算术的基本运算在于按照某些确定的规则结合两个数ɑ与b，以便得出一个唯一的数c.随着数学的发展,人类认识的不断深化，运算的概念以及可以进行运算的对象大大超出数的范围，还可以有多项式、函数、矩阵、变换等,它们都可以进行运算.在许多问题研究中，人们逐渐形成了用代数运算去刻划各种现象，并且感兴趣那些具有适当性质的代数运算.于是，人们通过对重要的具体对象的共同性质的抽象概括，以代数运算为特征，给出一些基本的重要的代数对象（例如群、环、域、模）[1].

矩阵是一个主要的具体的代数对象，是数学研究与应用的一个重要工具，也是《高等代数》这门课程的一个重要的基本概念．矩阵的初等变换是矩阵理论的核心与精髓[2]，通过这一内容的教学有助于培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．但是，学生在学习这部分内容时往往感到抓不住概念实质，经常对习题不知从何下手，总结不出一般的方法．本文研究《高等代数》中初等变换在矩阵、线性方程组、二次型中的应用，进而揭示初等变换这一工具的本质[3]，达到培养学生能力的目标．

1 矩阵中的初等变换

代数运算是群的一个本质特征.取数域F上的n阶可逆矩阵，构成一个集合，在此集合中取矩阵的乘法为代数运算，则此集合成为一个群，即一般线性群GL（n）.该群的生成元就是初等矩阵.这也反映在矩阵可逆的重要等价刻画：

A可逆当且仅当A可以表成初等矩阵的乘积.

“得民心者得天下”。当前，伴随改革开放地不断深入，在经济社会取得巨大发展的同时，各种西方文化思潮也涌入中国，极端民主化、自由化等思潮不时沉渣泛起。大力加强当代中国主流政治文化建设，使人民能够从心底深处对党的方针政策、执政绩效、执政目标等有一个价值认同，则不仅是有力反击西方分化西化我国图谋的必然要求，也是更好地凝聚人心，巩固党的执政地位的现实需要。

因而，把初等矩阵与初等变换：

带着这样的问题，我梳理了自己30年的语文教学，研究了于漪、钱梦龙等一大批语文教学名家的教育实践，尤其是他们的课堂教学，惊喜地发现：新课改从理念到实践，不是凭空而来的，也不像有些人所理解的是从西方引进的（其他学科或许可以引进，但母语教学是不能引进的），而是在继承中发展的。新课程的很多理念在这一批教育名家的课堂上早就有了充分的体现。

（1）换位变换：交换矩阵的某两行（或列）.

（2）倍法变换：用一个非零的数乘矩阵的某行（或列）.

这个矩阵对应的线性方程组的标准形，然后利用基础解系可方便地处理线性方程组解的结构．

联系起来，去解决矩阵的逆问题．首先，我们引导学生体会初等变换的核心内容-“左行右列”，从而建立初等变换与初等矩阵的对应．接着，我们就自然地给出矩阵可逆的等价刻划：A可逆当且仅当A可表成初等矩阵之积，即A=12…tE．然后，用初等变换给出求逆的方法，

 

 

我们知道每个矩阵都可以经过行的初等变换化为阶梯形矩阵．从而，将方程组化为同解方程--阶梯形线性方程组这一标准形，最后容易分析解的存在性、解的个数、解的结构．对于未知数个数多方程个数多的线性方程组，用消元法解显得简洁且步骤较少，这是利用计算机计算的根本依据．在教学过程中，引导学生通过数学的直觉与观察，为了减少初等变换次数提高计算准确性，解线性方程组实际上分两步进行．我们可以考虑n个未知数m个方程的方程组Ax=b,增广矩阵B=（A b）(见(1)式)，其中

我们还可以通过举例说明，初等变换法求逆比伴随矩阵求逆方法简单得多．

代数学的基本思想方法之一是通过某个适当的等价关系，对所研究的对象进行分类，而后把一般对象的问题归结为较便于讨论的各类代表的问题，以便于分析问题和解决问题.矩阵的秩是矩阵相抵关系下的一个不变量，而矩阵的初等变换保持了这个不变量，体现了初等变换的重要性．因此，选取等价类的代表元，即确定矩阵的相抵标准形，可以方便地处理相应的标准形，解决与这些不变量有关的问题．这也是高等代数中解决问题贯穿始终的思想方法，应有意识地让学生很好去领会．设群GL（m）×GL（n），以Fm×n表许变换，矩阵的标准形就形如

 

同时，我们启发学生理解三种初等变换不是独立的，其中换位变换可以用倍法变换和消法变换的合成来表示，但习惯上还是提三种初等变换[4]．在具体问题研究中，引导学生深刻体会使用不同的初等变换可以达到不同的目的，获得不同的标准形．首先，我们做如下讨论：让学生思考只使用换位变换与消法变换，矩阵将变成什么简单形式？若只使用换位变换与消法变换，并且只对矩阵的行施行，又将变成什么简单形式？然后，经过积极思考后总结出规律．进一步地，若矩阵A为n阶方阵且det A≠0,只施行行的消法变换，矩阵将变成什么简单形式？若det A=1,是什么简单形式？若det A=0,又是什么结果？这也为研究矩阵秩与相抵标准形奠定坚实的基础．

2 线性方程组中的初等变换

从牧场到餐桌，好牛奶依赖好奶源。据了解，燕塘乳业从90年代开始就率先推行“公司+牧场”的特色原奶供应模式，一方面，着力建设自有高端奶源基地，以规模化、集约化、标准化打造现代化的国家级示范牧场，目前已拥有红五月、澳新及新奥三个奶源示范基地；另一方面，与广东省内外十多个规模化大中型牧场建立了长期战略合作关系，充分发挥自有示范牧场的示范效应，带动战略合作牧场全面提升。

（1）换位变换：交换两个方程的位置.

通过“孝廉文化书法邀请展”、“孝廉文化影视作品”、“孝廉文化图片和公益海报”、“孝廉文化警示长廊”、“孝廉文化教育基地”等孝廉文化教育实践活动，形成形象生动、情理并重、直观感人、通俗易懂的孝廉文化培养和教育机制，使孝廉文化教育逼真感人、入脑入心，落地生根，切实达到把孝廉文化建设做实做好的目标要求。

（3）消法变换：用一个数乘某个方程加到另一个方程．

并且强调在用初等变换求逆的整个过程中，对（AE）只能用行初等变换而不能用列初等变换．若用列初等变换则用如下形式：示数域F上m×n的全体矩阵的集合，定义群 GL（m）×GL（n）在集合 Fm×n上的作用如下：对（P，）∈GL（m）×GL（n）及 A∈Fm×n，令（P，）（A）=PA .具体地，对矩阵A的初等变换可以施行行和列的允

我的画院：2018年，我在杭州画院工作的第22个年头，已经从一个刚从美院出来参加工作的年轻人成长为了一个中年画家，美好的青春芳华都献给了画院，画院也回馈了我丰富而精彩的人生。只想说一句“这些年能在画院安心画自己想画的画，无比幸福”。

 

的前n列中i2…ir分别表示所在列的序数．

于是，可以得到如下一般定理[5]:对于n个未知数m个方程的方程组Ax=b,有增广矩阵B=（A b）,则秩（B）秩（A）,且方程组有

 

接着，对(2)式第二行以下各行用同样方法处理，增广矩阵变为如下形式

 

第一步，对于增广矩阵B,不妨假定第一列至少有一个非零元，设为ai1,于是施行行的换位变换可将第i行换到第一行，这时左上角元素可经倍法变换化为1，再经消法变换把第一列其它元素变为0．我们得到矩阵

记者了解到，重庆部分地区终端零售商品牌意识逐步增强，对产品质量和效果越来越重视，更加注重风险防控，而且当地经销商比较注重建立规范的销售网络，通过促销、示范田等模式进行销售，所以近些年当地假冒伪劣产品越来越少。

(a)唯一解，当且仅当秩（A）= 秩（B）=n;

(b)无穷多个解，当且仅当秩（A）= 秩（B）＜n;

以Fm×n表示数域F上m×n的全体矩阵的集合，定义一般线性群GL（m）在集合Fm×n上作用为左乘,研究一般线性群GL（m）对集合 Fm×n的作用，以及在此作用下GL（m）与 Fm×n的相互影响.设性质P是线性方程组同解，如果这个性质在此作用下是不变的，那么我们说这个性质P在该作用下保持.因而，研究线性方程组问题，就归结为消元法解线性方程组，求与原方程组同解的，形式简单的方程组，本质是对方程组的增广矩阵做行的初等变换，即用一般线性群GL（m）左乘n个未知数m个方程的方程组Ax=b的两边.也就是，通过对线性方程组施行三种初等变换：

(c)没有解，当且仅当秩（A）＜秩（B）．

国防科工局、总装备部和国家保密局2014年联合印发了《关于加快吸纳优势民营企业进入武器装备科研生产和维修领域的措施意见》，通过军地双方近年来在政策宣传、试点摸索、激励引导等方面坚持不懈的努力，截至2016年3月，我国已有1000多家民营企业获得武器装备科研生产许可证，比“十一五”末期增加127%，[1]为军品科研生产市场注入了新的活力，“民参军”成为军民融合发展的主流模式。但与此同时，在利用先进军事科技技术推动经济建设方面，受各种条件制约，步子还没有迈开、成效还不太显著，融合双方的互动不对称。

第二步，对(3)式的上半部分，利用消法变换，从第r行开始逐次往上，用合适的数乘以这行加到前面各行，得到

（2）倍法变换：用一个非零的数乘某一个方程.

 

（3）消法变换：用一个数左（或右）乘矩阵的某行（或列）加到另一个行（或列）.

3 二次型中的初等变换

以 Fn×n表示数域F上n×n的实对称矩阵的集合，定义一般线性群 GL（n）在集合Fn×n上作用如下:对 P∈GL（n），A∈Fn×n，令 P（A）=P′AP，就可以研究一般线性群 GL（n）对集合 Fn×n的作用,得到 Fn×n是分离的各轨道并，而每一个轨道就是一个等价类．因此，很自然地，在研究二次型的过程中，首先是通过二次型与对称矩阵的一一对应，然后研究对称矩阵的合同标准形问题，即选择合同矩阵等价类的代表．

实际运行线路由于受到线路条件的影响，运行速度存在一定的波动，车内外噪声也存在一定的变化，为更有效的研究车内噪声与轨道条件之间的相关性，结合线路轨道的道床类型，选取一般减振道床和中等减振道床两种类型对应的不同速度下车内噪声为研究对象，结果如表1所示。

 

对数域F上的任一n阶对称矩阵A，总存在P∈Mn（F）,P为可逆阵，使r为A的秩，c1，…cr≠0，这称为对称矩阵在合同变换下的标准形．而对称矩阵在合同变换下的标准形，是通过初等变换来达到．注意到，由于可逆矩阵P可以表成若干初等矩阵的积，即P=P1P2…Pt，从而有

 

也就是，对矩阵A施行一系列列初等变换，相当于对矩阵A右乘一系列相应初等矩阵，同时对矩阵A施行一系列同样的行初等变换，相当于对矩阵A左乘一系列相应初等矩阵，而对单位矩阵E仅施行一系列同样的列初等变换．通过这样的逻辑推理、观察分析，让学生体会到数学的直观、具体，培养学生对数学的直觉．于是，将对称矩阵A与单位矩阵E写成

这张赛车的照片足够清晰锐R），然后裁掉草地、柱子和左侧的利，但构图过于凌乱，整个画面还 第三辆车，还有画面右上方的白线。可以再处理一下，创造出更强烈的打开基本面板，将阴影滑块右移，动感。首先我们要做的是裁掉画面 还原两辆赛车的部分细节。 将饱和中不需要的部分，引导观众的注意 度滑块右移至+25，增强赛车色彩。力集中在两辆赛车上。操作步骤在跑道处放置渐变滤镜，将前景的如下。 将照片导入Lightroom跑道亮度减暗，然后在效果面板的裁中，点击右边的裁剪叠加（快捷键 剪后暗角中略微压暗四角。

 

因此，对B的列施行初等变换,同时对B的上半部分的行施行相应的初等变换（先列，后行）后，上半部分A变成对角形矩阵时，下半部分E就变成P，此时P′AP就是变化后的B的上半部分，它是对角形矩阵，即A在合同变换下的标准形．从而，我们可以自然地探索二次型中的另一个问题：不同数域上，对称矩阵的标准形与规范形问题．

4 结束语

如何加强代数学科的基本方法的指导，提升对教学内容的认识，加深对教材的理解，改善教学方法，准确把握重点、难点、疑点,这是一个值得探究的问题．做到既注重教学中的逻辑与抽象，又注重培养学生对数学的直觉、观察以及对概念的具体把握和知识背后的思想发展，使我们更好地把握《高等代数》这门课程的教学．本文所谈的只是我们在初等变换教学中的一些初步体会．

参考文献:

[1]Hungerford T.W.代数学[M].冯克勤,译,聂灵沼,校.长沙:湖南教育出版社,1984.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3]刘振宇.高等代数的思想与方法[M].济南:山东大学出版社,2009.

[4]林亚南.高等代数[M].北京:高等教育出版社,2013.

[5]Barnett S,Cronin T.M.Mathematical formulae for Engineering and science student(2nd ed.)[M].London:Bradford University Press-Crosby Lockwood Staples,1975.

换言之，马克思借助于政治经济学研究，确立了从物质生产方式出发理解资产阶级社会及其历史运动的研究路径。而无论是古典政治经济学还是黑格尔的思辨哲学，都不过是对资产阶级社会(市民社会)的理论反映。超越古典政治经济学和黑格尔辩证法，需要在“实证”分析生产的社会关系基础上，揭示资产阶级社会的对抗性本质。对于这一时期的马克思来说，最直接的就是资产阶级和无产阶级的对抗。以地租为代表的土地所有者利益，必须在资产阶级生产方式的运动中加以理解。反过来，以地租和地产分析为切入点，马克思又同时揭示了资产阶级财产权以及资产阶级生产关系的历史性本质。