0 引言

回望期权是一种路径依赖型奇异期权，是当今金融市场中广泛交易的期权合约之一.合约允许期权持有人在到期日能“回望”期权有效期内标的资产价格的整个变化过程，可以选取最大或最小的标的资产价格作为交易价格来购买标的资产，这类回望期权通常称为浮动执行价格的回望期权.它是一类交易价格为浮动的期权，其价格高、风险大，但可低价买进，高价卖出，故很受投资者青睐.另外一类具有固定交易价格的回望期权，在金融市场中的投资意义不大，在此不作讨论.

回望期权的定价研究最早在1979年由Goldman等［1］给出了经典Black-Scholes（BS）模型下欧式回望期权的定价解析式［2］.随后，许多学者都在BS模型下对回望期权的定价及应用进行各种研究［3］.由于经典的BS模型是建立在理想市场假设之上，许多学者们不断修正BS模型，其中大多数研究都使用仿射随机过程描述波动率过程［4-5］，且经典的Heston模型是最突出的工作.然而，仿射随机波动率模型是相对简单的，因为模型中波动率的平方根假设不能描述金融时间序列的非线性性质.近年来，越来越多的学者开始关注非仿射随机波动率模型［6-9］，并已经发现它比仿射模型能更好地捕捉主要股票指数的动态［10］.Chourda⁃kis［7］在非仿射对数方差模型下，利用连续时间马尔科夫链模拟隐波动率过程，并对期权的定价进行了一些近似计算.Shi等［8］在非仿射随机波动率模型下利用高阶紧致差分法对期权的定价进行了一些近似计算.吴鑫育等［9］应用快速傅里叶变换方法讨论了非仿射随机波动率模型下欧式期权的定价，并进行实证分析说明.需要指出的是，这些已有的文献大多集中在对标准欧式期权的定价研究，且主要是利用期权价格满足的偏微分方程［9-10］进行数值计算.由于在非仿射随机波动率模型下很难利用传统的鞅方法得到欧式回望期权价格的解析解，故只能采用数值计算的方法［7-10］.为了提高计算效率，降低计算期权价格的复杂度，这里在非仿射随机波动率模型下探索利用蒙特卡罗模拟法对具有强路径依赖型特征的欧式回望期权的定价进行数值近似计算.

1 非仿射随机波动率模型

设在风险中性概率测度Q下，考虑一个无摩擦、无套利可连续交易的金融市场，交易时间为[0,T]，其中，T表示到期日，市场中的不确定性由完备概率空间(Ω,(Ft)0≤t≤T,Q)刻画，Ft是包含了t时刻之前的市场中所有信息的σ代数流.假设该不完备的金融市场由一种无风险资产（债券）和一种风险资产（股票）构成，且股票价格过程S(t)及其波动率过程Y(t)满足如下的非仿射随机波动率模型［9］：

 

这里r,k,θ,σ,γ均为常数，其中r——无风险利率，k——方差均值回归的速度，θ——股票收益率方差的长期均值，σ——资产收益率方差的方差，γ——扩散函数的指数，在本文中被命名为非仿射参数.W1(t)、W2(t)均为风险中性概率测度Q下相关系数为ρ的标准布朗运动.显然，当参数γ=1时模型（1）就是经典的Heston随机波动率模型.

采用SPSS 20.0统计学软件进行统计分析，计量资料（±s）及计数资料[n（%）]分别利用 t检验和 χ2检验，P＜0.05为差异有统计学意义。

为了方便计算，记W2(t)=ρW1(t)+ Z(t)，Z(t)与W1(t)是相互独立的布朗运动.模型（1）可写为：

 

2 股票价格的Monte Carlo模拟

蒙特卡罗法（Monte Carlo，MC）是运用统计学中的抽样思想，将所求解的问题与某个随机模型或概率模型联系起来，利用计算机进行随机模拟，以得到问题的数值解，故又称为随机模拟法.MC法在期权定价中的应用非常广泛，尤其在处理多个标的资产和路径依赖型期权定价等方面具有显著优势.由于欧式看涨或看跌回望期权的定价问题［1-3］可归结为计算：

本文中提出的互联网+背景下的精品资源共享课程建设方法探讨，通过分析目前资源共享平台建设的意义和缺陷，提出如何在互联网+背景下，利用互联网优势，将最优质的师资和资源进行共享的方法。在下一步工作中，继续将互联网+的共享资源方法应用到计算机专业相关课程体系中。

 

标的股票价格过程S(t)的模拟路径由模型（2）可表示为：

由于在非仿射波动率模型（2）下很难求解得到欧式回望期权价格的解析解，故只能采用数值计算的方法［7-10］.这里主要采用对偶MC法模拟出波动率过程和股票价格过程的路径，然后利用式（3）计算期权的价格的数值解.

2.1 波动率过程Y(t)的Monte Carlo模拟

运用一般的MC模拟法计算期权价格，有时与实际值存在明显偏差，故通常会采用一些方差减少技术降低近似值的方差，对偶变量法就是常用手段之一.在此应用对偶Monte Carlo（MC）模拟计算欧式回望期权的价格，步骤如下：

 

设ε1、ε2为相互独立且服从标准正态分布的简单随机样本.故式（4）又可表示为：

 

2.2 股票价格过程S(t)的Monte Carlo模拟

这里S(T)——到期日的股票价格，E——风险中性测度Q下数学期望，m、M分别表示[0,T]内股票价格的最小值和最大值.

 

这里ε1为相互独立且服从正态分布的简单随机样本.

 

同理式（6）也可表示为：

2.3 股票价格过程S(t)的对偶Monte Carlo模拟

先将金融市场中连续交易的时间区间[0,T]进行n等分割，记Δt=，ti=iΔt，i=0,1,2,…,n.由式（2）可得随机波动率的模拟路径：

另外，要多安排一些活动，开展活动不仅可以丰富阿姨的学习生活，更能促进阿姨了解和热爱这个职业。例如，组织新老阿姨的交流、阿姨和雇主的交流、聚餐和出游、文体比赛等。

由2.3中利用对偶Monte Carlo（MC）模拟法得到的股票价格路径()n×N和对偶的股票价格路径)n×N，结合式（3）可得欧式回望期权价格的数值算法如下：

首先，利用Matlab数学软件模拟出两组n×N维简单随机样本序列ε1,ε2，这里ε1,ε2相互独立且服从标准正态分布；其次，把ε1,ε2和-ε1,-ε2分别代入式（5）可模拟出N条波动率路径及N条对偶波动率路径.然后将模拟出的2N条波动率路径和简单随机样本ε1,-ε1分别代入式（7）中可得到N条股票价格路径以及N条对偶股票价格路径，分别记为其中1≤ j≤ N,0≤ ti≤ T,i=0,1,…,n.

3 主要结果

通过上述的教学方法反思，大致了解了开展教学活动应从哪些方面来入手，教师在进行教学活动时能够更好地避免问题的发生。进行教学反思的实际意义在于：第一，小学语文教学反思促进了教学活动的发展，使教学效果得到了更好的提升，弥补了教师在教学方法上的不足。第二，小学语文教学的反思有利于教师在教学技巧上得到重大突破，更能适应当代社会教育下的教学创新，使得教学方法在教学活动中能取得更好的效果。因此，小学语文教学反思的实际意义我们要充分认识，积极进行教学反思，不仅提高学生的学习成绩，还能取得良好的教学效果。

 

鉴于猪传染性胸膜肺炎具有较强的传染性特点，一经发病便迅速在猪群中扩散，造成生猪的大规模死亡，致使养殖户蒙受高额经济损失，因此务必要强化疾病的防控意识，确保从源头入手杜绝疾病的出现与传播，借助提前预防降低发病率。

记t∈[0,T]时刻股票价格为S(t)，在[0,T]时间内股票价格的最大值和最小值分别记为M= S(t)和m= S(t).因此，具有浮动执行价格的回望期权在合约到期日的收益为：

定理1假定股票价格过程及其波动率过程Y(t)满足非仿射随机波动率模型（2），则欧式回望看涨期权在初始时刻t0=0的模拟价格为：

嘉庆二十五年（1820年）嘉庆帝去世，道光皇帝的登基给了初彭龄一次发挥余热的机会。道光元年（1821年）正月，刑部员外郎初彭龄受赏礼部侍郎衔，不久署礼部左侍郎，七月，署礼部右侍郎，八月复任兵部尚书，十二月，兼署顺天府府尹事和工部尚书。一年时间里，初彭龄从没有实权的员外郎一跃为工部和兵部两部最高官员。次年闰三月，赏工部尚书初彭龄在紫禁城内骑马。五月改派初彭龄等人承修地坛牌楼石枋及周围泽河等处工程。道光三年（1823年）三月，命其署教习庶吉士。道光四年（1824年）四月，初彭龄年老休致，受赏半俸，翌年秋七月谢世。

 

其中T为到期日，S1Tj是第j(1≤j≤N)条模拟路径在T时刻的股票价格终值，{是第j(1≤ j≤ N)条模拟路径中股票价格的最小值，S2Tj是第j(1≤j≤N)条对偶模拟路径在T时刻的股票价格终值， {}是第j(1≤j≤N)条对偶模拟路径中股票价格的最小值.

定理2 假定股票价格过程S(t)及其波动率过程Y(t)满足非仿射随机波动率模型（2），则欧式回望看跌期权在初始时刻的模拟价格为：

 

其中T为到期日，S1Tj,S2Tj同定理1， {S1tij}，是第j条模拟路径中股票价格的最大值，{S1tij}是第j条对偶模拟路径中股票价格的最大值.

（3）按基层行政管理人员从事的岗位分类。管理人员中尤以辅导员的研究最多。其次为教学秘书、档案管理人员以及其他教辅人员为研究对象。

4 数值结果与分析

数值计算以欧式看跌回望期权为例.结合模型（2），首先通过蒙特卡罗法模拟股票价格的趋势变化见图1.计算基本参数值为：S(0)=100、Y(0)=0.3、r=0.04、T=12、k=10、θ=0.5、σ=0.6、ρ=0.5，其中S(0)为股票价格的初始值，Y(0)为波动率过程的初始值，T为到期日，r、k、θ、σ均同模型（1）.

由图1可知，在非仿射随机波动率模型下，标的股票价格S(t)随着非仿射参数γ的变化而变化，因此，非仿射参数γ的变化也会影响欧式回望期权的价格.进一步，利用对偶方差减少技术模拟得到股票价格，由式（11）可近似计算欧式看跌回望期权的价格，具体计算结果见表1.由表1可知，期权价格也会随着非仿射参数γ的变化而变化，这说明非仿射参数γ对期权价格的影响不可忽略.

  

图1 MC模拟股票价格曲线Fig.1 Stock pricecurvesimulated by Monte Carlo

 

表1 欧式回望看跌期权价格Tab.1 The price of the European look back put options

  

γ 0.2 0.6 1.0 1.4 2.0 2.6 3.0 σ=0.2 3.272 6 3.257 9 3.371 5 3.346 8 3.319 7 3.217 5 3.272 5 σ=0.4 3.161 0 3.411 7 3.478 3 3.176 9 3.395 5 3.081 6 3.473 5 σ=0.6 3.287 5 3.007 3 3.457 4 3.158 5 3.309 4 3.780 6 3.134 8

5 结论

近年来很多学者都热衷于研究关于随机波动率模型的期权定价问题，而已有的研究主要关注仿射随机波动率模型（例如Hull-White波动率模型、Heston波动率模型等），这是因为仿射随机波动率模型下可以得到普通欧式期权价格的显示解，给实际的应用带来便利.然而诸多研究表明，非仿射随机波动率模型比仿射随机波动率模型能更有效的刻画资产价格变化过程.本文应用对偶蒙特卡罗模拟法探讨了非仿射随机波动率模型的欧式回望期权的近似计算问题，并给出了计算欧式回望期权价格的具体算法，以及通过数值实例计算了欧式看跌回望期权的价格，最后，分析了非仿射参数对期权的价格影响.由于美式期权的持有人可在到期日之前的任意时间执行期权，持有人须制定出期权的最佳实施策略，以获取利益，故美式期权的定价与欧式相比较有难度.鉴于此，在非仿射随机波动率模型下讨论美式回望期权的定价也是今后的一个研究方向.

参考文献

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［11］张涛，万艳玲，曹石云.部分线性模型的统一估计的强相合性［J］.广西科技大学学报，2014，25（4）：23-29.

［12］熊维玲，甘桦源.（3+1）维Jimbo-Miwa方程的非行波解［J］.广西科技大学学报，2017，28（1）：12-18.