0 引言及主要定理

一个光滑度量测度空间 (也称为权重测度空间)实际上是一个黎曼流形上匹配一些与通常黎曼度量相关的绝对连续的度量. 具体来说, 对于一个给定的完备n维黎曼流形(M,〈,〉), 其度量为〈,〉, 则(M,〈,〉,e-fdν)称为一个光滑度量测度空间, 这里f是一个M上的一个光滑实值函数, dν是M上与度量〈,〉相关的黎曼体积元. 在一个光滑度量测度空间 (M,〈,〉,e-fdν) 上, 定义权重椭圆型散度算子：

Lf=-divfA

(1)

这里divX=efdiv(e-fX) 是向量场 X 的权重散度, A:Ω→End(TΩ) 是Ω的切丛TΩ上截面的光滑正定对称自同态变换, 是梯度算子. 当 A 是恒等映射时, -Lf 就是drifting拉普算子拉斯 Δf, 当f是一个常数时, Lf 是通常的散度型椭圆算子. 本文中, 我们将考虑下述特征值问题:

 

具体来说, 我们将给出这一问题在高斯收缩孤立子上的低阶特征值的不等式, 而关于其他算子的低阶特征值的估计结果可参看文献[1-4]. 下面我们先简单介绍高斯收缩孤立子相关的基本概念.

在一个光滑度量测度空间(M,〈,〉,e-fdν)上, 我们可以定义权重Ricci曲率：

Ricf=Ric+Hessf,

这里Ric是M上的Ricci曲率, 是Hess上的Hessian算子, 而Ricf也称为∞-Bakry-Émery Ricci 张量.对于一些常数 κ, 方程Ricf=κ〈,〉被称为梯度Ricci孤立子方程, 这些方程在Ricci流的研究中起到非常重要的作用, 关于Ricci孤立子的研究结果, 可参看文献[5].对 κ>0,κ=0,或者κ<0时, 梯度Ricci孤立子(M,〈,〉,e-fdν,κ)分别被称为收缩的, 稳定的, 和扩张的. 当 这里x∈n, n是一个n维欧氏空间.已知欧氏空间上Ricci曲率为0，因而 则称为高斯收缩孤立子，这里〈,〉can是n维欧氏空间上的标准度量.关于高斯收缩孤立子上特征值的研究结果可参看文献[6-8]. 而在本文中， 我们得到

定理 设 Ω 是高斯收缩孤立子上的一个有界区域, 假定在整个Ω上有 ξ1I≤A,tr(A)≤nξ2, 这里 I 是恒等映射, ξ1,ξ2 是正常数, tr(A)是A的迹. 如果 λi 是下列特征值问题的第i个 特征值

 

(2)

和

最后，在科研目标设定方面，应突出实用性，直接参与乡村振兴的规划设计和指导，坚持产学研有机结合，通过科研活动，进一步增强地方高校的社会服务功能。努力为乡村振兴服务，在社会主义新农村建设过程中，地方高校科研工作要紧紧围绕地方经济和社会的发展，这不仅是我国经济体制改革的需要，同时地方高校作为科学研究的主阵地，要在为乡村振兴服务的过程中，争取获得最大的经济效益和社会效益。

 

(3)

随着电网的迅速发展，配套通信网络在高速建设，新设备大量投产，预示着通信设备巡检的工作量也必将大幅度增加[1]。电力通信设备巡检是保证电力通信设备安全稳定运行的基础工作。定期巡检可以及时发现通信设备的损耗、故障和缺陷问题。

休闲权利意识的淡薄、照料责任、对自身体型的不自信以及对性侵犯和暴力事件的担忧是最主要的个人内在制约［26-30］。Harrington M和Dawson D［26］调查家庭主妇对休闲的认知，发现部分主妇将休闲视为专属男性的活动。Brown P R等［27］的研究发现，超过三分之二的带小孩女性没有时间参与休闲健身活动，其原因是照料责任。女性因对体型不自信造成的制约对休闲参与的影响也很大。Liechty T［28］发现，88%的女性在休闲中受到体型制约影响，Lori-ann P等［29］调查初中女生休闲制约和协商策略发现，被调查者很难提出有效克服体型制约的协商策略。

1 主要定理的证明

这一节，我们将给出本文中的主要定理的证明.

农业示范区以保加利亚公司为依托，普罗夫迪夫农业大学、中国农科院、中国杂交水稻研究中心、华大基因农业集团等20余个中保科研机构和企业参与建设，形成了农业科研基地。

定理的证明 设 xi,i=1,…,n 是n 上点x的 第i个标准坐标函数, 直接计算可得 |xi|=1和

（3）鉴于化工新材料和专用化学品成为未来我国化工产业发展的投资热点领域，重点研制利用催化油浆作为碳材料前驱体，生产新型碳纳微球中间体，并应用于电子电器、通讯信息、生命科学、贮能材料等领域，通过新工艺和新产品进一步拓宽催化油浆综合利用空间。

Δfxi=Δxi-〈

定义一个n×n 矩阵C=(Cij)n×n, 这里 由Gram-Schimidt正交化方法, 我们知道存在一个上三角矩阵R=(Rij)n×n 和一个正交矩阵T=(Tij)n×n, 使得R=TC. 因此, 我们有

 

由此可知yi满足文献[3]中(7)式的条件, 此时a=0,b=1,V≡0,ρ≡1, 则将gi=yi代入

 

设 则我们有

 

(4)

where pi=-2〈yi,Au1〉+u1Lfyi.

另一方面, 既然 而T是一个正交矩阵, 所以 yi,i=1,…,n 也是 Rn上点x的 第i个标准坐标函数，同时 有|x|=|y|,| 因此直接计算可以得到

由分部积分公式可得：

 

(5)

 

yi,A

(6)

这里 那么我们有

 

 

(7)

SME在发布2016版“SME评估标准”之前，美国国内还没有专门的进行矿产资源资产评估的标准，为了推动矿产资源资产的评估和标准建设工作，2012年成立了SME评估标准委员会，最终推动了评估标准的建成，极大促进了矿产资源资产评估工作的发展。借鉴美国SME，组建国内权威的专业矿产资源资产评估机构，并规范评估机构的职业道德操守，评估机构应是专业客观独立的科研单位，以保证评估结果的客观性、准确性、专业性。同时加强矿产资源资产专业评估师的培养，增强我国矿产资源资产评估人员队伍建设。

由定理我们可以得到关于drifting拉普拉斯算子的低阶特征值的估计, 事实上, 当A=I时, 特征值问题(2)则是drifting拉普拉斯算子的Dirichlet问题, 而此时在(3)中令ξ1=ξ2=1, 即可得到drifting拉普拉斯算子的Dirichlet问题的的低阶特征值的万有不等式.

 

这说明

 

(8)

由

u1,Au1|2,

这说明

(9)

将(8)(9)式代入(7)式, 可以得到

广播影视主要是根据观众的需求以主动的方式给他们提供，自行选择收看节目的公共服务。在数字条件下，我们不但要提供公共服务，还要提供多样化、个性化的服务。因此，节目内容生产将面临前所未有的巨大需求和挑战，这就要求传播内容要适应社会发展，从封闭、分散、独立的传统服务模式向开放服务、个性化服务、信息聚合服务转变，按照社会化规律和市场的要求，进行结构调整、资源重组、合理分工、高效运行。

 

将上式和(5)(6)式)代入(4)式, 可得

 

令

 

可得

定理得证.

2 参考文献

[1] 杨贵诚,杜锋. Heisernberg 群上低阶特征值的估计[J]. 湖北大学学报(自然科学版), 2014, 36(3): 195-198.

[2] 杨贵诚,侯兰宝,杜锋. Carnot 群上低阶特征值的估计[J]. 扬州大学学报(自然科学版), 2016, 19(3): 10-12.

[3] Li Y, Du F. Estimates for the lower order eigenvalues of elliptic operator in weighted divergence form[J]. Journal of Mathematical Research with Applications, 2017, 37(3): 307-316.

[4] Sun H, Chen D. Inequalities for lower order eigenvalues of second order elliptic operators in divergence form on Riemannian manifolds[J]. Arch Math (Basel), 2013, 101(4): 381-393.

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[7] Du F, Mao J, Wang Q, et al. Universal inequalities of the poly-drifting Laplacian on the Gaussian and cylinder shrinking solitons[J]. Annals of Global Analysis and Geometry, 2015, 48: 255-268.

[8] Du F, Wu C, Li G, et al. Estimates for eigenvalues of the bi-drifting Laplacian operator[J]. Zeitschrift fuer Angewandte Mathematik und Physik, 2015, 66 (3): 703-726.