%，相比往年有所增加。相应地，对起步期项目的投资下降较大，资金占比由2016年的30.3%下滑到2017年的20.8%；种子期项目投资变化较小。投资阶段整体后移，行业“急功近利”倾向有所增加（见表1）。

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